기계공학 (Mechanical Engineering)

코시 응력 (Cauchy Stress) - 진응력 (True Stress) 코시 응력 은 변형 물체의 단면에 작용하는 힘을 의미한다. 따라서 그 물체는 회전과 변형이 일어 났으므로 단면적도 변형전 대비 변하였을 것이다. 하지만 힘의 평형은 초기 상태가 아니라 회전과 변형 조건에서 이루어 진다. 코시 응력은 σ로 표시한다. 끝단에 하중을 받는 대변형 외팔보에서 보듯이 응력의 평형 방정식은 초기 상태가 아니라 변형 후 조건에서 쓰여지므로 코시 응력은 진응력으로 간주된다. 일, 에너지 및 일률 (Work, Energy and Power) 일은 힘과 변위의 내적이므로 \[\int{\bf F}\cdot d{\bf x},\qquad dW={\bf F}\cdot d{\bf x}\] 일률은 일의 시간 미분을 취하면 다음과 같다. \[\dot W={dW\over dt}={\bf F}\cdot{d{\bf x}\over dt}=\bf F\cdot v\] 공학 에서 일과 에너지를 힘과 변위가 아닌 응력과 변형률 로 계산할 경우가 있다. 아래의 유도 과정은 이들의 관계를 보여준다. 위의 그림과 같이 속도 v 로 이동하는 물체를 생각한다. 외부힘이 표면에 트렉션 벡터 T 로 가해지고 내부힘이 체적당 힘 f 로 작용한다고 하면 물체에 작용하는 전체 힘은 \[\sum{\bf F}=\sum외부힘+\sum내부힘=\int{\bf T}dA+\int{\bf f}dV\] 일률은 힘과 속도 벡터 v 의 내적이므로 \[\dot W=\int{\bf T}\cdot{\bf v}dA+\int{\bf f}\cdot{\bf v}dV\] 이 결과는 속도 벡터 v 와 연관된 운동 , 응력과 변형률이 관련된 변형 성분으로 분해할 수 있다. 먼저 T = σ · n 이므로 T 를 치환하면 \[\dot W=\int(\boldsymbol\sigma\cdot{\bf n})\cdot{\bf v}dA+\int{\bf f}\cdot{\bf v}dV\] 발산이론을 적용하면 면 적분을 체적 적분으로 변환할 수 있다. \[

응력 과 변형률 의 기본 개념은 그림 1과 같이 끝단에서 축방향 힘 P의 하중을 받는 균일단면 봉을 생각하여 설명할 수 있다. 균일단면 봉(prismatic bar) 은 전체 길이에 걸쳐 일정한 단면을 갖는 직선형 구조 부재이다. 그림에서 축방향 힘은 봉에 균일한 신장을 발생시킨다; 따라서 막대가 인장(tension) 상태에 있다고 한다. 그림 1. 인장 상태의 균일단면 봉 축방향 힘에 의해 봉에 생성된 내부응력을 조사하기 위해 가상의 단면 mn(그림 1a)를 자른다. 이 단면은 봉의 종축(longitudinal axis)에 수직이다; 따라서 횡단면(cross section) 으로 알려져 있다. 이제 절단면 오른쪽에 있는 부분을 자유체(free body)로 분리한다(그림 1b). 인장하중 P는 자유체의 오른쪽 끝단에 작용한다; 다른쪽 끝단에는 제거된 부분의 작용을 나타내는 힘들이 남아 있는 부분에 존재한다. 이 힘들은 수직단면에 걸쳐 잠겨있는 수평면에 작용하는 정수합(hydrostatic pressure)의 분포와 유사하게 연속적으로 분포한다. 이 힘의 강도(즉, 단위면적당 힘)를 응력(stress) 이라고 하며 일반적으로 그리스 문자 σ(sigma)로 표시된다. 응력에 단면 전체에 걸쳐 균일한 분포를 갖는다고 가정하면(그림 1b) 합력(resultant)이 봉의 단면적 A에 강도 σ를 곱한 값과 같다는 것을 쉽게 알 수 있다. 또한 그림 1b에 표시된 물체의 평형 으로부터 이 합력은 가해진 하중 P와 크기가 같고 방향이 반대임이 분명하다. 따라서 축방향으로 하중을 받는 임의의 일정한 단면 봉에서 균일한 응력에 대한 방정식을 얻는다. \[\sigma={P\over A}\] 그림과 같이 봉이 힘 P에 의해 신장될 때, 그 결과 응력은 인장응력(tesile stress) 이다; 힘의 방향이 바뀌면 봉이 압축되어 압축응력(compressive stress) 이 발생한다. 이 응력들은 절단면에 수직한 방향으로 작용하기 때문에 수직응력(normal stress

함수 f, g의 합, 차, 곱, 나눗셈을 다음과 같이 정의한다. \[\begin{align}&(f+g)(x)=f(x)+g(x)\\&(f-g)(x)=f(x)-g(x)\\&(f\cdot g)(x)=f(x)\cdot g(x)\\&(f/g)(x)=f(x)/g(x), 단\ g(x)\ne0\end{align}\] (1) \(f+g,\,f-g,\,f\cdot g\)의 정의역은 \(D_f\cap D_g\). (2) \(f/g\)의 정의역은 \(D_f\cap D_g\)에서 g(x)=0인 x를 제외한 집합이다. [예제 1] \(\begin{align}f(x)={1\over x}+1,\,g(x)=\sqrt{1-x^2}\end{align}\)으로 정의된 함수 f, g에 대하여 각각 \(f+g,\,f-g,\,f\cdot g,\,f/g\)를 만들고 그 정의역을 구하라. <풀이> \(\begin{align}&(f+g)(x)=f(x)+g(x)=1+{1\over x}+\sqrt{1-x^2}\\&(f-g)(x)=f(x)-g(x)=1+{1\over x}-\sqrt{1-x^2}\\&(f\cdot g)(x)=f(x)\cdot g(x)=\left(1+{1\over x}\right)\sqrt{1-x^2}\\&(f/g)(x)=\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{x+1}{x\sqrt{1-x^2}}\end{align}\) f의 정의역 : 0이 아닌 모든 실수, g의 정의역은 실함수이므로 |x|≤1 이다. 또한 g(x)=0 인 경우는 x=±1 이다. 따라서 f+g, f-g, f·g의 정의역 : 0<|x| ≤ 1, f/g의 정의역 : 0<|x|<1 이다. 함수 f, g, h에 대하여 실수의 성질로부터 다음 공식이 유도된다. \[\begin{align}&(1)\ f+g=g+f\\&(2)\ (f+g)+h=f+(g+h)\\&(3)\ f\cdot g=g\cdot f\\&(4)\ (f\cdo

아래의 삼차 방정식은 두개의 허근을 갖는다. \[x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)=0\] 허근 중 하나를 ω라 하면 다른 하나는 ω의 켤레 복소수이다. \[\omega=-{1\over2}+{\sqrt{3}\over2}i,\qquad\overline\omega=-{1\over2}-{\sqrt{3}\over2}i\] ω는 위의 방정식의 근이므로 당연히 \[\omega^3=\overline\omega^3=1,\qquad\omega^2+\omega+1=\overline\omega^2+\overline\omega+1=0\] 또한 \(\omega^2\)은 켤레 복소수가 된다. \[\omega^2=-\omega-1=-{1\over2}-{\sqrt{3}\over2}i=\overline\omega,\qquad\overline\omega^2=-\overline\omega-1=-{1\over2}+{\sqrt{3}\over2}i=\omega\] 근과 계수의 관계로부터 다음식이 성립한다. \[\omega+\overline\omega=-1,\qquad\omega\overline\omega=1\]