기계공학 (Mechanical Engineering)

연속체역학(continuum mechanics) 이나 유한요소법(finite element method) 에서 많이 나오는 텐서(첨자 또는 아인슈타인) 표기법에 대해 알아본다. 총합 규약(Summation Convention) 하나의 항에 첨자가 두번 나오면 1에서 3까지 합을 나타낸다. \(a_ib_j\)는 단순히 벡터 \(\bf a\)의 i번째 성분과 j번째 성분의 곱이다. 하지만 \(a_ib_i\)는 완전히 다르다. i가 두번 나오므로 자동적으로 다음과 같이 확장된다. \(a_ib_i=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3\) 이는 벡터 \(\bf a, b\)의 내적을 나타낸다. 크로넥커 델타 (Kronecker Delta) 크로넥커 델타, \(\delta_{ij}\)는 단위행렬(identity matrix), \(\bf I\) 역할을 한다. 그 이유는 i=j 일 때는 \(\delta_{ij}=1\) 이고 그 외에 i≠j 일 때는 \(\delta_{ij}=0\) 이기 때문이다. 따라서 i, j 행열에서 대각 성분은 1 이고 비대각 성분은 0 이 된다. 순열 텐서 (Alternating Tensor) 순열 텐서 \(\epsilon_{ijk}\)는 ijk가 우순열이면 +1, 기순열이면 -1, 그 외의 경우는 0 이다. 벡터의 외적 \(\bf c=a\times b\)를 다음과 같이 나타낼 수 있다. \(\begin{split}c_i=&\epsilon_{ijk}a_jb_k\\=&\epsilon_{i11}a_1b_1+\epsilon_{i12}a_1b_2+\epsilon_{i13}a_1b_3+\\&\epsilon_{i21}a_2b_1+\epsilon_{i22}a_2b_2+\epsilon_{i23}a_2b_3+\\&\epsilon_{i31}a_3b_1+\epsilon_{i32}a_3b_2+\epsilon_{i33}a_3b_3\end{split}\) 위의 식은 아직 일반적이므로 벡터의 특정 성분을 계산하기 위해서는 i를 선택해야 한다.

응력텐서 는 정수압(hydrostatic) 그리고 편향(deviatoric) 응력으로 분해될 수 있다. 정수압 응력은 체적변화 와 관련이 있으며 편향 응력은 형상 변화 와 관련이 있다. 정수압 응력(Hydrostatic Stress) 정수압 응력은 응력텐서 수직성분의 평균이다. \(\sigma_\text{H}=\dfrac{\sigma_{11}+\sigma_{22}+\sigma_{33}}{3}=\dfrac{\text{tr}(\boldsymbol\sigma)}{3}=\dfrac{\text{I}_1}{3}=\dfrac{\sigma_{kk}}{3}\) 텐서 형태로 쓰이기도 하나 스칼라양이다. \(\boldsymbol\sigma_\text{H}=\begin{bmatrix}\sigma_\text{H}&0&0\\0&\sigma_\text{H}&0\\0&0&\sigma_\text{H}\end{bmatrix}\) [예제 1] 다음 응력텐서의 정수압 응력을 구하여라. \(\boldsymbol\sigma=\begin{bmatrix}50&30&20\\30&-20&-10\\20&-10&10\end{bmatrix}\) 정수압 응력은 \(\sigma_\text{H}=\dfrac{50-20+10}{3}=13.3\) 텐서 형태로 쓰면 \(\boldsymbol\sigma_\text{H}=\begin{bmatrix}13.3&0&0\\0&13.3&0\\0&0&13.3\end{bmatrix}\) 정수압 응력과 좌표변환(Hydrostatic Stress and Coordinate Transformation) 정수압 응력은 좌표변환 으로 변하지 않는다. 이는 정수압 응력이 불변치 \(\text I_1\)의 함수임을 봐도 알 수 있다. 또한 좌표변환으로 변하지 않으면 전단응력이 없다는 것을 의미한다. 모든 방향이 정수압 응력

개요 가설검정이란 설정된 가설(귀무가설)이 옳다고 할 때, 표본에서 통계량을 사용하여 얻은 값(검정통계치)과 통계량의 이론적 분포에서 얻어지는 어떤 특정값(임계치)을 비교하여 그 가설을 기각할 것인가 또는 채택할 것인가를 판정하는 것이다. 모수에 대한 주장을 시각적으로 판단하기 어려우므로 가설검정을 통해 주관적인 판단이 아닌 객관적인 의사결정을 할 수 있도록 한다. 이 때 오류의 가능성에 대해서 사전에 오류의 허용확률을 정해 놓고 가설의 채택이나 기각을 결정한다. 절차 귀무가설과 대립가설 귀무가설 \((\text H_0)\) 모집단의 모수에 대해서 현재까지 알려진 사실을 기준으로 설정한 가설이다. 예를 들면 '차이가 없다', '효과가 없다', '~ 같다'등으로 표현된다. 대립가설 \((\text H_1)\) 귀무가설과 반대되는 것으로 새롭게 주장하고자 하는 가설이다. 귀무가설과 배타적이며 동시에 성립할 수 없다. '차이가 있다', '효과가 있다', '모두 같지는 않다' 등으로 표현된다.  가설검정은 모수의 차이 여부를 판단하는 것으로 귀무가설(차이가 없다)과 대립가설(차이가 있다)는 가설검정의 결과로 나올 수 있는 2가지 진술을 나타낸다. 유무죄 판결과 가설검정 유무죄 판결 '죄가 없다.'(귀무가설)고 가설을 정하고, '죄가 있다.'(대립가설)은 증거를 수집하여 범죄여부를 입증하고 법률로써 판단한다. 통계적 가설검정 '모집단의 평균이 차이가 없다.'(귀무가설)고 가설을 정하고, '모집단의 평균이 차이가 있다.'(대립가설)는 표본의 통계치를 계산하여 얻은 유의확률을 유의수준과 비교하여 판단한다. 가설검정 오류 1종오류와 2종오류 표본에서 계산된 통계치를 이용하여 가설의 채택/기각 여부를 판정하므로 오류가 발생한다. 이 오류에 의해 잘못된 결론을 내릴 수 있

상관분석(Correlation Analysis) 두 변수 간의 선형관계를 규명하는 통계적인 분석 방법 으로 상관분석은 두 변수 간의 선형관계 여부를 추론하는 가설검정 이다. - 귀무가설(\(H_0\)) : 두 변수는 상관관계가 없다. (r=0) - 대립가성(\(H_1\)) : 두 변수는 상관관계가 있다. (r≠0) 대립가설의 형태가 'r이 0 이 아니다'이므로 양측검정이다. 상관계수(Correlation Coefficient) 두 변수 간 선형관계의 방향과 강도를 나타낸다. (-1≤r≤1) 피어슨 상관계수 두 양적 변수 간의 선형관계 척도로서 n 개의 데이터 \((X_1,\,Y_1),\,(X_2,\,Y_2),\cdot\cdot\cdot,\,(X_n,\,Y_n)\)이 주어지는 경우 상관계수는 다음과 같이 정의 한다. \(r=\dfrac{\sum_{i=1}^n(X_i-\overline X)(Y_i-\overline Y)}{\sqrt{\sum_{i=1}^n(X_i-\overline X)^2}\sqrt{\sum_{i=1}^n(Y_i-\overline Y)^2}}\) 스피어만 순위 상관계수 두 순위 변수 간의 선형관계 척도로서 \(d_i\)를 \(X_i\) 순위와 \(Y_i\) 순위의 차이라고 할 때 순위 상관계수는 다음과 같이 정의한다. (순위 : 관측치를 크기의 순서대로 정렬했을 때의 Rank)  \(\rho=1-\dfrac{6\sum_{i=1}^nd_i^2}{n(n^2-1)}=\dfrac{\sum_{i=1}^n(S_i-\overline S)(R_i-\overline R)}{\sqrt{\sum_{i=1}^n(S_i-\overline S)^2}\sqrt{\sum_{i=1}^n(R_i-\overline R)^2}}\) 여기서 \(S_i:X_i\)의 순위, \(R_i:Y_i\)의 순위, \(d_i=S_i-R_i\) 위의 식에서 알 수 있듯이 스피어만 상관계수는 각 변수 순위 간의 피어슨 상관계수와 같다. 피어슨 상관계수의 검정통계량 검정에 사용되

\(X_1,\,X_2,\,\cdot\cdot\cdot,\,X_{n1}\)과 \(Y_1,\,Y_2,\,\cdot\cdot\cdot,\,Y_{n2}\)가 각각 정규 모집단 \(N(\mu_1,\,\sigma_1^2),\,N(\mu_2,\,\sigma_2^2)\) 으로부터 추출된 표본크기 \(n_1,\,n_2\)의 서로 독립인 확률표본일 때, 다음 확률변수 F는 자유도 \((n_1-1,\,n_2-1)\)인 F-분포를 따른다. \(F=\dfrac{S_1^2}{\sigma_1^2}/\dfrac{S_2^2}{\sigma_2^2}=\left(\dfrac{S_1^2}{S_2^2}\right)/\left(\dfrac{\sigma_1^2}{\sigma_2^2}\right)\) 여기서  \(\begin{align}&\overline X={1\over n}\sum_{i=1}^{n_1}X_i\qquad S_1^2=\frac{\begin{align}\sum_{i=1}^{n_1}\end{align}\left(X_i-\overline X\right)^2}{n_1-1}\\&\overline Y={1\over n}\sum_{i=1}^{n_2}Y_i\qquad S_2^2=\frac{\begin{align}\sum_{i=1}^{n_2}\left(Y_i-\overline Y\right)^2\end{align}}{n_2-1}\end{align}\) 특징 표본분산의 비를 나타내는 분포이다. 확률변수의 분자, 분모에 포한된 자유도\((n_1-1,\,n_2-1)\)에 따라 분포의 형태가 달라 지며 \(X\sim F(n_1-1,\,n_2-1)\)로 표시한다. 왼쪽으로 치우친 분포이지만 자유도가 증가할 수록 대칭 분포에 근접한다. 등분산 검정 / 분산분석 / 실험계획법 등에 사용한다. F-분포, \(d_1=5, d_2=10\) F-분포와 관련해 흥미로운 사실은 분산분석(ANOVA)를 설명하는 인기 통계 블로그 어디에도 F-ratio의 P-value 값이 F-분포의 확률밀도함수로 어떻게 구