기계공학 (Mechanical Engineering)

부정적분 에 있어서 부분적분법 의 공식에 의하면 \[\int f(x)g'(x)dx=f(x)g(x)-\int f'(x)g(x)dx\] 이다. 따라서 \[\int_a^bf(x)g'(x)dx=\left[f(x)g(x)-\int f'(x)g(x)dx\right]_a^b=\left[f(x)g(x)\right]_a^b-\int_a^b f'(x)g(x)dx\] 이것이 정적분 에 있어서의 부분적분의 공식이다. 윗 식에서 \(g(x)=x\)라 하면 다음과 같은 공식을 얻는다. \[\int_a^bf(x)dx=\left[xf(x)\right]_a^b-\int_a^bxf'(x)dx\] [ 예제 1 ] \(\displaystyle {\rm B}_n=\int_0^{\pi/2}\cos^nxdx=\int_0^{\pi/2}\sin^nxdx\)라 한다( 정적분의 치환적분법 문제 3 참고). 점화식 \[{\rm B}_n=\frac{n-1}{n}{\rm B}_{n-2}\ (n=1,\,2,\,\cdots)\] 을 증명하고, 다음 관계를 유도하여라. \[\begin{split}&{\rm B_n}={1\over2}\cdot{3\over4}\cdot{5\over6}\cdots\frac{2m-1}{2m}\cdot{\pi\over2}\ (n=2m)\\&{\rm B}_n={2\over3}\cdot{4\over5}\cdot{6\over7}\cdots\frac{2m}{2m+1}\qquad(n=2m+1)\end{split}\] < 풀이 > 부분적분법에 의해서 다음과 같이 계산한다. \[\begin{align}{\rm B}_n&=\int_0^{\pi/2}\cos^nxdx=\int_0^{\pi/2}\cos^{n-1}x\cos{x}dx\\&=\left[\cos^{n-1}x\sin{x}\right]_0^{\pi/2}+(n-1)\int_0^{\pi/2}\cos^{n-2}x\sin^2xdx\\&=(n-1)\int_0^{\pi/...

등비수열은 각 항이 초항과 일정한 비를 가지는 수열 이다. 즉, 초항이 \(a\)이고 공비가 \(r\) 이면 수열 \(\{a_n\}\)은 \[a,\,ar,\,ar^2,\,ar^3,\,\cdots,\,ar^{n-1},\,ar^n,\,\cdots\] 이므로 \(n\) 번째 항은 \[a_n=ar^{n-1}\] \(r\ne1\) 인 경우 초항부터 \(n\)항 까지의 합은 \[S_n=\frac{a(1-r^n)}{1-r}=\frac{a(r^n-1)}{r-1}\ (\text{단,}\,r=1\ \text{인 경우는}\ na)\] [증명] 초항부터 \(n\)번째 항까지의 합, \(S_n\)은 식 (1)과 같다. \[S_n=a+ar+ar^2+ar^3+\cdots+ar^{n-1}\cdots(1)\] 식 (1)의 양변에 공비 \(r\)를 곱하면 \[rS_n=ar+ar^2+ar^3+\cdots+ar^{n-1}+ar^n\cdots(2)\] 식 (1)에서 식 (2)를 빼고 \(r\ne1\) 일 때 정리하면 다음과 같이 합의 공식을 얻는다. \[(1-r)S_n=a-ar^n,\,S_n=\frac{a(1-r^n)}{1-r}\]

\(f\)가 2회 미분가능 한 함수 일 때 방정식 \(f(x)=0\)의 근사치를 구할 수 있는 정리 가 있다. 정리 1 함수 \(f\)가 \([a,\,b]\)에서 2회 미분가능이고 (1) \(f''(x)\ne0\) (\(f''(x)>0\) 또는 \(f''(x)<0\)), (2) \(f(a)f(b)<0\) (\(f(a)\)와 \(f(b)\)는 이부호(異符號))라 하자. \(a\le a_1\le b\)인 \(a_1\)을 \[\begin{align}&f''(x)>0\ \text{일 때}\ f(a_1)>0\\&f''(x)<0\ \text{일 때}\ f(a_1)<0\end{align}\]되고록 잡고 \[a_2=a_1-\frac{f(a_1)}{f'(a_1)},\,a_3=a_2-\frac{f(a_2)}{f'(a_2)},\,\cdots,\,a_{n+1}=a_n-\frac{f(a_n)}{f'(a_n)}\ (n=1,\,2,\,3,\,\cdots)\]라 하여 차례로 \(a_1,\,a_2,\,a_3,\,\cdots,\,a_n,\,\cdots\)을 구하면 (3) 수열 \(\{a_n\}\)은 수렴하여, (4) \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=\alpha\)라 하면 \(f(\alpha)=0\) 이므로 (5) \([a,\,b]\)에서 \(f(x)=0\)의 근은 \(\alpha\)뿐이다. < 증명 > \([a,\,b]\)에서 \(f''(x)>0,\,f(a)<0,\,f(b)>0\)라 하자. 중간값 정리 에 의해, \((a,\,b)\)에서 \(f(x)=0\)의 근은 적어도 한 개 존재한다. 그런데, 이런 근은 단지 한 개 밖에 없음을 알 수 있다. 왜냐하면, 두 근 \(x_0,\,x_1\)이 있고 \(a<x_0<x...

\(x=\phi(t)\)라 둔다. 변수 \(t\)가 \(\alpha\)에서 \(\beta\)까지 변할 때 \(x=\phi(t)\)는 \(a\)에서 \(b\)까지 변한다고 하면 \[a=\phi(\alpha),\,b=\phi(\beta)\] 이다. 또 \(\phi(t)\)는 미분가능 이고, \(\phi'(t)\)도 연속 이라고 가정한다. 이 때 \[\int_a^bf(x)dx=\int_\alpha^\beta f\left\{\phi(t)\right\}\phi'(t)dt\] 이 성립한다. 이것이 정적분 에서의 치환적분법 의 공식이다. < 증명 > \(f(x)\)는 연속이라고 하자. \(\phi(t)\)는 미분가능이므로 연속이다. 따라서 \(f\left\{\phi(t)\right\}\)도 연속이다. 가정에 의해 \(\phi'(t)\)도 연속이므로 \(f\left\{\phi(t)\right\}\phi'(t)\)는 연속이다. 그리고 \(f(x)\)의 부정적분 을 \({\rm F}(x)\)라 하면 \[{\rm F}'(x)=f(x)\qquad\text{즉,}\ {\rm F}'\left\{\phi(t)\right\}=f\left\{\phi(t)\right\}\] 이므로 \[\frac{d{\rm F}\left\{\phi(t)\right\}}{dt}={\rm F}'\left\{\phi(t)\right\}\phi'(t)=f\left\{\phi(t)\right\}\phi'(t)\] 따라서 이것을 \(\alpha\)에서 \(\beta\)까지 적분하면 \[\int_\alpha^\beta f\left\{\phi(t)\right\}\phi'(t)dt=\left[{\rm F}\left\{\phi(t)\right\}\right]_\alpha^\beta={\rm F}\left\{\phi(\beta)\right\}-{\rm F}\left\{\phi(\alpha)\right\}={\rm F}(b)-{\rm F}(a...

\(f\)의 도함수 \(f'\)이 존재하고 연속 이면 곡선 \(y=f(x)\)를 매끄러운 곡선이라 한다. 정의 1 평면상의 두 곡선 \(y=f(x),\,y=g(x)\)에 대하여 \(x=c\)에서 \[f(c)=g(c),\,f'(c)=g'(c),\,f''(c)=g''(c),\,\cdots,\,f^{(n)}(c)=g^{(n)}(c),\,f^{(n+1)}(c)\ne g^{(n+1)}(c)\] 이면, 두 곡선은 n차 접촉(n次 接觸) 을 한다고 한다. 예를 들면, 곡선 \(y=f(x)\)가 매끄러운 곡선인 경우, 곡선 상의 점\((c,\,f(c))\)에서의 접선 \[y=g(x)=f'(c)(x-c)+f(c)\] 는 원래의 곡선과 1차 접촉을 한다. [ 예제 1 ] 포물선 \(x^2\)과 원 \(\displaystyle(x+4)^2+\left(y-{7\over2}\right)^2={125\over4}\)와는, 점\((1,\,1)\)에서 2차 접촉함을 보여라 < 풀이 > \(f(x)=x^2\)라 하면 \(f'(x)=2x,\,f''(x)=2\). 원의 방정식에서 정해지는 \(x\)의 함수 를 \(g(x)\)라 하면, \[x+4+\left\{g(x)-{7\over2}\right\}g'(x)=0\] 다시 \(x\)로 미분하면 \[1+g'(x)^2+\left\{g(x)-{7\over2}\right\}g''(x)=0\] 이다. 따라서 \[f(1)=g(1)=1,\,f'(1)=g'(1)=2,\,f''(1)=g''(1)=2\] 이므로 두 곡선은 \((1,\,1)\)에서 2차 접촉을 한다. 정의 2 \(f\)가 2회 미분가능이라 한다. 곡선 \(y=f(x)\)와 점\((c,\,f(c))\)에서 2차 접촉을 하는 원 \[(x-\xi)^2+(y-\eta)^2=r^2\] 을 곡선상의 점 \(P(c,\,f(c))\)에 대한 곡...