기계공학 (Mechanical Engineering)

2개의 함수 \(f(x)\)와 \(g(x)\)가 폐구간 \([a,\,b]\)에서 연속 이고 \(f(x)\ge g(x)\) 일 때, \(x\)축 상의 구간 \([a,\,b]\)를  \[a=x_0<x_1<x_2<\cdots<x_{n-1}<x_n=b\] 와 같은 분점으로 분할하여, 이 분할을 \(\Delta\)라 하자. 각 소구간 \(l_i=[x_{i-1},\,x_i]\)에서 \(f(x)-g(x)\)의 최대치를 \({\rm M}_i\), 최소치를 \(m_i\)로 두고 2개의 합 \[\sum_{i=1}^n{\rm M}_i(x_i-x_{i-1}),\qquad\sum_{i=1}^nm_i(x_i-x_{i-1})\] 을 만든다. 이것은 직관적으로 보면 그림 1과 같이 두 곡선 \(y=f(x)\)와 \(y=g(x)\) 및 \(y\)축에 평행인 두 직선 \(x=a\)와 \(x=b\)에 포함된 평면도형 \(\rm F\)를 포함하는 다각형의 넓이와 \(\rm F\)에 포함되는 다각형의 넓이를 나타낸다. 그림 1 여기서 분할 \(\Delta\)를 충분히 세분할 때, 다음의 두 극한 \[\lim_\Delta\sum_{i=1}^n{\rm M}_i(x_i-x_{i-1}),\qquad\lim_\Delta\sum_{i=1}^nm_i(x_i-x_{i-1})\] 이 존재하여, 같은 극한치를 가질 때, 그 극한치를 도형 \(\rm F\)의 넓이 \(\rm S\)로 정의한다. 여기서, \(f(x)\)와 \(g(x)\)가 \([a,\,b]\)에서 연속이므로, 이 경우 두 개의 극한은 존재하고, 그 극한은 \[{\rm S}=\int_a^b\{f(x)-g(x)\}dx\] 이다. 정리 1   2개의 함수 \(f(x)\)와 \(g(x)\)가 구간 \([a,\,b]\)에서 연속이고, \(f(x)\ge g(x)\) 이면, 곡선 \(y=f(x)\)와 \(y=g(x)\) 및 두 직선 \(x=a\)와 \(x=b\)로 이루어지...

정의 1 (극대ㆍ극소) 함수 \(f(x,\,y)\)가 있어서 점 \((a,\,b)\)의 근방 의 임의의 점 \((x,\,y)\)에 대하여 \[\begin{split}f(x,\,y)<f(a,\,b)\text{이면}\ f\text{는}\ (a,\,b)\text{에서}\ {\bf 극대(極大)}\\f(x,\,y)>f(a,\,b)\text{이면}\ f\text{는}\ (a,\,b)\text{에서}\ {\bf 극소(極小)}\end{split}\] 라 하며, \(f(a,\,b)\)를 각각 극대치(極大値) 및 극소치(極小値) 라고 한다. 극대치와 극소치를 합쳐서 극치(極値) 라 한다. 정리 1     편미분가능 한 함수 \(f(x,\,y)\)가 점 \((a,\,b)\)에서 극치를 가지면 \(f_x(a,\,b)=f_y(a,\,b)=0\) 이다. <증명>  \(f\)가 \((a,\,b)\)에서 극치를 갖는다면, 직선 \(y=b\) 상에서 생각한 함수 \(f(x,\,b)\)는 \(x=a\)에서 극치를 갖는다. 따라서 \(f_x(a,\,b)=0\). 같은 방법으로, 직선 \(x=a\) 상에서 생각한 함수 \(f(a,\,y)\)도 \(y=b\)에서 극치를 가지므로 \(f_y(a,\,b)=0\) 이다. [ 주의 ] \(f_x(x,\,y)=f_y(x,\,y)=0\)의 근이 모두 극치를 준다고 말할 수 없다. 또 한편 미분계수가 존재하지 않는 점에서도 극치를 가질 수 있다.  정리 2    함수 \(f(x,\,y)\)가 점 \((a,\,b)\)에서 \(f_x(x,\,y)=f_y(x,\,y)=0\)을 만족한다고 하자. \[{\rm D}=f_{xy}(a,\,b)^2-f_{xx}(a,\,b)f_{yy}(a,\,b)\]라 둘 때 (i)  \({\rm D}<0,\,f_{xx}(a,\,b)>0\) 이면 \(f...

1. 다음 정적분 의 값을 구하여라. (1) \(\int_{-1/2}^{1/2}(2y+1)^7dy={1\over16}[(2y+1)^8]_{-1/2}^{1/2}=16\) (2) \(\int_0^{\pi/2}\sqrt{\sin{x}}\cos{x}dx={2\over3}[\sin^{3/2}x]_0^{\pi/2}={2\over3}\) (3) \(\int_0^1\frac{{\rm Tan^{-1}}x}{1+x^2}dx={1\over2}[({\rm Tan}^{-1})^2]_0^1={\pi^2\over32}\) (4) \(\int_{-1}^1|2x-1|dx=\int_{-1}^{1/2}(-2x+1)dx+\int_{1/2}^1(2x-1)dx=[-x^2+x]_{-1}^{1/2}+[x^2-x]_{1/2}^1\)                                     \(={5\over2}\) 2. 다음 정적분의 값을 구하여라. (1) \(\int_1^4\frac{e^{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}}dx=2\int_1^2e^tdt=2[e^t]_1^2=9.3415\) (2) \(\int_0^1(e^x+x^e)dx=\left[e^x+\frac{x^{e+1}}{e+1}\right]_0^1=1.9872\) (3) \(\int_0^{\pi/3}\frac{\sec\theta\tan\theta}{\sqrt{e^{\sec\theta}}}d\theta=\int_1^2\frac{dx}{\sqrt{e^x}}=-2\left[{1\over e}-{1\over\sqrt{e}}\right]_1^2=0.4773\) (4) \(\int_0^1(e^x+e^{-x})^2dx=\int_0^1(e^{2x}+2+e^{-2x})dx=\left[{e^{2x}\over2}+2x-{e^{-2x}\over2}\right]_0^1=5.6269\) (5) \...

평판 구조(Plate Structure) 고전 평판 방정식(Classical Plate Equation) 위의 그림과 같은 얇은 판의 미소 면수직(out-of-plane) 변위 \(w\)의 지배 방정식은 아래와 같은 고전 평판 방정식이다. \[\nabla^2D\nabla^2w=q\] 여기서 \(q\)는 \(z\) 방향으로 작용하는 분포 하중(단위 면적당 힘) 이고, \(D\)는 다음과 같은 평판의 굽힘강성계수(bending/flexural rigidity) 이다. \[D=\frac{Et^3}{12(1-\nu^2)}\] 윗 식에서 \(E\)는 평판 재질의 탄성계수 (Young's modulus), \(\nu\)는 포아송비 (Poisson's ratio) 이고, \(t\)는 평판의 두께이다. 또한, 미분 연산자 \(\nabla^2\)은 라플라시안  미분 연산자(Laplacian differential operator) \(\Delta\)로 불리우며 원통좌표계 (cylindrical coordinate)와 직교좌표계(Cartesian coordinate)로 나타내면 \[\Delta\equiv\nabla^2=\begin{cases}\dfrac{\partial^2}{\partial r^2}+\dfrac{\partial^2}{r^2\partial\theta^2}+\dfrac{\partial}{r\partial r}\ &\text{원통좌표계(원형판)}\\\dfrac{\partial^2}{\partial x^2}+\dfrac{\partial^2}{\partial y^2}&\text{직교좌표계(사각판)}\end{cases}\] 굽힘강성계수 \(D\)가 평판 내에서 상수이면 평판 방정식은 다음과 같이 단순화된다. \[\nabla^4w=\frac{q}{D}\] 여기서 \(\nabla^4=\nabla^2\nabla^2=\Delta\Delta\)는 이중조화 미분 연산자(biharmonic differential operator)라고 한다. 평판 ...

2변수함수 \(z=f(x,\,y)\)의 편도함수  \(f_x,\,f_y\)는 역시 \(x,\,y\)에 관한 함수 이다. 이 함수의 편도함수가 또 다시 존재하면 이것을 주어진 함수 \(z=f(x,\,y)\)의 제2차편도함수(第二次偏導函數)라 하고 다음과 같은 기호로 표시한다. \[\begin{split}&\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)=\frac{\partial^2f}{\partial x^2}\ \ \,=f_{xx}=z_{xx},\qquad\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)=\frac{\partial^2f}{\partial y\partial x}=f_{xy}=z_{xy}\\&\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)=\frac{\partial^2f}{\partial x\partial y}=f_{yx}=z_{yx},\qquad\,\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)=\frac{\partial^2f}{\partial y^2}\ \ \,=f_{yy}=z_{yy}\end{split}\] [예제1] \(f(x,\,y)={\rm Tan}^{-1}\dfrac{y}{x}\) (단, \(x\ne0\))의 제2차편도함수를 구하여라. <풀이> \(\dfrac{\partial f}{\partial x}=-\dfrac{y}{x^2+y^2},\,\dfrac{\partial f}{\partial y}=-\dfrac{x}{x^2+y^2}\) 이므로 \(\dfrac{\partial^2f}{\partial x^2}=\dfrac{2xy}{(x^2+y^2)^2},\,\dfrac{\partial^2f}{\part...