기계공학 (Mechanical Engineering)

n개의 원소를 가지는 집합에서 순서에 상관없이 k개의 부분집합을 고르는 조합의 경우의 수 \[\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}=_nC_k=C_{n,k}=C(n,k)=\frac{P(n,k)}{k!(n-k)!}=\frac{n!}{k!(n-k)!}\] 여기서 P(n,k)는 n개 중 k개를 뽑는 순열 [예 1] 5개 중에서 2개를 뽑는 경우 \[\begin{pmatrix}5\\2\end{pmatrix}=\frac{5!}{2!(5-2)!}={5\cdot4\over2}=10\] 모든 경우의 조합을 나타내면 \[1\begin{cases}2\\3\\4\\5\end{cases},\,2\begin{cases}3\\4\\5\end{cases},\,3\begin{cases}4\\5\end{cases},\,4\begin{cases}5\end{cases}\] [예 2] 이항계수의 항등식 \[\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}n\\k-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}n+1\\k\end{pmatrix}\] <증명> \[\begin{split}\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}n\\k-1\end{pmatrix}&=\frac{n!}{k!(n-k)!}+\frac{n!}{(k-1)!(n-k+1)!}\\&=\frac{n!(n+1)}{r!(n-k+1)!}=\frac{(n+1)!}{k!(n+1-k)!}=\begin{pmatrix}n+1\\k\end{pmatrix}\end{split}\] [예 3] 1~45 숫자 중에서 6개 숫자를 뽑는 로또복권의 모든 경우의 수 \[\begin{pmatrix}45\\6\end{pmatrix}=\frac{45!}{6!(45-6)!}=8,145,060\]

n이 양의 정수일 때 \[\begin{align}(a+b)^n&=\sum_{r=0}^n{_nC_r}a^{n-r}b^r=\sum_{r=0}^n\begin{pmatrix}n\\r\end{pmatrix}a^{n-r}b^r\\&=\begin{pmatrix}n\\0\end{pmatrix}a^n+\begin{pmatrix}n\\1\end{pmatrix}a^{n-1}b+\cdots+\begin{pmatrix}n\\r\end{pmatrix}a^{n-r}b^r+\cdots+\begin{pmatrix}n\\n\end{pmatrix}b^n\end{align}\] 여기서 \(_nC_r=\begin{pmatrix}n\\r\end{pmatrix}\)은 n개에서 r개를 고르는 조합 이다. [증명] 이항계수의 항등식과 수학적 귀납법 을 사용한다. n=0 일 때 \((a+b)^0=1\) n에 대해 성립한다고 가정한다. \(\begin{split}(a+b)^{n+1}&=(a+b)(a+b)^n=(a+b)\sum_{r=0}^n\begin{pmatrix}n\\r\end{pmatrix}a^{n-r}b^r\\&=a\sum_{r=0}^n\begin{pmatrix}n\\r\end{pmatrix}a^{n-r}b^r+b\sum_{r=0}^n\begin{pmatrix}n\\r\end{pmatrix}a^{n-r}b^r\\&=\sum_{r=0}^n\begin{pmatrix}n\\r\end{pmatrix}a^{n-r+1}b^r+\sum_{r=1}^{n+1}\begin{pmatrix}n\\r-1\end{pmatrix}a^{n-r+1}b^r\\&=a^{n+1}+b^{n+1}+\sum_{r=1}^n\left\{\begin{pmatrix}n\\r\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}n\\r-1\end{pmatrix}\right\}a^{n-r+1}b^r\\&=a^{n+1}+b^{n+1}+\sum_{r=1}^n\begin{pmatrix}n+1\\r\end

수열 양의 정수의 집합을 N, 실수의 집합을 R이라 할 때 함수 f : N→R의 값을 차례로 \[f(1),\,f(2),\,\cdots,\,f(n),\,\cdots\] 으로 배열한 것을 수열이라 한다. 양의 정수 n에 대하여 \(f(n)=a_n\) 이라 할 때 수열을 \(\{a_n\}\)으로 나타낸다. 수열의 극한 수열 \(\{a_n\}\)에서 「n이 한없이 커질 때 \(a_n\)은 a에 한없이 가까와진다.」는 것은 임의의 양수 ε에 대하여 자연수 N이 존재해서 n≥N인 모든 자연수 n에 대하여 \[|a_n-a|<\epsilon\] 인 것이다. 수열 \(\{a_n\}\)이 위의 조건을 만족할 때 \[\lim_{n\to\infty}a_n=a\text{ 또는 }n\to\infty\text{ 일 때 }a_n\to a\] 로 나타내고, a를 이 수열의 극한 또는 극한값 이라 한다. [예제 1] \(a_n=\frac{2n+1}{n}\) 일 때 수열 \(\{a_n\}\)의 극한은 2임을 보여라. 또, ε=0.01,  ε=0.001 에 대하여 각각 n≥N 일 때 \(|a_n-2|<\epsilon\)으로 되는 자연수 N을 구하여라. <풀이> \(a_n=\frac{2n+1}{n}=2+{1\over n}\)이고 임의의 양수 ε에 대하여 \(N>{1\over\epsilon}\)인 자연수 N을 취하면 n≥N인 자연수 n에 대하여 \(|a_n-2|={1\over n}\le{1\over N}<\epsilon\) 곧, \(\lim_{n\to\infty}a_n=2\) ε=0.01 일 때 \(N>{1\over0.01}=100\) 이므로 N=101, 또는 이보다 큰 정수. ε=0.001 일 때 \(N>{1\over0.001}=1000\) 이므로 N=1001, 또는 이보다 큰 정수. [예제 2] \(\lim_{n\to\infty}a_n=a,\,b_n=a_{n+p}\)(p는 정수이고, p≥1)일 때 \(\lim_{n\to\infty}b_