기계공학 (Mechanical Engineering)

2변수함수 \(z=f(x,\,y)\)의 편도함수  \(f_x,\,f_y\)는 역시 \(x,\,y\)에 관한 함수 이다. 이 함수의 편도함수가 또 다시 존재하면 이것을 주어진 함수 \(z=f(x,\,y)\)의 제2차편도함수(第二次偏導函數)라 하고 다음과 같은 기호로 표시한다. \[\begin{split}&\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)=\frac{\partial^2f}{\partial x^2}\ \ \,=f_{xx}=z_{xx},\qquad\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)=\frac{\partial^2f}{\partial y\partial x}=f_{xy}=z_{xy}\\&\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)=\frac{\partial^2f}{\partial x\partial y}=f_{yx}=z_{yx},\qquad\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)=\frac{\partial^2f}{\partial y^2}\ \ \,=f_{yy}=z_{yy}\end{split}\] [예제1] \(f(x,\,y)={\rm Tan}^{-1}\dfrac{y}{x}\) (단, \(x\ne0\))의 제2차편도함수를 구하여라. <풀이> \(\dfrac{\partial f}{\partial x}=-\dfrac{y}{x^2+y^2},\,\dfrac{\partial f}{\partial y}=-\dfrac{x}{x^2+y^2}\) 이므로 \(\dfrac{\partial^2f}{\partial x^2}=\dfrac{2xy}{(x^2+y^2)^2},\,\dfrac{\partial^2f}{\partia...

다음 적분 \[\Gamma(s)=\int_0^\infty x^{s-1}e^{-x}dx\qquad(s>0)\] 은 상한에 관해서 무한적분 이고, 하한에 관해서는 특이적분 이다. 이 적분은 \(s>0\)을 만족하는 임의의 실수 \(s\)에 대해서 항상 존재한다는 것이 알려져 있다. 각각의 \(s\)의 값에 대해서 이 적분의 값 \(\Gamma(s)\)를 대응시키면 하나의 함수 \(\Gamma(s)\)를 생각할 수 있다. 이 \(s\)의 함수 \(\Gamma(s)\)를 감마함수라 한다. \[\Gamma(s+1)=\int_0^\infty x^se^{-x}dx=[-x^se^{-x}]_0^\infty+s\int_0^\infty x^{s-1}e^{-x}dx=s\Gamma(s)\] 또 \(\Gamma(1)\)를 구하면 \[\Gamma(1)=\int_0^\infty e^{-x}dx=[-e^{-x}]_0^\infty=1\] 위의 두 식을 이용하면 양의 정수 \(n\)에 대하여 \[\Gamma(n+1)=n\Gamma(n)=n(n-1)\Gamma(n-1)=\cdots=n!\Gamma(1)\] 따라서 다음 공식을 얻는다. \[\Gamma(n+1)=n!\qquad(n=0,\,1,\,2,\,\cdots)\]

1. 다음 함수 의 원점 \((0,\,0)\)에서의 편미분계수 를 구하여라. (1) \(f(x,\,y)=\sqrt{|xy|}\)          (2) \(f(x,\,y)=\sqrt{x^2+y^2}\)          (3) \(f(x,\,y)=\begin{cases}\frac{xy}{\sqrt{x^2+y^2}}&(x,\,y)\ne(0,\,0)\\0&(x,\,y)=(0,\,0)\end{cases}\) < 풀이 > (1) \(f_x(0,\,0)=\lim_{h\to0}\frac{f(h,\,0)-f(0,\,0)}{h}=0,\,f_y(0,\,0)=\lim_{h\to0}\frac{f(0,\,h)-f(0,\,0)}{h}=0\) (2) \(f_x(0,\,0)=\lim_{n\to\pm0}\frac{f(h,\,0)-f(0,\,0)}{h}=\pm1,\,f_y(0\,0)=\lim_{h\to\pm0}\frac{f(0,\,h)-f(0,\,0)}{h}=\pm1\)      ∴ 원점에서는 편미분계수가 존재하지 않는다. (3) \(f_x(0,\,0)=\lim_{h\to0}\frac{f(h,\,0)-f(0,\,0)}{h}=0,\,f_y(0,\,0)=\lim_{h\to0}\frac{f(0,\,h)=f(0,\,0)}{h}=0\) 2. 다음 함수를 편미분하여라. (1) \(f(x,\,y)=x^2+3xy^2-2x+4y+3\) (2) \(f(x,\,y)=x^3+3x^2y-y^3\)          (3) \(f(x,\,y)=2x+ye^{-x}\) (4) \(f(x,\,y)=\sqrt{x^2+xy+y^2}\)         (5) \(f(x,\,y)={\rm Sin}^{-1}{x\over y}\) (6) \(f(x,\,y)={\rm Tan}^{-1}\frac{x+y}{...

함수 \(f(x)\)는 반무한구간 \([a,\,\infty)\)에서 연속 이고, 양수 \(T\)를 취하여 극한 \(\lim_{T\to\infty}\int_a^Tf(x)dx\)가 존재할 때 이것을 다음 기호로 나타낸다. \[\int_a^\infty f(x)dx=\lim_{T\to\infty}\int_a^Tf(x)dx\cdots(1)\] 이 때 무한적분 \(\int_a^\infty f(x)dx\)는 존재한다 또는 수렴한다라 한다. 만일 윗 식 우변의 극한이 존재하지 않으면, 이 무한적분은 존재하지 않는다 또는 발산한다라 한다. 그림 1 마찬가지로 다른 형의 무한적분도 각각 다음과 같이 정의한다. \[\begin{split}&\int_{-\infty}^bf(x)dx=\lim_{T\to-\infty}\int_T^bf(x)dx&\cdots(2)\\&\int_{-\infty}^\infty f(x)dx=\lim_{T\to+\infty}\lim_{T'\to-\infty}\int_{T'}^Tf(x)dx&\cdots(3)\end{split}\] 그림 2 그림 2는 (3)의 의미를 나타낸 것이다. (2)의 의미는 그림 1에서 유추할 수 있다. 또 무한적분 \(\int_a^\infty f(x)dx\)에도 값을 구할 수 있다. 함수 \(f(x)\)가 구간 \([a,\,+\infty)\)에서 연속이고, 부정적분 \({\rm F}(x)\)를 가진다고 하자. 이 때 \(\lim_{x\to\infty}{\rm F}(x)={\rm B}\)가 유한확정적으로 존재한다고 가정하면 \[\lim_{T\to\infty}\int_a^Tf(x)dx=\lim_{T\to\infty}\{{\rm F}(T)-{\rm F}(a)\}=\lim_{T\to\infty}{\rm F}(T)-F(a)={\rm B}-{\rm F}(a)\] 가 되어 좌변의 극한값이 존재한다. 이 때 \[\int_a^\infty f(x)dx=\lim_{T\to\infty}[{\rm F}(x...

1. 다음 함수 의 극치 를 구하여라. (1) \(f(x)=x^4+4x\)          (2) \(f(x)=\sqrt{x}-{1\over\sqrt{x}}\) <풀이> (1) \(f'(x)=4(x+1)(x^2-x+1),\,f''(x)=12x^2\) 이고 \(f'(-1)=0,\,f''(-1)=12>0,\,f(-1)=-3\) 이므로 극소점 \((-1,\,-3)\) (2) \(f'(x)={1\over2}\left({1\over\sqrt{x}}+{1\over x\sqrt{x}}\right)>0\) 이므로 극치는 존재하지 않는다. 2. \(b^2<3ac,\,a>0\) 이면 함수 \(y=ax^3+bx^2+cx+d\)는 \(x\)의 모든 값에 대해서 증가함을 증명하여라. <증명> 가정에 의해 \(y'=3ax^2+2bx+c>0\) 이므로 모든 \(x\)에 대해서 \(y\)는 증가상태에 있다. 3. 타원 \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)에 내접하는 최대 직사각형의 면적을 구하여라. <풀이> 직사각형 면적의 \({1\over4}\)를 \(S\)로 두면 \(S=xy={b\over a}x\sqrt{a^2-x^2}\). \(S'=\frac{b(a^2-2x^2)}{\sqrt{a^2-x^2}}=0\) 이면 \(x={a\over\sqrt{2}}\). 따라서 최대직사각형의 면적\(=4S\left({a\over\sqrt{2}}\right)=2ab\). 4. \(y=ax^3+bx^2+cx\)가 점 \((0,\,0)\)에서 접선 \(y=2x\)를 갖고, 점 \((1,\,1)\)이 변곡점 이 되도록 \(a,\,b,\,c\)를 정하여라. <풀이> \(y'=3ax^2+2bx+c\)에서 \(y'(0)=c=2.\ y(1)=a+b+2=1,\,y''=6ax+2b\)에서 \(y''(1)=6a+...