기계공학 (Mechanical Engineering)

벡터 의 구배(gradient of vector)는 텐서(tensor)를 반환한다. 직교좌표계에서는 벡터의 각 성분별로 좌표계 방향별 편미분 을 취하면 되므로 쉽게 유도할 수 있다. 하지만 원통좌표계에서는 직관적이지 않으므로 구배를 구하기 위하여 다음과 같이 유도한다. 직교좌표계에서 벡터\(\overrightarrow{v}\)의 기울기 텐서(gradient tensor) 항은 다음 과정으로 유도된다. 여기서 \(∇_i\)는 델 연산자의 \(i\) 성분만 취한 것이다. \(\overrightarrow{v}=u\hat{i}+v\hat{j}+w\hat{k}\) \({∇\overrightarrow{v}_{xx}}=∇_x\overrightarrow{v}\cdot\hat{i}=\frac{\partial\overrightarrow{v}}{\partial x}\cdot\hat{i}=\frac{\partial}{\partial x}\left(u\hat{i}+v\hat{j}+w\hat{k}\right)\cdot\hat{i}=\frac{\partial u}{\partial x}\) \({∇\overrightarrow{v}_{xy}}=∇_y\overrightarrow{v}\cdot\hat{i}=\frac{\partial\overrightarrow{v}}{\partial y}\cdot\hat{i}=\frac{\partial}{\partial y}\left(u\hat{i}+v\hat{j}+w\hat{k}\right)\cdot\hat{i}=\frac{\partial u}{\partial y}\) ... \({∇\overrightarrow{v}}=\begin{bmatrix}∇\overrightarrow{v}_{xx}&∇\overrightarrow{v}_{xy}&∇\overrightarrow{v}_{xz}\\∇\overrightarrow{v}_{yx}&∇\overrightarrow{v}_{yy}&∇\overrightarrow{v...