기계공학 (Mechanical Engineering)

정의 1. (미분계수, 미분가능) 함수 \(f\)가 \(a\)의 근방  \(|x-a|<r\)에서 정의되어 있다고 한다. 만일 유한인 극한 \[\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}\] 이 존재하면 \(f\)는 \(x=a\)에서 미분가능(微分可能) 하다고 하며 이 극한을 \(f'(a)\)로 표시하고 \(f\)의 \(x=a\)에 있어서의 미분계수(微分係數) 라 한다. --- under construction ---

인장하중을 받는 균일단면봉(prismatic bar)에서 축방향 늘음(axial elongation)은 (하중 방향에 수직한) 측면 수축(lateral contraction) 을 동반한다. 이 형상 변화가 아래 그림에 도시되어 있다. 여기서 점선은 하중 인가 전, 실선은 부하 후를 나타낸다. 인장을 받는 봉의 축방향 늘음과 측면 수축 이 측면 변형률 (lateral strain)은 선형탄성(linear elastic) 구간에서 재료가 균일하고 정방성이라면 축방향 변형률(axial strain)에 비례한다. 재료가 균일(homogeneous) 하다는 것은 물체 전체에 걸쳐서 동일한 조성으로 이루어져 있다는 것이다. 따라서 물체의 모든 점에서 동일한 선형 특성을 가진다. 하지만 균일한 재료이기 위해서는 모든 방향의 특성이 동일한 필요는 없다. 예를 들면, 축과 횡방향의 탄성계수 가 다를 수도 있다. 정방성(isotropic) 재료는 모든 방향에 대하여 동일한 선형 특성을 가진다. 그러므로 인장을 받는 봉의 모든 점에서 동일한 측방향 변형률을 갖기 위해서는 재료가 균일함과 동시에 정방성이어야 한다. 많은 구조재들은 이 요건들은 만족한다. 이 축방향 변형률에 대한 측방향 변형률의 비(比)는 포아송 비(Poisson's ratio)로 알려져 있으며 그리스 문자 \(\nu\)로 표기한다. \[\nu=-\frac{\epsilon_{\rm lateral}}{\epsilon_{\rm axial}}\] 인장 상태 봉의 경우 측방향 변형률은 폭의 감소(음의 변형률)이고 축방향 변형률은 늘음(양의 변형률)을 나타낸다. 압축 상태는 반대의 상황이 되어 봉의 단축(음의 축방향 변형률)되고 넓어 진다(양의 측방향 변형률). 그러므로 포아송 비는 대부분 재료에서 양의 값을 가진다. 포아송 비는 저명한 수학자 Simeon Denis Poisson(1781-1840)의 이름을 딴 것이다. 그는 재료의 분자이론을 이용하여 정방성인 경우 이 비율을 \(\nu=1/4\)로 계산하였...

무차원수의 개념은 유체 와 나비어-스톡스 방정식 을 다루는 공학도들에게는 친숙하다. 하지만 그의 실제적인 의미와 최선의 활용법은 무엇일까? 이에 대한 답을 찾기 위해 간단한 역학 문제에 대하여 무차원 수를 구해 보자. 위의 그림은 초기속도를 가지고 일정한 가속도를 받는 입자의 운동이다. 입자의 위치는 다음과 같이 표현된다. \[s=v_ot+{1\over2}at^2\] 첫번째 단계로 모든 변수에 대하여 무차원수를 도입한다. 예를 들면 \(s^*=s/L\), 여기서 \(s^*\)는 무차원 변수, \(s\)는 이동거리, 그리고 \(L\)은 특성길이이다. \[s^*={s\over L}\qquad v^*={v\over V}\qquad a^*={a\over A}\qquad t^*={t\over T}\] 원래 방정식에 대입하면 \[s^*L=v^*Vt^*T+{1\over2}a^*A(t^*T)^2\] 정리하면 \[\left({L\over VT}\right)s^*=v^*t^*+{1\over2}a^*t^{*2}\left({AT\over V}\right)\] 위의 식은 두 개의 무차원수, \(L/VT\)와 \(AT/V\)를 준다. 종종 그렇듯이 무차원수는 변수들의 비율로 나타난다. 이 경우 \(AT/V\)는 초기속도에 대한 가속도 효과의 비율이다. 그 다음 단계는 계의 거동을 결정하기 위한 실험 실시이다. 위의 경우는 속도, 가속도 및 시간의 다른 값들을 선택한 후 변위를 계측하게 된다. 하지만 여기서는 원래 방정식에서 변위를 계산하기로 하자. 무차원수를 포함한 임의로 선정된 변수들의 결과값들은 다음 표와 같다. \(v_o\) \(a\) \(t\) \(s\) \(AT/V\) \(L/VT\) 0.1 0.0 3 0.3 0.00 1.00 -3.0 25.0 1 9.5 -8.33 -3.17 2.0 9.8 2 23.6 9.80 5.90 ...

1. \(\displaystyle\lim_{x\to\pm\infty}\left(1+{a\over x}\right)^x=e^a\) 임을 증명하여라. <증명> 실수의 지수 예제 4에 의해서 \(\displaystyle\lim_{h\to\pm\infty}\left(1+{1\over h}\right)^h=e\) 이므로 \(x=ah\)로 치환하면 \(\displaystyle\lim_{x\to\pm\infty}\left(1+{a\over x}\right)^x=\lim_{h\to\pm\infty}\left\{\left(1+{1\over h}\right)^h\right\}^a=e^a.\) 2. \(\displaystyle\lim_{x\to0}(1+ax)^{1\over x}=e^a\) 임을 증명하여라. <증명> \(ax={1\over h}\)로 치환하면 \(\displaystyle\lim_{x\to0}(1+ax)^{1\over x}=\lim_{h\to\pm\infty}\left\{\left(1+{1\over h}\right)^h\right\}^a=e^a.\) 3. 다음 극한값 을 구하여라. (1) \(\displaystyle\lim_{x\to\pm0}\dfrac{e^{1/x}-1}{e^{1/x}+1}=\begin{cases}x\to+0\text{ 일 때 }\displaystyle\lim_{h\to+\infty}\dfrac{1-1/e^h}{1+1/e^h}=\ \ \ 1\\x\to-0\text{ 일 때 }\displaystyle\lim_{h\to-\infty}\dfrac{e^h-1}{e^h+1}\quad=-1\end{cases}\) (2) \(\displaystyle\lim_{x\to\pm0}\dfrac{1}{e^{1/x}+e^{-1/x}}={1\over\infty+0}=0\) (3) \(\displaystyle\lim_{x\to0}x\sin(\ln{x})=\lim_{x\to0}x=0\) 위의 식은 \(|\sin(\ln{x})|\le1\) 이므...

1. 다음 함수의 정의역을 구하여라. (1) \(f(x,y)=\sqrt{\frac{x-y}{x+y}}\)     (2) \(f(x,y)=\frac{xy}{x^2-y^2}\) <풀이> (1) (i) \(x=y\) 이면 \(f(x,y)=0\), (ii) \(x+y\ne0\) 이므로 \(x\ne-y\), (iii) \(x-y>0\) 이면 \(x+y>0\), (iv) \(x-y<0\) 이면 \(x+y<0\) (i), (ii), (iii), (iv)로부터 정의역은 \(x^2>y^2\)와 \(x=y\)인 점 \((x,y)\)들의 집합 (2) \(x^2\ne y^2\) 이므로 정의역은 \(x=\pm y\)인 점을 제외한 모든 평면상의 점 \((x,y)\) 2. 다음 함수의 \((x,y)\rightarrow(0,0)\)일 때의 극한을 구하여라. (1) \(f(x,y)=\sqrt{\frac{|xy|}{x^2+y^2}}\)     (2) \(f(x,y)=\frac{3x^2+5y^2}{\sqrt{x^2+y^2}}\) <풀이> (1) \(y=mx\)를 따라 접근시키면 \[\sqrt{\frac{|m|}{1+m^2}}\] \(m\)은 임의의 실수이므로 극한치는 없다. (2) \(x=r\cos\theta,\,y=r\sin\theta\)라 놓으면 \(r\rightarrow0\)은 \((x,y)\rightarrow(0,0)\)와 동치 이다. 그리고 \(f(x,y)=z\)라 하면 \(z=r(3\cos^2\theta+5\sin^2\theta)\). \[\therefore\ \lim_{(x,y)\to(0,0)}z=\lim_{r\to0}r(3\cos^2\theta+5\sin^2\theta)=0\] 3. 다음 함수의 연속성을 조사하여라. (1) \(f(x,y)=\begin{cases}\frac{xy}{\sqrt{x^2+y^2}}&(x,y)\ne(0,0)\\\quad\ 0...