기계공학 (Mechanical Engineering)

부정정보(statically indeterminate beam) 는 처짐곡선의 미분방정식 중 하나를 풀어 해석할 수 있다. 그 과정은 정정보(determinate beam)과 근본적으로 같으며( 굽힘모멘트 적분 / 전단력과 하중 적분 / 면적모멘트법에 의한 보의 처짐  참조), 미분방정식을 쓰고, 일반해를 얻기 위해 적분하며, 그 다음 적분상수를 구하기 위해 경계조건을 적용한다. [예제 1] 균일분포하중 q를 받고 있는 일단고정 타단지지 보(propped cantilever beam) AB가 아래 그림에 나타나 있다. 반력 Ra, Rb 및 Ma를 결정하여라. 예제 1. 일단고정 타단지지 보 Rb를 미지수로 선택한다. 그 다음 평형방정식으로부터 A에서의 반력을 Rb의 항으로 얻을 수 있다. \[R_a=qL-R_b\qquad M_a={qL^2\over2}-R_bL\qquad\cdots(1)\] 이제 Rb의 항으로 아래 자유물체도(free body diagram)로부터 굽힘모멘트 의 알반 표현식을 얻을 수 있다. \[M=R_ax-M_a-{qx^2\over2}=qLx-R_bx-{qL^2\over2}+R_bL-{qx^2\over2}\] 처짐곡선의 2차 미분방정식은 \[EIv''=-M=-qLx+R_bx+{qL^2\over2}-R_bL+{qx^2\over2}\] 그리고 두번 연속 적분하면 다음식을 얻는다. \[\begin{split}&EIv'=-{qLx^2\over2}+{R_bx^2\over2}+{qL^2x\over2}-R_bLx+{qx^3\over6}+C_1\\&EIv=-{qLx^3\over6}+{R_bx^3\over6}+{qL^2x^2\over4}-{R_bLx^2\over2}+{qx^4\over24}+C_1x+C_2\end{split}\] 윗식들에는 세개의 미지수(C1, C2 및 Rb)와 다음 세개의 경계조건이 있다: \[v(0)=v'(0)=v(L)=0\] 이들 조건을 앞의 식에 대입하면 C1=C2=0, 그리고 \[

전단력 V와 분포하중 q의 항으로 나타낸 처짐곡선의 방정식으로도 보의 처짐 을 구할 수 있다. 그 과정은 보다 많은 적분이 요구되는 것 외에는 굽힘모멘트 방정식 과 유사하다. 예를 들면 4차 하중 방정식으로 출발하면 처짐 방정식을 구하기 위해서는 4번의 적분이 필요하다. 따라서 추가적인 적분 상수가 도출되나 경계 및 연속조건(boundary and continuity conditions)으로 이들 상수를 구할 수 있다. 이제 이 조건들은 기울기와 처짐뿐만 아니라 전단력과 굽힘모멘트 에 대한 것도 포함된다. 이 3개의 미분방정식 중 선택은 수학적 취급과 개인의 선호도에 달려 있다. 요컨데, 자유물체도(free body diagram)로부터 굽힘모멘트 M에 비해 분포하중 q의 표현이 용이하면 하중 방정식이 쓰여져야 한다. 예제 1 최대강도 \(q_o\)인 삼각형 분포하중을 지지하는 외팔보 AB의 처짐곡선 방정식을 결정하라(아래 그림). 또한 자유단의 처짐 \(\delta_b\)와 회전각 \(\theta_b\)를 결정하라. 분포하중의 강도는 다음 식으로 주어진다. \[q={q_o(L-x)\over L}\] 따라서 4차 미분방정식은 다음과 같다. \[EIv^{(4)}=q={q_o(L-x)\over L}\] 1차 적분을 하면 \[EIv'''=-V=-{q_o(L-x)^2\over2L}+C_1\] x=L에서 전단력은 0 이므로 v'''(L)=0 이다. 이 조건으로부터 \(C_1=0\)을 얻는다. 2차 적분을 통해서 다음식을 얻는다. \[EIv''=-M={q_o(L-x)^3\over6L}+C_2\] 이 식은 굽힘모멘트 방정식이다. 두번째 경계조건으로 자유단에서 굽힘모멘트는 0 이다: v''(L)=0. 이 조건으로부터 \(C_2=0\)을 얻는다. 3차와 4차 적분을 수행하면 \[\begin{align}&EIv'=-{q_0\over24L}(L-x)^4+C_3\\&EIv={q_o\