기계공학 (Mechanical Engineering)

\(x\)와 \(y\)가 각각 \(u,\,v\)의 함수 \(x=g(u,\,v),\,y=h(u,\,v)\) 일 때 야코비언 행열식 (Jacobian) Determinant) \(J\)는 다음과 같다. \[J=\left|\begin{matrix}\frac{\partial x}{\partial u}&\frac{\partial x}{\partial v}\\\frac{\partial y}{\partial u}&\frac{\partial y}{\partial v}\end{matrix}\right|\] 독일 수학자 Carl Gustav Jacob의 이름을 딴 야코비언 행열식(혹은 야코비언)은 다중 치환적분 시에 사용된다. 이해를 쉽게하기 위해 단일변수의 미적분을 생각해 보자. 어떤 함수 \(f(x)\)의 적분 이 있고 \(x=g(u)\)로 치환할 경우 다음 식을 얻는다: \[\frac{\partial x}{\partial u}=g'(u)\] 이 식은 정리하면 \(dx=g'(u)du\) 이다. 이 식을 원 적분식에 대입하면: \[\int f(x)dx=\int f(g(u))g'(u)du\] 치환을 위해 곱해진 \(g'(u)\) 항은 본질적으로 다변수 미적분의 야코비언이다. 실제로 이중적분 의 치환도 이것과 비슷한 형태로 표현된다: \[\iint_Rf(x,\,y)dxdy=\iint_Sf(g(u,\,v),\,h(u,\,v))dudv\] 여기서 \(J(u,\,v)\)는 야코비언으로 알려진 그것이다. 야코비언 유도 (Jacobian Derivation) \(uv\) 좌표계의 미소면적 \(dudv\)가 좌표변환 을 통해 어떻게 \(xy\) 좌표계의 \(dxdy\)로 변환되는지 알아 본다. 아래 그림 왼쪽과 같이 각 변의 길이가 \(du\)와 \(dv\)로 이루어진 미소 사각형을 생각한다. 이 사각형은 두 개의 벡터항  \((du,\,0)\)와 \((0,\,dv)\)로 나타낼 수 있고 좌표변환을 통해 어떻게 이 벡터들이 \(xy\)...

 jerk n. 갑작스런 움직임

such that : to the extent that

conform to sth : ~을 따르다. comply with : ~을 준수하다.

그림 1 함수 \({\rm F}(x,\,y)\)가 그림 1과 같은 직사각형의 영역 \(\rm D\), 즉 \[{\rm D}:a\le{x}\le b,\qquad c\le{y}\le d\] 가 주어져 있을 때, \(\rm D\)를 직선 \(y=k\)(상수)로 절단하여 절단된 선분을 \(\rm PQ\)라 하자. 이 선분 \(\rm PQ\) 위에서는 \(y\)가 상수이므로 \({\rm F}(x,\,y)\)는 \(x\)만의 함수가 된다. 여기서 \(y\)를 고정하여 \({\rm F}(x,\,y)\)를 \(a\)에서 \(b\)까지 적분 한 결과를 \[{\rm A}(y)=\int_a^b{\rm F}(x,\,y)dx\] 로 표시하고, 이것을 선분 \(\rm PQ\)를 따른 \({\rm F}(x,\,y)\)의 적분 이라 한다. 이 적분 \({\rm A}(y)\)의 값은 \(y\)의 값에 의하여 결정되므로 \({\rm A}(y)\)는 \(y\)의 함수 이다. 여기서, 이 함수 \({\rm A}(y)\)를 \(y\)에 관하여 \(c\)부터 \(d\)까지 적분하면 \[\int_c^d{\rm A}(y)dy=\int_c^d\left\{\int_a^b{\rm F}(x,\,y)dx\right\}\cdots(1)\] 가 얻어진다. 이것을 영역 \(\rm D\)에서 \({\rm F}(x,\,y)\)의 반복적분(反復積分 ; iterated integral) 이라 한다. 그림 2 영역 \(\rm D\)에서 \({\rm F}(x,\,y)\ge0\) 이라 하자. \(\rm D\)를 밑면으로 하는 기둥과 곡면 \(z={\rm F}(x,\,y)\)의 사이에 있는 입체와 직선 \(\rm PQ\)를 포함하며 \(xy\) 평면 에 수직인 평면과 교차하는 면적 을 \({\rm A}(y)\)로 두면 \({\rm A}(y)=\int_a^b{\rm F}(x,\,y)dx\)이다. 따라서 반복적분 \(\int_c^d{\rm A}(y)dy=\int_c^d\{\int_a^b{\rm F}(x,\,y)dx\}dy\)...