기계공학 (Mechanical Engineering)

각 공식의 증명은 번호(No.)를 클릭하여 링크를 참조한다.   No. \(f(x)\) \(\int f(x)dx\) 비고 1 1 x 2 \(x^\alpha\) \(\frac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1}\) \(\alpha\ne0\) 3 \(1/x\) \(\ln{x}\) 4 \(e^x\) \(e^x\) 5 \(\cos{x}\) \(\sin{x}\) 6 \(\sin{x}\) \(-\cos{x}\) 7 \(\sec^2{x}\) \(\tan{x}\) 8 \(\csc^2{x}\) \(-\cot{x}\) 9 \(\frac{1}{a^2+x^2}\) \({1\over a}{\rm Tan}^{-1}{x\over a}\) \(a>0\) 10 \(\frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}\) \({\rm Sin}^{-1}{x\over a}\) 11 \(\frac{1}{x^2-a^2}\) \({1\over2a}\ln\left|\frac{x-a}{x+a}\right|\) 12 \(\frac{1}{\sqrt{x^2+A}}\) \(\ln\left|x+\sqrt{x^2+A}\right|\) \(A\ne0\) 13 \(\frac{1}{(x-a)(x-b)}\) \({1\over a-b}\ln\left|\frac{x-a}{x-b}\right|\) \(a\ne b\) 14 \(a^x\) \(\frac{a^x}{\ln{a}}\) \(a\ne1,\,a>0\)

고대부터 현대까지 유체역학 의 발전과정을 알아본다. 고대 시리큐스(Syracuse)의 아르키메데스(Archimedes, 285-212 B.C)는 정지된 유체에 잠겨있는 물체에 작용하는 부력(buoyancy)에 관한 법칙을 발견하고, 국왕 히어로 1세(Hiero I)의 금관이 갖는 금 함유량을 알아내었다. 로마의 공학자들도 수력학에 관심을 갖고 운하와 수도시설을 건설하였으나, 그들의 지식은 물의 흐름과 마찰에 관한 피상적인 이해에 불과하였다. 로마의 몰락(476) 이후 천년 이상 유체역학의 발전은 이루어지지 않았다. 단지 레오나도 다빈치(Leonardo da Vinci, 1425-1519)만이 밀라노 근처 수문을 설계하고 제작함으로써 수력학에 기여하였으며, 비행하는 새에 작용하는 힘에 관한 연구결과를 남겼다. 17세기에 들어 뉴우톤(Newton, 1643-1727)이 운동법칙들을 제시한 이후, 레온하드 오일러(Leonhard Euler, 1755)는 이 법칙들을 유체유동에 적용하여 이상유체의 유동을 지배하는 미분방정식인 오일러 방정식을 유도하였다. 같은 시대의 다니엘 베르누이(Daniel Bernoulli, 1738) 역시 이상유체의 유동에 적용할 수 있는 에너지 관계식인 베르누이 방정식 을 제시하였다. 동 시대의 다렘베르트(Jean le Rond d'Alembert)는 이상유체 속에서 움직이는 물체는 유체로부터 아무런 저항도 받지 않는다는 결과를 이론적으로 얻어냈다. 그러나 이 결과는 실험적 사실과 일치하지 않는 것이었다. 당시에는 이러한 모순을 '다렘베르트 역설(d'Alembert paradox)'이라고 불렀다. 당시의 이론학지들은 오일러 방정식으로부터 얻어지는 결과가 실제 유동현상을 정확히 설명할 수 있는지에 많은 관심을 가지지 않았고, 공학자들도 현상의 이론적 측면을 도외시 하였다. 이후 수십년 동안 다렘베르트의 역설은 해결되지 못한 채, 공학자들은 실험에만 집중하였고, 이론학자들은 수학적 전개에만 열중하였다. 다렘베르트...

1. 다음 함수 의 도함수 를 구하여라. \([1]\ (1)\ x^n(x^n+1)\qquad(2)\ (x+a)(x+b)(x+c)\qquad(3)\ (x^n+1)^3\qquad(4)\ x^n\sin{x}\) \(\quad\ (5)\ \sin{x}\cos{x}\qquad\,(6)\ \sin^3{x}\qquad(7)\ \dfrac{ax+b}{cx+d}\qquad(8)\ \dfrac{ax^2+b}{cx^2+d}\qquad(9)\ \dfrac{a\sin{x}+b}{c\sin{x}+d}\) \(\quad\ (10)\ \dfrac{\sin{x}}{x}\qquad(11)\ \dfrac{1}{\sin{x}\cos{x}}\qquad(12)\ \tan{x}+\dfrac{1}{3}\tan^3x\) <풀이> \((1)\ \{x^n(x^n+1)\}'=nx^{n-1}(x^n+1)+x^nnx^{n-1}=nx^{n-1}(2x^n+1)\) \(\begin{align}(2)\ \{(x+a)(x+b)(x+c)\}'&=(x+b)(x+c)+(x+a)(x+c)+(x+a)(x+b)\\&=3x^2+2(a+b+c)x+ab+bc+ca\end{align}\) \((3)\ \{(x^n+1)^3\}'=3(x^n+1)^2nx^{n-1}=3nx^{n-1}(x^n+1)^2\) \((4)\ (x^n\sin{x})'=nx^{n-1}\sin{x}+x^n\cos{x}=x^{n-1}(n\sin{x}+x\cos{x})\) \((5)\ (\sin{x}\cos{x})'=\left(\dfrac{\sin2x}{2}\right)'=\cos2x\) \((6)\ (\sin^3x)'=2\sin^2x\cos{x}\) \((7)\ \left(\dfrac{ax+b}{cx+d}\right)'=\dfrac{a(cx+d)-(ax+b)c}{(cx+d)^2}=\dfrac{ad-bc}{(cx+d)^2}\) \((8)\ \left(\dfrac{ax^2+b}{cx^2+d}\r...

 for use in sth : ~에 사용될 수 있는

전미분 (material derivative)의 대류항, \({\bf v}\cdot\nabla{\bf v}\)은 나이버-스톡스 방정식 (Navier-Stokes equation)에 대입할 수 있는 벡터 항등식을 가지고 있다. 이 벡터 항등식은 아래와 같다. \[{\bf v}\cdot\nabla{\bf v}={1\over2}\nabla{\bf v}^2-{\bf v}\times(\nabla\times{\bf v})\] <증명> 위의 항등식 우변의 각 항을 전개한 후 대류항의 각 성분과 같음을 보인다. \({1\over2}\nabla{\bf v}^2={1\over2}\left(\frac{\partial}{\partial x}{\bf i}+\frac{\partial}{\partial y}{\bf j}+\frac{\partial}{\partial z}{\bf k}\right)(v_x^2+v_y^2+v_z^2)=v_x\frac{\partial v_x}{\partial x}{\bf i}+v_y\frac{\partial v_y}{\partial y}{\bf j}+v_z\frac{\partial v_z}{\partial z}{\bf k}\) \(\nabla\times{\bf v}=\left|\begin{matrix}\bf i&\bf j&\bf k\\\frac{\partial}{\partial x}&\frac{\partial}{\partial y}&\frac{\partial}{\partial z}\\v_x&v_y&v_z\end{matrix}\right|=\left(\frac{\partial v_z}{\partial y}-\frac{\partial v_y}{\partial z}\right){\bf i}+\left(\frac{\partial v_x}{\partial z}-\frac{\partial v_z}{\partial x}\right){\bf j}+\left(\frac{\partial v...