기계공학 (Mechanical Engineering)

아래의 삼차 방정식은 두개의 허근을 갖는다. \[x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)=0\] 허근 중 하나를 ω라 하면 다른 하나는 ω의 켤레 복소수이다. \[\omega=-{1\over2}+{\sqrt{3}\over2}i,\qquad\overline\omega=-{1\over2}-{\sqrt{3}\over2}i\] ω는 위의 방정식의 근이므로 당연히 \[\omega^3=\overline\omega^3=1,\qquad\omega^2+\omega+1=\overline\omega^2+\overline\omega+1=0\] 또한 \(\omega^2\)은 켤레 복소수가 된다. \[\omega^2=-\omega-1=-{1\over2}-{\sqrt{3}\over2}i=\overline\omega,\qquad\overline\omega^2=-\overline\omega-1=-{1\over2}+{\sqrt{3}\over2}i=\omega\] 근과 계수의 관계로부터 다음식이 성립한다. \[\omega+\overline\omega=-1,\qquad\omega\overline\omega=1\]

2차 방정식과 같이 3차 방정식의 근의 공식을 유도해 본다. (여기서는 실근만 생각한다.) 3차 방정식의 일반식은 다음과 같다. (1) \(z^3+a_2z^2+a_1z+a_0=0\cdot\cdot\cdot(1)\) 2차항을 소거하기 위하여 z를 식 (2)로 치환한다. \(z=x-\lambda\cdot\cdot\cdot(2)\) x에 관하여 정리하면 식(3)과 같다. \(x^3+(a_2-3\lambda)x^2+(a_1-2a_2\lambda+3\lambda^2)x+(a_0-a_1\lambda+a_2\lambda^2-\lambda^3)=0\cdot\cdot\cdot(3)\) \(x^2\)항을 소거하기 위해 \(\lambda\)를 식(4)와 같이 치환하고 정리하면 식(5)가 된다. \(\lambda=a_2/3\cdot\cdot\cdot(4)\) \(\begin{align}x_3+\left(a_1-\frac{{a_2}^2}{3}\right)x-\left(\frac{a_1a_2}{3}-\frac{2}{27}{a_2}^3-a_0\right)=0\cdot\cdot\cdot(5)\end{align}\) 수식을 간단히 하기 위해 계수를 p, q로 치환한다. (6) \(\begin{align}p=\frac{3a_1-{a_2}^2}{3},\ q=\frac{9a_1a_2-27a_0-2{a_2}^3}{27},\ x^3+px=q\cdot\cdot\cdot(6)\end{align}\) 쌍곡선과 삼각함수의 항등식 을 등가하기 위하여 미지수 x를 다음과 같이 조작한다. (7) \(\begin{align}x=\sqrt{\frac{4|p|}{3}}y\cdot\cdot\cdot(7)\end{align}\) 정리하면 식(8)과 같이 표현할 수 있다. (여기서 sgn(x) 함수는 x의 부호를 반환한다.) \(\begin{align}4y^3+3{\rm sgn}(p)y=\frac{q}{2}{\left(\frac{3}{|p|}\right)}^{3/2}=c\...