기계공학 (Mechanical Engineering)

굽힘모멘트 항으로 나타낸 처짐곡선(deflection curve) 의 방정식은 x의 함수 로 v를 구하기 위해 적분할 수 있다. 2차 미분방정식이므로 두번의 적분이 요구된다. 그 해법의 첫번째 단계는 자유물체도(free-body diagram)와 정적평형(static equilibrium)을 이용하여 굽힘모멘트의 방정식 을 쓰는 것이다. 만약 보의 차중이 축을 따라 급격히 변하면, 이러한 변화가 발생하는 보의 지점들 사이의 각 구간 마다 별도의 모멘트 방정식이 존재한다. 이들 각 구간에 대해서 M의 표현식을 미분방정식에 대입한다. 그 다음 이 방정식은 v'을 얻기 위해 적분할 수 있고, 이 과정에서 적분상수가 생기게 된다. 두번째 적분을 통해 처짐 v를 구할 수 있고, 또 다른 적분상수가 생긴다. 결과적으로 보의 각 구간마다 두개의 적분상수가 존재하게 된다. 이들 상수들은 보의 지지부와 적분구간이 만나는 점에서 v와 v'의 경계조건을 통하여 구할 수 있다. 이러한 각 조건들은 하나 또는 그 이상의 적분상수를 포함한 방정식을 준다. 이 조건들은 개수와 상수의 숫자들은 항상 짝을 이루기 때문에, 상수들을 구하기 위해 이 방정식들을 풀 수 있다. 이렇게 구한 상수들을 다시 v에 대한 표현식에 대입하면 최종적으로 처짐곡선의 방정식을 구하게 된다. 예제 1 균일 분포하중(uniform load of intensity) q를 지지하는 단순보(simple beam) AB의 처짐곡선의 방정식을 결정하라. 또한 보의 중단에서의 최대 처짐 δ와 지지부의 회전각 \(\theta_a\)와 \(\theta_b\)를 결정하라. 균일 분포하중을 받는 단순보의 처짐 좌단 지지부를 좌표계 원점으로 잡으면 아래 자유물체도의 모멘트 평형으로부터 굽힘모멘트의 방정식은 자유물체도 \(M=\dfrac{qLx}{2}-\dfrac{qx^2}{2}\) 따라서 2차 미분방정식은 다음과 같다. \(EIv''=-\dfrac{qLx}{2}+\dfrac{qx^2}{2}\) 양

변형률 처럼 응력 텐서는 정의와 상관없이 좌표변환 또는 회전행렬 의 전/후 곱을 통하여 변환(transform)할 수 있다. 2-D 응력 좌표 변환 (coordinate transforms) 좌표변환은 물체는 그대로 있고 좌표축이 회전한 경우이다. 주로 응력의 주방향(principal directions)을 찾는데 활용된다. x, y 방향 힘의 평형 은 다음과 같다. \(\begin{split}\sigma_{xx}A\cos\theta+\tau_{xy}A\sin\theta&=\sigma'_{xx}A\cos\theta-\tau'_{xy}A\sin\theta\\\tau_{xy}A\cos\theta+\sigma_{yy}A\sin\theta&=\sigma'_{xx}A\sin\theta+\tau'_{xy}A\cos\theta\end{split}\) 면적 A를 소거하고 미지수 \(\sigma'_{xx},\,\tau'_{xy}\) 및 θ+90˚ 면수직응력 \(\sigma'_{yy}\)를 구하면 \(\begin{split}\sigma'_{xx}&=\sigma_{xx}\cos^2\theta+\sigma_{yy}\sin^2\theta+2\tau_{xy}\sin\theta\cos\theta\\\sigma'_{yy}&=\sigma_{xx}\sin^2\theta+\sigma_{yy}\cos^2\theta-2\tau_{xy}\sin\theta\cos\theta\\\tau'_{xy}&=\left(\sigma_{yy}-\sigma_{xx}\right)\sin\theta\cos\theta+\tau_{xy}\left(\cos^2\theta-\sin^2\theta\right)\end{split}\) 행렬 표기법으로 쓰면 \(\begin{bmatrix}\sigma'_{xx}&\tau'_{xy}\\\tau'_{yx}&\sigma'_{yy}\en