함수의 합ㆍ차ㆍ적ㆍ몫의 미분법

정리 1. 함수 \(u,\,v\)가 같은 구간에서 미분가능하다고 하자. (1) \(f=u+v\) 이면 \(f'(x)=u'(x)+v'(x)\) (2) \(f=uv\) 이면 \(f'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)\) (3) \(\begin{align}f={1\over v}\end{align}\) 이면 \(f'(x)=-\dfrac{v'(x)}{v(x)^2}\) (단, \(v(x)\ne0\))

<증명>

(1) \(\begin{split}f'(x)&=\lim_{h\to0}\frac{\{u(x+h)+v(x+h)\}-\{u(x)+v(x)\}}{h}\\&=\lim_{h\to0}\frac{u(x+h)-u(x)}{h}+\lim_{h\to0}\frac{v(x+h)-v(x)}{h}\\&=u'(x)+v'(x)\end{split}\)

(2) \(\begin{split}f'(x)&=\lim_{h\to0}\frac{u(x+h)v(x+h)-u(x)v(x)}{h}\\&=\lim_{h\to0}\left\{\frac{u(x+h)-u(x)}{h}\cdot v(x+h)+u(x)\cdot\frac{v(x+h)-v(x)}{h}\right\}\\&=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)\end{split}\)

(3) \(\begin{split}f'(x)&=\lim_{h\to0}{1\over h}\left\{\frac{1}{v(x+h)}-\frac{1}{v(x)}\right\}\\&=\lim_{h\to0}\left\{-\frac{v(x+h)-v(x)}{h}\right\}\cdot\lim_{h\to0}\frac{1}{v(x+h)v(x)}=-\frac{v'(x)}{v(x)^2}\end{split}\)

계 1. 함수 \(u,\,v\)는 같은 구간에서 미분가능이고 \(c\)는 정수일 때 (1) \(f=cu\) 이면 \(f'(x)=cu'(x)\) (2) \(f=u-v\) 이면 \(f'(x)=u'(x)-v'(x)\) (3) \(f=\dfrac{u}{v}\) 이면 \(f'(x)=\dfrac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{v(x)^2}\) (단, \(v(x)\ne0\))

<증명>

(1) \(c'=0\) 이고 정리 1의 (2)로부터 \(f'(x)=\{cu(x)\}=c'u(x)+cu'(x)=cu'(x)\)

(2) \(\{-v(x)\}'=-v'(x)\) 이고 정리 1의 (1)로부터 \(f'(x)=u'(x)+\{-v'(x)\}'=u'(x)-v'(x)\)

(3) 정리 1의 (2), (3)을 적용하면

     \(\begin{align}f'(x)&=u'(x)\cdot\frac{1}{v(x)}+u(x)\cdot\left\{\frac{1}{v(x)}\right\}'=\frac{u'(x)}{v(x)}-\frac{u(x)v'(x)}{v(x)^2}\\&=\frac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{v(x)^2}\end{align}\)

계 2. \(u_1,\,u_2,\,\cdots,\,u_n\) (단, \(n\)은 2 보다 큰 자연수)는 같은 구간에서 미분가능일 때 (1) \(\displaystyle f=\sum^n_{i=1}u_i\) 이면 \(\displaystyle f'(x)=\sum^n_{i=1}u_i'(x)\) (2) \(f=u_1u_2\cdots u_n\) 이면 \(\displaystyle f'(x)=\sum^n_{i=1}u_1(x)u_2(x)\cdots u_i'(x)\cdots u_n(x)\) (3) \(u\)가 미분가능이고 \(f=u^n\) 이면 \(f'(x)=nu^{n-1}(x)u'(x)\)

<증명> (1), (2)는 수학적 귀납법에 의해 증명한다.

(1) \(n=3\)에 대하여 \(\displaystyle f=\sum_{i=1}^3u_i=u_1+u_2+u_3\) 이고,

\(\displaystyle f'(x)=u_1'(x)+u_2'(x)+u_3'(x)=\sum_{i=1}^3u_i'(x)\) 이므로 자명하게 성립한다.

\(n\)에 대하여 성립한다면 \(\displaystyle f=\sum_{i=1}^{n+1}u_i\) 일 때 \(\displaystyle f'(x)=\sum_{i=1}^nu_i'(x)+u_{n+1}'(x)=\sum_{i=1}^{n+1}u_i'(x)\) 이므로

\(n+1\)에 대하여도 역시 성립한다. 따라서 2 보다 큰 임의의 자연수 \(n\)에 대하여도 성립한다.

(2) \(n=3\)에 대하여 \(f=u_1u_2u_3\) 이고,

\(f'(x)=u_1'(x)u_2(x)u_3(x)+u_1(x)u_2'(x)u_3(x)+u_1(x)u_2(x)u_3'(x)\) 이므로 자명하게 성립한다.

\(n\)에 대하여 성립한다면 \(f=u_1u_2\cdots u_nu_{n+1}\) 일 때

\(\begin{split}f'(x)&=\{u_1(x)u_2(x)\cdots u_n(x)\}'u_{n+1}(x)+\{u_1(x)u_2(x)\cdots u_n(x)\}u_{n+1}'(x)\\&=\left\{\sum_{i=1}^nu_1(x)u_2(x)\cdots u_n(x)\right\}u_{n+1}(x)+u_1(x)u_2(x)\cdots u_{n+1}'(x)\\&=\sum_{i=1}^nu_1(x)u_2(x)\cdots u_i'(x)\cdots u_{n+1}(x)\end{split}\)

이므로 \(n+1\)에 대하여도 역시 성립한다. 따라서 2 보다 큰 임의의 자연수 \(n\)에 대하여도 성립한다.

(3) (2)에서 \(u_1=u_2=\cdots=u_n=u\)라 두면 \(f=u^n\) 이므로

\(\begin{align}f'(x)&=\sum_{i=1}^nu^{n-1}(x)u_i'(x)\\&=u^{n-1}(x)\{u_1'(x)+u_2'(x)+\cdots+u_n'(x)\}\\&=nu^{n-1}(x)u'(x)\end{align}\)

[예제 1] \(a_0,\,a_1,\,\cdots,\,a_n\)를 정수라 하자.

\(\displaystyle f(x)=\sum_{k=0}^na_kx^k=a_0+a_1+a_2x^2+\cdots+a_nx^n\) 이면

\(\displaystyle f'(x)=\sum_{k=1}^nka_kx^{k-1}=a_1+2a_2x+\cdots+na_nx^{n-1}\)

<증명> 미분계수와 도함수 예제 1의 (2)와 계 1의 (1)에 의해서 \(u_k(x)=a_kx^k\)로 놓으면 \(u_k'(x)=ka_kx^{k-1}\) 이다. 또한, 계 2의 (1)에 의해서 \(\displaystyle f(x)=\sum_{k=0}^nu_k\) 이면

\(\begin{split}f'(x)&=\sum_{k=0}^nu_k'(x)=u_0'(x)+u_1'(x)+\cdots+u_n'(x)=a_1+2a_2x+\cdots+na_nx^{n-1}\\&=\sum_{k=1}^nka_kx^{k-1}\end{split}\)

[예제 2] \(f(x)=\dfrac{2x+3}{x^2+3x+5}\) 일 때 \(f'(x)\)를 구하여라.

<풀이> \(u(x)=2x+3,\,v(x)=x^2+3x+5\) 라 두면

\(f(x)=\dfrac{u(x)}{v(x)},\,u'(x)=2,\,v'(x)=2x+3\) 이므로

\(\begin{split}f'(x)=\frac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{v(x)^2}=\frac{2(x^2+3x+5)-(2x+3)^2}{(x^2+3x+5)^2}=\frac{-(2x^2+6x-1)}{(x^2+3x+5)^2}\end{split}\)

[예제 3] 다음 사실을 증명하여라.

(1) \(f(x)=\sec{x}\) 이면 \(f'(x)=\tan{x}\sec{x}\)

(2) \(f(x)=\csc{x}\) 이면 \(f'(x)=-\cot{x}\csc{x}\)

(3) \(f(x)=\tan{x}\) 이면 \(f'(x)=\sec^2x\)

<풀이>

(1) \(f'(x)=\left(\dfrac{1}{\cos{x}}\right)'=\dfrac{-(\cos{x})'}{\cos^2{x}}=\dfrac{\sin{x}}{\cos^2{x}}=\tan{x}\sec{x}\)

(2) \(f'(x)=\left(\dfrac{1}{\sin{x}}\right)'=\dfrac{-(\sin{x})'}{\sin^2{x}}=\dfrac{-\cos{x}}{\sin^2{x}}=-\cot{x}\csc{x}\)

(3) \(f'(x)=\left(\dfrac{\sin{x}}{\cos{x}}\right)'=\dfrac{(\sin{x})'\cos{x}-\sin{x}(\cos{x})'}{\cos^2{x}}=\dfrac{\cos^2{x}+\sin^2{x}}{\cos^2{x}}=\sec^2{x}\)