기계공학 (Mechanical Engineering)

피타고라스 정리 \(\sin^2\theta+\cos^2\theta=1\) \(\tan^2\theta+1=\sec^2\theta\) \(\cot^2\theta+1=\csc^2\theta\) <증명> 반경이 1 인 단위원을 그려서 파타고라스의 정리를 적용한다. 덧셈정리 \(\sin(\alpha\pm\beta)=\sin\alpha\cos\beta\pm\cos\alpha\sin\beta\) \(\cos(\alpha\pm\beta)=\cos\alpha\cos\beta\mp\sin\alpha\sin\beta\) \(\tan(\alpha\pm\beta)=\dfrac{\tan\alpha\pm\tan\beta}{1\mp\tan\alpha\tan\beta}\) <증명> 한 각이 β 인 직각삼각형을 각도 α로 직사각형에 내접시킨다. 각 변의 길이를 삼각함수로 나타내고 직사각형의 대변의 길이는 같으므로 등식이 증명된다. (sin/cos은 직각삼각형의 빗변의 길이가 '1', tan는 직사각형 밑변의 길이 '1'을 적용한다.) 2배각의 공식 \(\sin2\theta=2\sin\theta\cos\theta\) \(\cos2\theta=\cos^2\theta-\sin^2\theta=2\cos^2\theta-1=1-2\sin^2\theta=\dfrac{1-\tan^2\theta}{1+\tan^2\theta}\) \(\tan2\theta=\dfrac{2\tan\theta}{1-\tan^2\theta}\) <증명> \(\sin2\theta=\sin(\theta+\theta)=\sin\theta\cos\theta+\cos\theta\sin\theta=2\sin\theta\cos\theta\) \(\begin{align*}\cos2\theta&=\cos(\theta+\theta)=\cos\theta\cos\theta-\sin\theta\sin\theta=\cos^2\theta-\sin^2\theta=\cos^2\theta-...

역정현함수ㆍ역여현함수 정현(sine)을 구간 \(\left[-{\pi\over 2},\,{\pi\over 2}\right]\)에서 생각하여 \(\begin{align}f(x)=\sin x,\,-{\pi\over 2}\le x\le{\pi\over 2}\end{align}\) 로 두면 \(f\)는 (1) \(\text{D}_f=\left[-{\pi\over 2},\,{\pi\over 2}\right],\,\text{R}_f=[-1, 1]\) (2) 연속 이고 강한 의미의 증가함수이다. 따라서 역함수 \(g\)가 존재하여 \(g\)는 (1) \(\text{D}_g=[-1, 1],\,\text{R}_g=\left[-{\pi\over 2},\,{\pi\over 2}\right]\) (2) 연속이고 강한 의미의 증가함수이다. 이 때 \(g\)를 \(\text{Sin}^{-1}\)로 나타내고 다음과 같이 쓴다. \(g(x)=\text{Sin}^{-1}x\) 일반으로 \(f(x)=\sin x\)에서 \(m\)을 임의의 정수라 할 때 (a) \(\text{D}_f=\left[\left(2m-{1\over 2}\right)\pi,\,\left(2m+{1\over 2}\right)\pi\right]\)라고 하면 \(\text{R}_f=[-1,\,1]\) \(f\) 는 연속이고 강한 의미의 증가함수 (b)  \(\text{D}_f=\left[\left(2m+{1\over 2}\right)\pi,\,\left(2m+{3\over 2}\right)\pi\right]\) 라고 하면 \(\text{R}_f=[-1,\,1]\) \(f\) 는 연속이고 강한 의미의 감소함수 따라서 역함수  g가 존재하여 다음과 같이 된다. (a) \(\text{D}_g=[-1, 1],\,\text{R}_g=\left[\left(2m-{1\over 2}\right)\pi, \left(2m+{1\over 2}\right)\pi\right]\) \(g\) 는 연속이고 강한 의미의 증가함수 (...