기계공학 (Mechanical Engineering)

극좌표계 에서 기본적인 벡터 연산자(vector operator)의 유도 과정을 소개한다. 극좌표계의 단위 벡터는 좌표계의 함수 이다. 단위 벡터의 좌표계 미분 을 복습하면 다음과 같다. \[\begin{split}&\frac{\partial\hat{r}}{\partial r}=\frac{\partial\hat\theta}{\partial r}=\frac{\partial\hat\phi}{\partial r}=\frac{\partial\hat\phi}{\partial\theta}=0,\,\frac{\partial\hat{r}}{\partial\theta}=\hat\theta,\,\frac{\partial\hat{r}}{\partial\phi}=\sin\theta\hat\phi,\,\frac{\partial\hat\theta}{\partial\theta}=-\hat{r},\,\frac{\partial\hat\theta}{\partial\phi}=\cos\theta\hat\phi,\,\\&\frac{\partial\hat\phi}{\partial\phi}=-\cos\theta\hat\theta-\sin\theta\hat{r}\end{split}\] 경로 증분 (Path Increment) 단위 벡터의 좌표계 미분과 합성함수의 편미분법 을 적용하면 다음과 같이 유도된다. \[d{\bf p}=d(r\hat{r})=\hat{r}dr+rd\hat{r}=\hat{r}dr+r\left(\frac{\partial\hat{r}}{\partial r}dr+\frac{\partial\hat{r}}{\partial\theta}d\theta+\frac{\partial\hat{r}}{\partial\phi}d\phi\right)=\hat{r}dr+r\hat\theta d\theta+r\sin\theta\hat\phi d\phi\] 구배 연산자 (Del Operator from the Definition of Gradient) 어느 스칼라 장(場, field) \(f\...

직교좌표계와 상호변환 \(r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}\) \(\theta={\rm Tan}^{-1}(y/x)\) \(\phi={\rm Cos}^{-1}(z/r)\) \(x=r\sin\theta\cos\phi\) \(y=r\sin\theta\sin\phi\) \(z=r\cos\theta\) 단위 벡터 극좌표계의 단위 벡터는 직교좌표계와 달리 원주(원통)좌표계 처럼 좌표의 함수 이다. 따라서 직교좌표계 단위 벡터와 같이 표현하면 편리하다. \(\hat{r}=\dfrac{\bf r}{r}=\dfrac{x{\bf i}+y{\bf j}+z{\bf k}}{r}=\sin\theta\cos\phi{\bf i}+\sin\theta\sin\phi{\bf j}+\cos\theta{\bf k}\) \(\begin{split}\hat\theta&=\hat\phi\times\hat{r}=(-\sin\theta{\bf i}+\cos\phi{\bf j})\times(\sin\theta\cos\phi{\rm i}+\sin\theta\sin\phi{\bf j}+\cos\theta{\bf k})\\&=\cos\theta\cos\phi{\bf i}+\cos\theta\sin\phi{\bf j}-\sin\theta{\bf k}\end{split}\) \(\hat\phi=\hat{z}\times\hat{r}(\pi/2,\,\phi)={\bf k}\times(\cos\phi{\bf i}+\sin\phi{\bf j})=-\sin\phi{\bf i}+\cos\phi{\bf j}\) 단위 벡터의 좌표계 미분 위의 표현을 이용하면 다음과 같이 쉽게 단위 벡터의 좌표계 방향별 편미분 을 유도할 수 있다. \(\dfrac{\partial\hat{r}}{\partial r}=0\) \(\dfrac{\partial\hat{r}}{\partial\theta}=\cos\theta\cos\phi{\bf i}+\cos\theta\sin\phi{\bf j}-\sin\theta{\bf k}=\...

함수 \(f(x)\)가 구간  \([a,\,b]\)에서 연속 이고, \(f(x)\ge0\)이라 한다. 구간 \([a,\,b]\)를 \(2n\) 등분해서 분점을 \[a=x_0<x_1<x_2<\cdots<x_{2n}=b\] 라 하자. 각 분점에 있어서의 함수 \(f(x)\)의 값을 각각 \[y_0=f(x_0),\,y_1=f(x_1),\,\cdots,\,y_{2n}=f_{2n}(x_{2n})\] 라 한다. 각 소구간의 길이는 모두 같아서 \[h=\frac{b-a}{2n}\] 이다. 사다리꼴의 공식 에서는 곡선의 각 소부분을 선분으로 보았으나, Simpson의 공식에서는 이것을 \(y\)축에 평행한 축을 가지는 포물선의 일부로 보고 적분 의 근사값을 구한다. 그래서 \(y=f(x)\)의 그래프를 나타내는 곡선을 아래 그림과 같이 \(2n-1\) 개의 분점 \[\rm P_1,\,P_2,\,\cdots,\,P_{2n-1}\] 으로 분할한다. 곡선의 소부분 \[\rm P_1P_2P_3,\,P_2P_3P_4,\,\cdots,\,P_{2n-2}P_{2n-1}P_{2n}\] 을 각각 \(y\)축에 평행한 축을 갖는 포물선의 일부로 보고, 이들 포물선의 호와 \(x\)추가 사이에 있는 면적을 위의 그림과 같이 각각 \[\rm S_1,\,S_2,\,\cdots,\,S_n\] 라 하고, 적분을 다음과 같이 근사시킨다. \[\int_a^bf(x)dx\fallingdotseq\rm S_1+S_2+\cdots+S_n\] 그래서 \(\rm S_1\)을 구해 보자. 호 \(\rm P_0P_1P_2\)를 \(y\)축에 평행한 축을 갖는 포물선의 일부라고 보고, 이 포물선의 방정식을 구한다. 계산을 간단히 하기 위하여 좌표축을 \(x\)축의 방향으로 평행이동하여 점 \(\rm P_1\)이 \(y\)축 위에 오도록 한다. 그래서 이 새로운 좌표에 관한 이 포물선의 방정식을 \[y=ax^2+bx+c\] 라 하자. \(\rm P_0,\,P_1,\,P_2\)의 새...

함수와 그래프 정의 1 (\(\epsilon\)-近傍) 평면 상의 한 점 \({\rm A}(a,\,b)\)에서 거리가 \(\epsilon\)보다 작은 점 \({\rm P}(x,\,y)\)들의 집합 \[{\rm N}_\epsilon({\rm A})=\{{\rm P}|\rho({\rm A,\,P})<\epsilon\}=\left\{(x,\,y)|\sqrt{(x-a)^2+(y-b)^2}<\epsilon\right\}\] 를 \(\rm A\)의 \(\epsilon\)-근방(近傍)이라고 한다(단, \(\rho(\rm A,\,P)\)는 두 점 \(\rm A,\,P\) 사이의 거리를 표시한다) . 평면전체 또는 그 부분집합 \(\rm D\) 내의 임의의 점 \({\rm P}(x,\,y)\)에 단 하나의 실수 \(z\)를 대응시키는 대응규칙을, \(\rm D\)를 정의역으로 하는 함수 라 하고, \[f\ :\ \rm D\ \to\ R\] 로 나타낸다. 함수 \(f\)의 정의역을 \({\rm D}_f\)로 표시한다. \(f\)에 의해 점 \(\rm P\)에 실수 \(z\)가 대응한다는 것을 \[z=f({\rm P})=f(x,\,y)\] 로 나타내며, 이러한 실수 \(z\)의 집합을 \(f\)의 치역이라 하고 \({\rm R}_f\)로 표시한다. \(x=f(x,\,y)\)는 두 변수 \(x\)와 \(y\)의 값이 주어질 때, \(z\)의 값이 정해지므로 \(f\)를 2변수 함수(二變數函數)라고 한다. 3개 이상의 변수에 관한 함수도 같은 방법으로 정의될 수 있는데 2변수 이상의 함수를 다변수함수(多變數函數)라 한다. [예제 1] 2변수 함수의 예 (1) \(f(x,\,y)=3x-2y\), 정의역은 전평면 (2) \(f(x,\,y)=1-x^2-y^2\), 정의역은 전평면 (3) \(f(x,\,y)=\sqrt{1-x^2-y^2}\), 정의역은 원점을 중심으로 하고 반경이 1인 원과 그 내부 (4) \(f(x,\,y)=\dfrac{x}{y}\), 정의역은 전평면에서...

피적분함수 \(f(x)\)를 나타내는 수식을 알 수 없는 경우에 실험이나 관측 등에 의해서 \(f(x)\)의 값을 알게 되었다고 하고 \[\int_a^bf(x)dx\] 의 근사값을 구하는 방법을 생각하자. 이 때, 가장 간단한 방법으로서 사다리꼴의 공식이 있다. 구간 \([a,\,b]\)에서 \(f(x)\)는 연속 이고 \(f(x)\ge0\)라 하자. 구간 \([a,\,b]\)를 \(n\) 등분해서 분점 \[a=x_0<x_1<x_2<\cdots<x_n=b\] 에 있어서의 함수 \(f(x)\)의 값이 알려져 있어 \[y_1=f(x_1),\,y_2=f(x_2),\,\cdots,\,y_n=f(x_n)\] 라 하자. \(x\) \(x_0\quad x_1\quad x_2\quad\cdots \quad x_n\) \(y=f(x)\) \(y_0\quad y_1\quad y_2\quad\cdots \quad y_n\) 이 분할에 있어서의 각 소구간의 길이는 모두 같아서 \[h={b-a\over n}\] 이다. 그런데 \(y=f(x)\)의 그래프, \(y\)축에 평행한 두 직선 \(x=a,\,x=b\) 및 \(x\)축으로 둘러싸이는 도형의 면적은 정적분 \[{\rm A}=\int_a^bf(x)dx\] 를 나타낸다고 생각하고, 이 면적의 근사값을 다음과 같이 구한다. 위의 그림과 같이 분점 \(x_{i-1}\)에서 \(x_i(i=1,\,2,\,\cdots,\,n)\)까지의 부분을 모두 사다리꼴이라 보고, 이들 사다리꼴의 넓이를 각각 \[\rm S_1,\,S_2,\,\cdots,\,S_n\] 라 해서 이들의 합으로 \(\rm A\)에 근사시킨다. 즉, \[\rm A\approx S_1+S_2+\cdots+S_n\] 이다. 여기서 사다리꼴의 공식에 의하면 \[{\rm S}_1={h\over2}(y_0+y_1),\,{\rm S}_2={h\over2}(y_1+y_2),\,\...