기계공학 (Mechanical Engineering)

공간에 질량 \(m_1,\,m_2,\,\cdots,\,m_n\)을 가진 점 \({\rm P}_1,\,{\rm P}_2,\,\cdots,\,{\rm P}_n\)와 직선 \(g\)가 주어져다고 하자. 이 때 각 점에서 직선까지의 거리가 각각 \(r_1,\,r_2,\,\cdots,\,r_n\) 이면, 다음 합 \[{\rm I}_g=\sum_{i=1}^nm_ir_i^2=m_1r_1^2+m_2r_2^2+\cdots+m_nr_n^2\] 을 이 질점계의 \(g\)둘레의 관성능률(慣性能率) 이라 한다. 여기서 직선 \(g\)가 \(z\)축이라면 각 점의 좌표를 각각 \({\rm P}_1(x_1,\,y_1,\,z_1),\,{\rm P}_2(x_2,\,y_2,\,z_2),\cdots,\,{\rm P}_n(x_n,\,y_n,\,z_n)\)으로 나타낼 때 \(z\)축 둘레의 관성능률은 \(r_i^2=x_i^2+y_i^2\ (i=1,\,2,\,\cdots,\,n)\)이므로 \[{\rm I}_z=\sum_{i=1}^nm_i\left(x_i^2+y_i^2\right)\]  이다. 같은 방법으로 \(x\)축과 \(y\)축 둘레의 관성능률은 각각 \[{\rm I}_x=\sum_{i=1}^nm_i\left(y_i^2+z_i^2\right),\qquad{\rm I}_y=\sum_{i=1}^nm_i\left(z_i^2+x_i^2\right)\] 으로 주어진다. 여기서 \[{\rm H}_1=\sum_{i=1}^nm_ix_i^2,\qquad{\rm H}_2=\sum_{i=1}^nm_iy_i^2,\qquad{\rm H}_3=\sum_{i=1}^nm_iz_i^2\] 을 각각 \(yz,\,zx,\,xy\) 평면에 관하여 이 질점계의 2차 능률(二次能率) 이라 한다. \[{\rm I}_x={\rm H}_2+{\rm H}_3,\qquad{\rm I}_y={\rm H}_3+{\rm H}_1,\qquad{\rm I}_z={\rm H}_1+{\rm H}_2\cdots(1)\] 가 성립함을 알 수 있...

 make use of : ~을 활용하다.

입체의 체적(부피)를 정적분 을 이용하여 구하는 방법을 알아본다. 정리 1   입체와 직선 \(g\)가 있고 \(g\) 상에 주어진 좌표 \((x)\)에 대하여 \(g\) 상에 좌표 \(x\)인 점 \(\rm P\)를 통하고 \(g\)에 수직인 평면으로 입체를 절단할 때 절단면의 면적을 \({\rm S}(x)\)라 하자. 이 때 \({\rm S}(x)\)가 \(x\)의 연속함수 라면, 이 입체의 부피는 \[{\rm V}=\int_a^b{\rm S}(x)dx\]로 주어진다. <증명>   \(g\) 상의 점 \(x\)와 \(x+\Delta{x}\)를 통하는 \(g\)에 수직인 두 평면으로 입체를 절단하여 그림 1 처럼 얇은 판모양의 입체를 만들자. 이 때 얇은 판모양의 입체의 부피는 \[\Delta{\rm V}\fallingdotseq{\rm S}(x)dx\] 에 근사하다. 따라서 정적분의 성질에 의하여 입체 부피 \(rm V\)는 \[{\rm V}=\int_a^b{\rm S}(x)dx\] 가 된다. 그림 1 [예제 1] 타원면 \[\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1\ (a,\,b,\,c>0)\] 으로 싸인 타원체의 부피를 구하여라. <풀이> 이 타원체를 그림 2와 같이 표시한 부분은 전체의 \(1/8\)이다. 여기서 점 \((x,\,0,\,0)\)을 지나고 \(x\)축에 수직인 평면으로 절단된 부분은 타원의 \(1/4\)로서 그 타원의 방정식은 \[\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1-\frac{x^2}{a^2}\] 이것을 변형하면 \[\frac{y^2}{\left(b\sqrt{1-x^2/a^2}\right)^2}+\frac{z^2}{\left(c\sqrt{1-x^2/a^2}\right)^2}=1\] 이것으로부터 절단부분의 넓이를 구하면 타원의 \(1/4\) 이므로 \[...

1개의 직선상에 \(n\)개의 점 \({\rm P}_1(x_1),\,{\rm P}_2(x_2),\,\cdots,\,{\rm P}_n(x_n)\)에 각각 질량 \(m_1,\,m_2,\,\cdots,\,m_n\)이 주어져 있을 때, 좌표 \[\overline{x}=\frac{m_1x_1+m_2x_2+\cdots+m_nx_n}{m_1+m_2+\cdots+m_n}\] 을 갖는 점 \({\rm G}(\overline{x})\)를 이 질점계의 중심(重心) 이라 한다. 이 때 \(\overline{x}\)는 질량 \(m_1,\,m_2,\,\cdots,\,m_n\)을 갖는 \(x_1,\,x_2,\,\cdots,\,x_n\)의 가중평균치 이다. 그림 1 평면상에 \(n\)개의 점 \({\rm P}_1(x_1,\,y_1),\,{\rm P}_2(x_2,\,y_2),\,\cdots,\,{\rm P}_n(x_n,\,y_n)\)에 각각 질량 \(m_1,\,m_2,\,\cdots,\,m_n\)이 주어져 있을 때, 좌표 \[\begin{align}\overline{x}&=\frac{m_1x_1+m_2x_2+\cdots+m_nx_n}{m_1+m_2+\cdots+m_n}\\\overline{y}&=\frac{m_1y_1+m_2y_2+\cdots+m_ny_n}{m_1+m_2+\cdots+m_n}\end{align}\] 을 갖는 점 \({\rm G}(\overline{x},\,\overline{y})\)를 이 질점계의 중심 이라 한다. 공간의 \(n\)개의 점 \({\rm P}_1(x_1,\,y_1,\,z_1),\,{\rm P}_2(x_2,\,y_2,\,z_2),\,\cdots,\,{\rm P}_n(x_n,\,y_n,\,z_n)\)에 각각 질량 \(m_1,\,m_2,\,\cdots,\,m_n\)이 주어져 있을 때, 좌표 \[\begin{align}\overline{x}&=\frac{m_1x_1+m_2x_2+\cdots+m_nx_n}{m_1+m_2+\cdots+m_n}...

  함수 \(f(x,\,y)\)에 대해서, \(f(tx,\,ty)=t^nf(x,\,y)\) (\(t\)는 \(0\)이 아닌 실수)이면, \(f\)를 \(x,\,y\)의 \(n\)차 동차함수(同次函數)라 한다. \(f\)가 \(x,\,y\)의 \(n\)차 동차함수이면 \[\left(x\frac{\partial}{\partial x}+y\frac{\partial}{\partial y}\right)^kf(x,\,y)=n(n-1)\cdots(n-k+1)f(x,\,y)\] 임을 증명하여라. <증명> \(u=tx,\,v=ty\)라 두면 \(f(tx,\,ty)=f(u,\,v)=t^n(x,\,y)=g(t)\)가 된다. 양변을 \(t\)로 미분하면 합성함수의 편미분법 정리 1에 의해 \[g'(t)=\frac{\partial f}{\partial x}u'(t)+\frac{\partial f}{\partial y}v'(t)=\left(x\frac{\partial}{\partial u}+y\frac{\partial}{\partial v}\right)f(u,\,v)=nt^{n-1}f(x,\,y)\] 이다. 이 식의 양변을 \(t\)로 계속 미분하면 \[g^{(n)}(t)=\left(x\frac{\partial}{\partial u}+y\frac{\partial}{\partial v}\right)^kf(u,\,v)=n(n-1)\cdots(n-k+1)t^{n-k}f(x,\,y)\] \(t=1\)로 놓으면 \(u=x,\,v=y\) 이므로 증명되었다.