역함수의 미분법
정리 1 미분가능한 함수 f의 역함수 g는 미분가능하며 y=f(x)라 하면\[g'(y)={1\over f'(x)}\ ({\rm 단},\,f'(x)\ne0)\]이다. < 증명 > 역함수의 정의에 따라, \(g\circ f=1\), 즉 x=g(y)=g(f(x)) 이므로, 합성함수의 미분법 정리 1에 의해서 \[1=\frac{dx}{dx}=\frac{dg}{dy}\frac{df}{dx}=\frac{dx}{dy}\frac{dy}{dx}\] 가 된다. 따라서 \[g'(y)=\frac{dx}{dy}=\frac{1}{\frac{dy}{dx}}={1\over f'(x)}\] 계 1 k는 임의의 유리수이고, \(y=x^k\)이 실수이면 y는 미분가능하고 \(y'=kx^{k-1}\) 이다. < 증명 > k가 유리수이므로 적당한 정수 p, q(단, q>0)를 취하여 k=p/q로 나타낼 수 있다. \(u=x^{1/q}=g(x)\)라 하고 \(h(u)=u^q\)라 두면, h는 q의 역함수이다. 그런데 h는 미분가능하므로, \[g'(x)={1\over h'(u)}={1\over qu^{q-1}}={1\over q(x^{1/q})^{q-1}}={1\over qx^{1-1/q}}={1\over q}x^{1/q-1}\] 그리고 \(f(x)=x^{p/q}=(x^{1/q})^p=(g(x))^p\) 이므로, f(x)는 미분가능하며, \[f'(x)=pq(x)^{p-1}g'(x)=px^{p-1\over q}{1\over q}x^{1/q-1}={p\over q}x^{p/q-1}=kx^{k-1}\] 계 2 g는 미분가능한 함수, k는 임의의 유리수일 때 \(f(x)=g(x)^k\)가 실수치를 가지면 f는 미분가능하며\[f'(x)=kg(x)^{k-1}g'(x)\] < 증명 > 계 1을