기계공학 (Mechanical Engineering)

1. 다음 각 곡선 및 직선으로 둘러싸인 부분의 넓이 를 구하여라. (1) \(a^2y=x^2(x+a)\) \((a>0)\) 및 \(x\)축 (2) \(y^2=4ax\) 및 \(x^2=4ay\) \((a>0)\) (3) \(y^2=4a(x+a)\) 및 \(y^2=4b(b-x)\) \((a,\,b>0)\) (4) \(x^2=4ay\) 및 \(y=\frac{8a^3}{x^2+4a^2}\) (5) \(y^2=(x-a)(x-b)^2\ (0<a<b)\) (6) \(y=x^2,\,y=x\) 및 \(y=2x\) (7) \(y=x\ln{1\over x}+(1-x)\ln{1\over1-x}\ (0\le{x}\le1)\) 및 \(x\)축 (8) \(ax^2+2hxy+by^2+c=0\ (ab-h^2>0,\,bc<0)\) (9) \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\) 상의 한 점을 \({\rm P}(x,\,y)\), 정점을 \(\rm A\)라 할 때 호 \(\rm AP\)와 \(\rm OA,\,OP\)로 싸인 부분 (10) \(16a^4y^2=b^2x^2(a^2-2ax)\ (a>0,\,b>0)\) (11) \(r=a(\sin^2\theta+\cos^2\theta)\) (12) \(r\cos\theta=a\cos2\theta\) <풀이> (1) 주어진 곡선은 \(x=-a\)와 \(x=0\)에서 \(x\)축과 만나므로 \({\rm S}={1\over a^2}\int_{-a}^0x^2(x+a)dx={1\over a^2}\left[{x^4\over4}+{ax^3\over3}\right]_{-a}^0={a^2\over12}\) --- under construction ---

< 문제 > \(\rm ABCDEF\)는 정육면체이다. \(\rm BM=4,\,MR=2\) 일 때 \(\rm RH\)를 구하여라.   < 풀이 > \(\rm R\)로부터 \(\rm ME\) 상에 수선 \(\rm RG\)를 그리면 \(\rm\triangle MCB\)와 \(\rm\triangle MGR\)은 닮은 꼴이다. 주어진 조건으로부터 두 삼각형의 비율은 2:1 이고 \(\rm CB=L\)(한 변의 길이)로 두면 \(\rm RG=L/2\) 이다. 즉, 점 \(\rm R\)과 \(\rm D\)는 일치한다. 따라서 \(\rm RH=RB=6\) 이다.

Airy stress functions 2-D 평형 탄성 문제에 있어서 에어리 응력 함수(Airy stress function) 사용은 매우 유용하다. 여기서는 체적력과 가속도가 없는 경우를 소개한다. 이 경우 2-D 평형 방정식은 다음과 같이 축약된다. \[\frac{\partial\sigma_{xx}}{\partial x}+\frac{\partial\tau_{xy}}{\partial y}=0\qquad\frac{\partial\sigma_{yy}}{\partial y}+\frac{\partial\tau_{xy}}{\partial x}=0\] 다음에는 2-D 응력 성분과 연관된 스칼라 함수 , \(\phi\), 즉 에어리 응력 함수를 제안한다. \[\sigma_{xx}=\frac{\partial^2\phi}{\partial y^2}\qquad\sigma_{yy}=\frac{\partial^2\phi}{\partial x^2}\qquad\tau_{xy}=-\frac{\partial^2\phi}{\partial{x}\partial{y}}\] 이 응력 함수는 평형 방정식을 만족한다. \[\begin{gather}\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial^2\phi}{\partial y^2}\right)-\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{\partial^2\phi}{\partial x\partial y}\right)=0\\\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{\partial^2\phi}{\partial x^2}\right)-\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial^2\phi}{\partial x\partial y}\right)=0\end{gather}\] 위의 결과 \(\phi\)의 선택과는 상관 없이 항상 만족한다는 사실이다. 따라서 어떤 함수를 선택해도 해당 문제의 해가 될 수 있다. 단지 해...

어떤 물체의 중심 \(G\)를 지나는 직선 \(g\) 둘레의 관성능률 을  \({\rm I}_g\)라 하고 \(g\)에 평행한 직선 \(g'\) 둘레의 관성능률을 \({\rm I}_g'\)로 두면 \[{\rm I}_g'={\rm I}_g+k^2{\rm M}\] 이다. 단, \(k\)는 \(g\)와 \(g'\)와의 거리이고 \(\rm M\)은 물체의 전체 질량이다. <증명> 아래 그림과 같이 \(g\)를 \(z\)축으로 두자. 또 \(g'\)를 \(z'\)축으로 하는 좌표계  x'y'z'-계를 설정하자. \(yz\)평면과 \(zx\)평면에 관한 2차능률을 각각 \(\rm H_1\)과 \(\rm H_2\), \(y'z'\)평면과 \(z'x'\)평면에 관한 2차능률을 각각 \(\rm H_1'\)과 \(\rm H_2'\)로 두면 \[{\rm H}_1=\int_a^bx^2g(x)dx,\qquad{\rm H}_2=\int_c^dy^2h(y)dy\] 한편 \(x'=x+k,\,y'=y\) 이므로 \[{\rm H}_1'=\int_a^b(x+k)^2g(x)dx,\qquad{\rm H}_2'=\int_c^dy^2h(y)dy={\rm H}_2\] 이다. 따라서 \[\begin{align}{\rm H}_1'&=\int_a^b\left(x^2+2kx+k^2\right)g(x)dx=\int_a^bx^2g(x)dx+2k\int_a^bxg(x)dx+k^2\int_a^bg(x)dx\\&=\int_a^bx^2g(x)dx+k^2{\rm M}={\rm H}_1+k^2{\rm M}\end{align}\] 여기서 중심 \(G\)가 \(z\)축 상에 있으므로 \[\int_a^bxg(x)dx=0\] 도 명백히 \[{\rm M}=\int_a^bg(x)dx\] 도형의 관성능률 식 (1)에 의하여 \[{\rm I}_g'={\r...

원통좌표계 에서 2차 텐서(2nd rank tensor)의 발산을 유도해 본다. 원통좌표계의 델 연산자 \((\nabla)\)를 적용하고 텐서 를 단위벡터 의 형태로 나타내면 다음과 같다. \[\nabla\cdot\boldsymbol\sigma=\left(\hat{r}\frac{\partial}{\partial r}+\hat\theta\frac{\partial}{r\partial\theta}+\hat{z}\frac{\partial}{\partial z}\right)\cdot\left(\begin{matrix}\quad\sigma_{rr}\hat{r}\hat{r}+\sigma_{r\theta}\hat{r}\hat\theta+\sigma_{rz}\hat{r}\hat{z}\\+\sigma_{\theta r}\hat\theta\hat{r}+\sigma_{\theta\theta}\hat\theta\hat\theta+\sigma_{\theta z}\hat\theta\hat{z}\\+\sigma_{zr}\hat{z}\hat{r}+\sigma_{z\theta}\hat{z}\hat\theta+\sigma_{zz}\hat{z}\hat{z}\end{matrix}\right)\] 2차 텐서 각 항에 단위벡터의 좌표계 미분 과 적(積)의 미분법 을 이용하여 델 연산자의 성분 을 적용하면 \[\begin{split}&\hat{r}\frac{\partial}{\partial r}\left(\sigma_{rr}\hat{r}\hat{r}\right)=\hat{r}\frac{\partial\sigma_{rr}}{\partial r}\\&\hat{r}\frac{\partial}{\partial r}\left(\sigma_{r\theta}\hat{r}\hat\theta\right)=\hat\theta\frac{\partial\sigma_{r\theta}}{\partial r}\\&\hat{r}\frac{\partial}{\partial r}\left(\sigma_{rz...