처짐곡선 방정식에 의한 부정정보 해석 (Statically Indeterminate Beam by Deflection Curve Equations)

부정정보(statically indeterminate beam)는 처짐곡선의 미분방정식 중 하나를 풀어 해석할 수 있다. 그 과정은 정정보(determinate beam)과 근본적으로 같으며(굽힘모멘트 적분/전단력과 하중 적분/면적모멘트법에 의한 보의 처짐 참조), 미분방정식을 쓰고, 일반해를 얻기 위해 적분하며, 그 다음 적분상수를 구하기 위해 경계조건을 적용한다.

[예제 1] 균일분포하중 q를 받고 있는 일단고정 타단지지 보(propped cantilever beam) AB가 아래 그림에 나타나 있다. 반력 Ra, Rb 및 Ma를 결정하여라.

예제 1. 일단고정 타단지지 보

Rb를 미지수로 선택한다. 그 다음 평형방정식으로부터 A에서의 반력을 Rb의 항으로 얻을 수 있다.

$$R_a=qL-R_b\qquad M_a={qL^2\over2}-R_bL\qquad\cdots(1)$$

이제 Rb의 항으로 아래 자유물체도(free body diagram)로부터 굽힘모멘트의 알반 표현식을 얻을 수 있다.

$$M=R_ax-M_a-{qx^2\over2}=qLx-R_bx-{qL^2\over2}+R_bL-{qx^2\over2}$$

처짐곡선의 2차 미분방정식은

$$EIv''=-M=-qLx+R_bx+{qL^2\over2}-R_bL+{qx^2\over2}$$

그리고 두번 연속 적분하면 다음식을 얻는다.

$$\begin{split}&EIv'=-{qLx^2\over2}+{R_bx^2\over2}+{qL^2x\over2}-R_bLx+{qx^3\over6}+C_1\\&EIv=-{qLx^3\over6}+{R_bx^3\over6}+{qL^2x^2\over4}-{R_bLx^2\over2}+{qx^4\over24}+C_1x+C_2\end{split}$$

윗식들에는 세개의 미지수(C1, C2 및 Rb)와 다음 세개의 경계조건이 있다:

$$v(0)=v'(0)=v(L)=0$$

이들 조건을 앞의 식에 대입하면 C1=C2=0, 그리고

$$R_b={3qL\over8}$$

이제 구해진 Rb를 가지고 식 (1)로부터 나머지 반력들을 쉽게 구할 수 있다.

$$R_a={5qL\over8}\qquad M_a={qL^2\over8}$$

[예제 2] 아래 그림과 같은 양단고정보(fixed-end beam)의 반력과 처짐을 처짐곡선의 4차 미분방정식을 이용하여 구하여라.

예제 2. 양단고정보

대칭구조이므로 Ma=Mb 그리고 Ra=Rb=P/2 임을 알 수 있다. 따라서 오직 하나의 미지수 (Ma)만 남게 된다. 구간 [0, L/2]에는 아무 하중도 작용하지 않으므로 미분방정식은

$$EIv^{(4)}=0$$

이다. 적분을 하면 다음식들을 얻는다.

$$\begin{split}&EIv'''=C_1\qquad&\cdots(2)\\&EIv''=C_1x+C_2&\cdots(3)\\&EIv'={C_1x^2\over2}+C_2x+C_3&\cdots(4)\\&EIv={C_1x^3\over6}+{C_2x^2\over2}+C_3x+C_4&\cdots(5)\end{split}$$

보의 왼쪽 절반에 적용할 수 있는 경계조건은 다음과 같다: 첫째 이 구간의 전단력은 Ra=P/2와 같다; 따라서 식 (2)로부터 C1=P/2 이다. 다음 x=0에서 굽힘모멘트는 -Ma와 같다; 그러므로 식 (3)으로부터 C2=Ma를 얻는다. 두개의 기울기 조건, 즉, v'(0)=v'(L/2)=0 이므로 C3=0과

$$M_a={PL\over8}$$

를 얻는다. 최종적으로 조건 v(0)=0 이므로 C4=0 이다. 이들 결과들을 조합하면 처짐곡선의 방정식을 쓸 수 있다:

$$v={Px^2\over48EI}(3L-4x)\qquad\left[x,\,{L\over2}\right]$$