기계공학 (Mechanical Engineering)

개요 (Introduction) 본 글에서는 텐서 표기법을 좀 더 깊이 있게 알아본다. (처음 접하는 독자는 기본 과정 글을 참조한다.) 텐서 표기법의 강점은 하나의 텐서식으로 전체 방정식을 표현하는 데 있다. 이는 행렬 표기법으로는 불가능한 텐서항 간의 관계 파악과 조작을 가능하게 한다. 크로넥커 델타 및 좌표계 미분 (Kronecker Delta and Derivative of Axis Variables) 크로넥커 델타는 좌표계 변수의 그 자신에 대한 도함수와 관련된다. 직교좌표계의 경우는 간단히 아래와 같다. (원통좌표계는 ' 원통좌표계 벡터 변환 ' 글을 참조한다.) \[\begin{split}&\frac{\partial x}{\partial x}=1\quad\frac{\partial x}{\partial y}=0\quad\frac{\partial x}{\partial z}=0\\&\frac{\partial y}{\partial x}=0\quad\frac{\partial y}{\partial y}=1\quad\frac{\partial y}{\partial z}=0\\&\frac{\partial z}{\partial x}=0\quad\frac{\partial z}{\partial y}=0\quad\frac{\partial z}{\partial z}=1\end{split}\] 이제 위의 식들은 텐서 표기법으로 아래와 같이 요약된다. \[\frac{\partial x_i}{\partial x_j}=x_{i,j}=\delta_{ij}\] 예시 (Example) 크로넥커 델타와 좌표계 미분의 관계를 예를 들어 알아본다. 먼저 dy/dx 같은 도함수는 \((y_{\rm new}-y_{\rm old})\)를 \((x_{\rm new}-x_{\rm old})\)로 나눈 것이다. 다음은 점(2, 5, 9)을 기준으로 출발한다. 이제 x 좌표를 2에서 3까지 1 만큼 이동했다고 하자. 따라서 \((x_{\rm new}-x_{\

  함수라는 개념은 이공학에 있어서 매우 중요하다. 함수(函數)라는 단어의 한자를 보면 '상자함'자를 쓴 것을 알 수 있다. 초등학교 수학 시간에 상자그림이 있고 위의 구멍으로 숫자를 넣으면 상자의 규칙 에 따라 아래로 다른 숫자가 나오는 것을 회상헤 본다. 이것이 내 인생에서 처음 접한 함수일 것이다. 현재의 값으로 미래를 예측할 수 있는 함수가 있다면 여러가지 문제들을 해결할 수 있을 것이다. 나도 그러한 일을 하고 있지만 문제는 정확한 함수(모형, 모델)을 만드는 것이 쉽지 않다. 실수 전체의 집합 또는 그 부분집합 X, Y에 대하여 X의 임의의 원에 Y의 원을 한 개씩 대응시키는 규칙 이 주어지면 그것을 X에서 Y로의 함수 라 하고 다음과 같이 나타낸다. f : X→Y f에 의한 a∈X에 대응하는 Y의 원이 b이면 f의 a에서의 값 은 b 이고 b=f(a)로 나타낸다. 집합 X를 f의 정의역 이라 하고 \({\rm D}_f\)로 표시한다. 집합 Y는 f의 공변역 이라 하고 특히 {y∈Y|y=f(x), x ∈X }를 f의 치역 이라 하고 \({\rm R}_f\)로 나타낸다. 집합 X의 임의의 원을 나타내는 기호를 X 위의 변수라고 한다. 함수 f가 X위의 변수 x와 Y 위의 변수 y의 대응 y=f(x) 로 주어질 때 x를 독립변수 , y를 종속변수 라 한다. 독립변수와 관계없는 문자를 상수라 한다. [예제 1]   함수 \(y=ax^2(a>0)\)에서 \({\rm D}_f=(-\infty,\,\infty)\), \({\rm R}_f=[0,\,\infty)\)     ☞ 구간 표기법은 링크를 참조. [예제 2]   함수 (1) \(y=\ \ \ \sqrt{x}\)에서 \({\rm D}_f=[0,\,\infty)\), \({\rm R}_f=[0,\,\infty)\) (2) \(y=-\sqrt{x}\)에서 \({\rm D}_f=[0,\,\infty)\), \({\rm R}_f=(-\infty,\,0]\) 평면 상의 점 P의 좌표를

  평면 상 면적의 도심(centroid) 위치는 단면의 중요한 기하학적 성질이다. 도심의 좌표를 정의하기 위해, 그림 1과 같이 면적 A와 xy 좌표계를 생각한다. 그림 1 면적 A의 도심 C x와 y축에 대한 면적의 1차 모멘트(first moments) 는 각각 다음과 같다. \[Q_x=\int ydA\qquad Q_y=\int xdA\] 도심 C(그림 1)의 x 및 y의 좌표는 1차 모멘트를 그의 면적으로 나눈 것과 같다. \[\overline x={Q_y\over A}=\frac{\int xdA}{\int dA}\qquad\overline y={Q_x\over A}=\frac{\int ydA}{\int dA}\] 만약 이 면적의 경계가 단순한 수학적 표현으로 정의된다면, 윗 식과 같이 닫힌 형태의 적분으로 계산할 수 있으며 x와 y에 대한 식을 얻을 수 있다. 그림 2 단축 대칭 / 양축 대칭 / 점대칭 단면 단면이   축에 대해서 대칭(symmetric about an axis) 이면, 1차 모멘트는 대칭축에 대하여 영이므로 도심은 대칭축 상에 있어야 한다. 예를 들면 그림 2의 왼쪽과 같이 단축대칭 단면의 도심은 대칭축인 x축 상에 놓여야 한다. 그러므로 도심을 결정하기 위해서는 하나의 거리만 계산하면 된다. 단면이 그림 2의 중앙과 같이 두개의 대칭축을 가질 경우, 도심의 위치는 대칭축 간의 교점이므로 관찰에 의해 결정할 수 있다. 그림 2의 오른쪽은 점대칭(symmetric about point) 단면이다. 이 경우 대칭축은 없지만, 단면 상에서 어느 점을 지나는 모든 선들이 그 점에 대하여 대칭인 점(소위 대칭 중심(center of symmetry) )이 존재한다, 당연히 도심은 대칭 중심과 일치하므로 관찰에 의해 결정될 수 있다. 단면 경계가 수학적으로 표현될 수 없는 비정형일 경우, 윗 식의 적분을 근사 수치해석으로 구한다. 가장 단순한 방법으로 면적을 미소요소 \(\Delta A_i\) 로 나누고 적분을 총합으로 계산한다. \