기계공학 (Mechanical Engineering)

함수 의 극한 을 구할 때 형식상 \[{0\over0},\qquad{\infty\over\infty},\qquad0\cdot\infty,\qquad\infty-\infty\] 등과 같은 형태의 극한이 자주 나타난다. 이런 꼴의 극한을 부정형(不定形)이라 한다. 부정형 \(\dfrac{0}{0}\) 정리 1  (L'hospital의 法則) 함수 \(f,\,g\)가 \(x=a\)를 포함하는 구간 에서 미분가 능이고, 그 구간에서 \(g'(x)\ne0\) 이라고 한다. \(\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=\lim_{x\to a}g(x)=0,\,x=a\) 이외에서는 \(g(x)\ne0\) 일 때 극한 \[\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}\]가 존재하면 \[\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}\]이다. <증명> \(f,\,g\)는 \(x=a\)를 포함하는 구간에서 연속 이므로 \[\lim_{x\to a}f(x)=f(a)=0,\,\lim_{x\to a}g(x)=g(a)=0\] 이다.  --- under construction ---

다음 \(x\)에 관한 3차 방정식의 세 근을 구하여라. \[x^3-{49\over3}x-{524\over27}=0\] <풀이> 카르다노의 해법 을 이용한다. \(p=-\dfrac{49}{3},\,q=\dfrac{524}{27}\)로 두고 \(x=t-\dfrac{p}{3t}\)로 치환하면 \(t^3\)에 대한 아래의 2차 방정식이 성립한다. \(\displaystyle(t^3)^2-q(t^3)-{p^3\over27}=0\) 2차 방정식의 근의 공식으로부터 \(\displaystyle t^3={q\over2}\pm\sqrt{\left({q\over2}\right)^2+\left({p\over3}\right)^3}={262\over27}\pm\sqrt{\left({262\over27}\right)^2-\left({49\over9}\right)^3}={262\over27}\pm{11\sqrt{5}\over3}i\) \(t\)의 한 근을 \(A=a+bi\)라고 하면 \(t_1^3=(a+bi)^3\) 이므로 \(\displaystyle a(a^2-3b^2)+b(3a^2-b^2)i={262\over27}+{11\sqrt{5}\over3}i\)에서 \(a=\dfrac{2}{3},\,b=\sqrt{5}\) \(A\)의 켤레복소수를 \(B\)라고 하면 최종적으로 다음과 같이 \(x\)의 3개의 근을 구할 수 있다. \(x_1=A+B=-\dfrac{4}{3}\) \(x_2=\omega A+\omega^2B=\dfrac{2}{3}-\sqrt{15}\) \(x_3=\omega^2A+\omega B=\dfrac{2}{3}+\sqrt{15}\)

부정적분 에 있어서 부분적분법 의 공식에 의하면 \[\int f(x)g'(x)dx=f(x)g(x)-\int f'(x)g(x)dx\] 이다. 따라서 \[\int_a^bf(x)g'(x)dx=\left[f(x)g(x)-\int f'(x)g(x)dx\right]_a^b=\left[f(x)g(x)\right]_a^b-\int_a^b f'(x)g(x)dx\] 이것이 정적분 에 있어서의 부분적분의 공식이다. 윗 식에서 \(g(x)=x\)라 하면 다음과 같은 공식을 얻는다. \[\int_a^bf(x)dx=\left[xf(x)\right]_a^b-\int_a^bxf'(x)dx\] [ 예제 1 ] \(\displaystyle {\rm B}_n=\int_0^{\pi/2}\cos^nxdx=\int_0^{\pi/2}\sin^nxdx\)라 한다( 정적분의 치환적분법 문제 3 참고). 점화식 \[{\rm B}_n=\frac{n-1}{n}{\rm B}_{n-2}\ (n=1,\,2,\,\cdots)\] 을 증명하고, 다음 관계를 유도하여라. \[\begin{split}&{\rm B_n}={1\over2}\cdot{3\over4}\cdot{5\over6}\cdots\frac{2m-1}{2m}\cdot{\pi\over2}\ (n=2m)\\&{\rm B}_n={2\over3}\cdot{4\over5}\cdot{6\over7}\cdots\frac{2m}{2m+1}\qquad(n=2m+1)\end{split}\] < 풀이 > 부분적분법에 의해서 다음과 같이 계산한다. \[\begin{align}{\rm B}_n&=\int_0^{\pi/2}\cos^nxdx=\int_0^{\pi/2}\cos^{n-1}x\cos{x}dx\\&=\left[\cos^{n-1}x\sin{x}\right]_0^{\pi/2}+(n-1)\int_0^{\pi/2}\cos^{n-2}x\sin^2xdx\\&=(n-1)\int_0^{\pi/...

등비수열은 각 항이 초항과 일정한 비를 가지는 수열 이다. 즉, 초항이 \(a\)이고 공비가 \(r\) 이면 수열 \(\{a_n\}\)은 \[a,\,ar,\,ar^2,\,ar^3,\,\cdots,\,ar^{n-1},\,ar^n,\,\cdots\] 이므로 \(n\) 번째 항은 \[a_n=ar^{n-1}\] \(r\ne1\) 인 경우 초항부터 \(n\)항 까지의 합은 \[S_n=\frac{a(1-r^n)}{1-r}=\frac{a(r^n-1)}{r-1}\ (\text{단,}\,r=1\ \text{인 경우는}\ na)\] [증명] 초항부터 \(n\)번째 항까지의 합, \(S_n\)은 식 (1)과 같다. \[S_n=a+ar+ar^2+ar^3+\cdots+ar^{n-1}\cdots(1)\] 식 (1)의 양변에 공비 \(r\)를 곱하면 \[rS_n=ar+ar^2+ar^3+\cdots+ar^{n-1}+ar^n\cdots(2)\] 식 (1)에서 식 (2)를 빼고 \(r\ne1\) 일 때 정리하면 다음과 같이 합의 공식을 얻는다. \[(1-r)S_n=a-ar^n,\,S_n=\frac{a(1-r^n)}{1-r}\]

\(f\)가 2회 미분가능 한 함수 일 때 방정식 \(f(x)=0\)의 근사치를 구할 수 있는 정리 가 있다. 정리 1 함수 \(f\)가 \([a,\,b]\)에서 2회 미분가능이고 (1) \(f''(x)\ne0\) (\(f''(x)>0\) 또는 \(f''(x)<0\)), (2) \(f(a)f(b)<0\) (\(f(a)\)와 \(f(b)\)는 이부호(異符號))라 하자. \(a\le a_1\le b\)인 \(a_1\)을 \[\begin{align}&f''(x)>0\ \text{일 때}\ f(a_1)>0\\&f''(x)<0\ \text{일 때}\ f(a_1)<0\end{align}\]되고록 잡고 \[a_2=a_1-\frac{f(a_1)}{f'(a_1)},\,a_3=a_2-\frac{f(a_2)}{f'(a_2)},\,\cdots,\,a_{n+1}=a_n-\frac{f(a_n)}{f'(a_n)}\ (n=1,\,2,\,3,\,\cdots)\]라 하여 차례로 \(a_1,\,a_2,\,a_3,\,\cdots,\,a_n,\,\cdots\)을 구하면 (3) 수열 \(\{a_n\}\)은 수렴하여, (4) \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=\alpha\)라 하면 \(f(\alpha)=0\) 이므로 (5) \([a,\,b]\)에서 \(f(x)=0\)의 근은 \(\alpha\)뿐이다. < 증명 > \([a,\,b]\)에서 \(f''(x)>0,\,f(a)<0,\,f(b)>0\)라 하자. 중간값 정리 에 의해, \((a,\,b)\)에서 \(f(x)=0\)의 근은 적어도 한 개 존재한다. 그런데, 이런 근은 단지 한 개 밖에 없음을 알 수 있다. 왜냐하면, 두 근 \(x_0,\,x_1\)이 있고 \(a<x_0<x...