기계공학 (Mechanical Engineering)

2차 방정식과 같이 3차 방정식의 근의 공식을 유도해 본다. (여기서는 실근만 생각한다.) 3차 방정식의 일반식은 다음과 같다. (1) \(z^3+a_2z^2+a_1z+a_0=0\cdot\cdot\cdot(1)\) 2차항을 소거하기 위하여 z를 식 (2)로 치환한다. \(z=x-\lambda\cdot\cdot\cdot(2)\) x에 관하여 정리하면 식(3)과 같다. \(x^3+(a_2-3\lambda)x^2+(a_1-2a_2\lambda+3\lambda^2)x+(a_0-a_1\lambda+a_2\lambda^2-\lambda^3)=0\cdot\cdot\cdot(3)\) \(x^2\)항을 소거하기 위해 \(\lambda\)를 식(4)와 같이 치환하고 정리하면 식(5)가 된다. \(\lambda=a_2/3\cdot\cdot\cdot(4)\) \(\begin{align}x_3+\left(a_1-\frac{{a_2}^2}{3}\right)x-\left(\frac{a_1a_2}{3}-\frac{2}{27}{a_2}^3-a_0\right)=0\cdot\cdot\cdot(5)\end{align}\) 수식을 간단히 하기 위해 계수를 p, q로 치환한다. (6) \(\begin{align}p=\frac{3a_1-{a_2}^2}{3},\ q=\frac{9a_1a_2-27a_0-2{a_2}^3}{27},\ x^3+px=q\cdot\cdot\cdot(6)\end{align}\) 쌍곡선과 삼각함수의 항등식 을 등가하기 위하여 미지수 x를 다음과 같이 조작한다. (7) \(\begin{align}x=\sqrt{\frac{4|p|}{3}}y\cdot\cdot\cdot(7)\end{align}\) 정리하면 식(8)과 같이 표현할 수 있다. (여기서 sgn(x) 함수는 x의 부호를 반환한다.) \(\begin{align}4y^3+3{\rm sgn}(p)y=\frac{q}{2}{\left(\frac{3}{|p|}\right)}^{3/2}=c\

This problem is a statically indeterminated truss system (Figure 1). \(x_1,x_2 : area\ of\ each\ bar,\ {\rm E} : young's\ modulus\) We cannot determine each reaction forces by static equilibrium due to lack of the number of equations. So remove the centered bar to apply a flexibility method. Then, we can get the displacement, δ (Figure 2). \(\rm F'_1=P, F'_3=0,\delta=\begin{align}\frac{{\rm P}l}{{\rm E}x_1{\rm cos}\theta}\end{align}\) Secondly, the redundant force, \(\rm F_2\) loads the bars upward, and find the displacement, \(\delta_\rm F\) (Figure 3). \(\delta_\rm F=\begin{align}\frac{{\rm F_2}l}{{\rm 2E}x_1{\rm cos}^3\theta}\end{align}\) Finally, getting back to the original problem, we get to know \(\rm F_1\) and \(\rm F_2\) are tensile and \(\rm F_3\) is compression forces, respectively (Figure 4). Now, the total downward displacement, \(\delta_2\) by load \(\rm P\) is \(\delta \rm cos\theta-\delta_\rm F\). From the equation, we obtain \(\rm F_2\). The displacement

아래 그림과 같이 길이 L의 균일 단면봉 이 축하중 P에 의해 인장 상태에 있다. 단면에 작용하는 균일 응력 은 σ = P/A로 주어지고, 여기서 A는 단면적이다. 또한, 축방향 변형율은 ε = δ/L 이다. 여기서 δ는 축하중에 의한 늘음량이다. 선형 탄성 재질로 가정하면 후크의 법칙 , σ = Eε이 적용된다. 그 다음 앞의 두식을 결합하면 봉의 늘음량에 대한 다음 공식을 얻는다. \(\delta =\epsilon L=\dfrac{\sigma }{E}L=\dfrac{PL}{EA}\) 위의 공식은 압축의 경우도 적용되며, 이 경우 δ는 수축량을 나타낸다. 늘음량은 양수, 수축량은 음수의 부호 규약을 갖는다. 축하중을 받는 봉의 강성(stiffness) k는 단위 길이 변형을 발생시키는 하중으로 정의된다. 따라서 위의 식으로부터 \(k=\dfrac{EA}{L}\) 유사한 방법으로 연성(flexibility) f는 단위 하중으로 발생되는 변형량으로 정의하며 다음식과 같다. \(f=\dfrac{L}{EA}\) 끝단 하중만 받는 균일 단면봉의 길이 변화는 앞의 식으로 쉽게 구할 수 있다. 하지만, 더 일반적인 경우에도 활용될 수 있다. 아래 왼쪽과 같이 봉의 중간에 다수의 축하중을 받고 있다고 하자. 그러면 각 부분(AB, BC 및 CD)의 축하중을 결정할 수 있고 늘음량이나 수축량도 계산할 수 있다. 최종적으로, 전체 봉의 길이 변화는 이들을 대수적으로 합하면 얻을 수 있다. \(\begin{align}\delta&=\delta_{AB}+\delta_{BC}+\delta_{CD}\\&=\frac{1}{EA}\left(P_{AB}a+P_{BC}b+P_{CD}c\right)\\&=\frac{1}{EA}\left\{\left(-P_1+P_2+P_3\right)a+\left(P_2+P_3\right)b+P_3c\right\}\end{align}\) 같은 방법으로 다른 단면을 가진 균일봉도 적용할 수 있다. (오른쪽 그림) \(\de

벡터 의 구배(gradient of vector)는 텐서(tensor)를 반환한다. 직교좌표계에서는 벡터의 각 성분별로 좌표계 방향별 편미분 을 취하면 되므로 쉽게 유도할 수 있다. 하지만 원통좌표계에서는 직관적이지 않으므로 구배를 구하기 위하여 다음과 같이 유도한다. 직교좌표계에서 벡터\(\overrightarrow{v}\)의 기울기 텐서(gradient tensor) 항은 다음 과정으로 유도된다. 여기서 \(∇_i\)는 델 연산자의 \(i\) 성분만 취한 것이다. \(\overrightarrow{v}=u\hat{i}+v\hat{j}+w\hat{k}\) \({∇\overrightarrow{v}_{xx}}=∇_x\overrightarrow{v}\cdot\hat{i}=\frac{\partial\overrightarrow{v}}{\partial x}\cdot\hat{i}=\frac{\partial}{\partial x}\left(u\hat{i}+v\hat{j}+w\hat{k}\right)\cdot\hat{i}=\frac{\partial u}{\partial x}\) \({∇\overrightarrow{v}_{xy}}=∇_y\overrightarrow{v}\cdot\hat{i}=\frac{\partial\overrightarrow{v}}{\partial y}\cdot\hat{i}=\frac{\partial}{\partial y}\left(u\hat{i}+v\hat{j}+w\hat{k}\right)\cdot\hat{i}=\frac{\partial u}{\partial y}\) ... \({∇\overrightarrow{v}}=\begin{bmatrix}∇\overrightarrow{v}_{xx}&∇\overrightarrow{v}_{xy}&∇\overrightarrow{v}_{xz}\\∇\overrightarrow{v}_{yx}&∇\overrightarrow{v}_{yy}&∇\overrightarrow{v

엑셀을 활용하면  다중 선형 회귀분석을 쉽게 할 수 있다. 예제를 통하여 알아 본다. [예제] KBL(한국농구리그)의 선수 신체조건과 평균 리바운드 개수가 다음과 같을 때 만약 신장 216 cm, 체중 151 kg, 윙스팬 229 cm인 샤킬오닐이 KBL에서 뛸 경우 다중 선형 회귀분석으로 리바운드 개수를 추정하라.   아래와 같이 독립변수와 종속변수를 정의한다. y : 리바운드(개/경기), x1 : 신장(cm), x2 : 체중(kg), x3 : 윙스팬(cm) 선형 회귀이므로 독립 변수(x1, x2, x3)와 종속 변수(y)의 관계는 선형이라고 가정한다. 이제 회귀 통계량을 구하기 위하여 LINEST 함수를 이용한다. 원하는 셀에 다음과 같이 입력한다. =LINEST(E2:E18,B2:D18,TRUE,TRUE) 이 함수는 배열을 반환하므로  5x4 셀 범위를 택하고 F2 키를 누른 후 CTRL+SHIFT+ENTER를 누른다. 그러면 아래와 같은 통계량이 나타난다. 위의 문자 배열은 해당 통계량을 식별하기 위하여 미리 만든 것이다. 각 통계량의 의미는 아래 표와 같다.  mn, mn-1, ... , m2, m1   회귀방정식 독립변수의 계수   b   회귀방정식 절편   sen, sen-1, ..., se2, se1   계수 m1,m2,...,mn에 대한  표준 오차   seb   절편 b에 대한 표준 오차   r2   결정 계수  (0≤r²≤1)   sey   y 추정치의 표준오차   F   F- 검정통계량   df   자유도   ssreg   회귀 제곱의 합   ssresid   잔차 제곱의 합 샤킬 오닐이 KBL에서 뛴다면 다음과 같이 회귀방정식에 독립변수(x1, x2, x3)=(216, 151, 229)를 넣고 계산하면 된다. 추정치는 y=13.5 즉, 경기당 평균 13.5개의 리바운드로 리그 1위가 예상된다. ​ y = m1x1 +