정적분과 부정적분
정리 1 함수 \(f(x)\)가 구간 \([a,\,b]\)에서 연속 일 때, \(f(x)\)의 부정적분 중 하나를 \({\rm F}(x)\)라 하면 \[\int_a^bf(x)dx={\rm F}(b)-{\rm F}(a)\] < 증명 > 정적분 정리 6에 의하면 \([a,\,b]\)에 속하는 임의의 \(x\)에 대하여 \(\int_a^xf(x)dx\)는 \(f(x)\)의 부정적분이다. \(f(x)\)의 두 부정적분의 차는 \(\rm C\) 이므로 \[\int_a^xf(x)dx={\rm F}(x)+{\rm C}\] 여기서 \(x=a\)라 두면 \(\int_a^af(x)dx=0\) 이므로 위의 식에 의해서 \[\begin{gather}\int_a^af(x)dx={\rm F}(a)+{\rm C}=0\\\therefore\ {\rm C}={\rm F}(a)\end{gather}\] 이것을 대입하면 \[\int_a^xf(x)dx={\rm F}(x)-{\rm F}(a)\] \(x=b\)를 대입하면 \[\int_a^bf(x)dx={\rm F}(b)-{\rm F}(a)\] 그런데 하나의 함수 \({\rm F}(x)\)에 있어서, 차 \({\rm F}(b)-{\rm F}(a)\)를 다음 기호 \[\left[{\rm F}(x)\right]_a^b={\rm F}(b)-{\rm F}(a)\] 로 나타내기로 한다. 이 기호를 사용하면 위의 정리 1의 결론은 \[\int_a^bf(x)dx=\left[{\rm F}(x)\right]_a^b\qquad{\rm F}(x)=\int f(x)dx\] 정리 1에 나타난 정적분의 계산법에 따라서 다음 정적분을 계산해 보자. \[\int_0^1\sqrt{x}dx=\left[{2\over3}x\sqrt{x}\right]_0^1={2\over3}\] [ 예제 1 ] 다음 정적분을 구하여라. (1) \(\displaystyle\int_0^1x^2dx=\left[{x^3\over3}\rig...