기계공학 (Mechanical Engineering)

\(\begin{split}&\overrightarrow{a}=a_1\hat{e}_1+a_2\hat{e}_2+a_3\hat{e}_3\\&\overrightarrow{b}=b_1\hat{e}_1+b_2\hat{e}_2+b_3\hat{e}_3\\&\overrightarrow{c}=c_1\hat{e}_1+c_2\hat{e}_2+c_3\hat{e}_3\end{split}\) (a) 행열 표기법 과 (b) 텐서 표기법 을 사용하여 다음을 계산하고 (a)와 (b)의 결과가 같음을 보여라. 1. \(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}\) ( dot product ) (a) \(\begin{Bmatrix}a_1&a_2&a_3\end{Bmatrix}\begin{Bmatrix}a_1\\a_2\\a_3\end{Bmatrix}=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3\) (b) \(a_ib_i=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3\) 2. \(\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b}\) ( cross product ) (a) \(\begin{Bmatrix}a_1&a_2&a_3\end{Bmatrix}\times\begin{Bmatrix}b_1&b_2&b_3\end{Bmatrix}=\left|\begin{matrix}\hat{e}_1&\hat{e}_2&\hat{e}_3\\a_1&a_2&a_3\\b_1&b_2&b_3\end{matrix}\right|\) \(=(a_2b_3-a_3b_2)\hat{e}_1+(a_3b_1-a_1b_3)\hat{e}_2+(a_1b_2-a_2b_1)\hat{e}_3\) (b) \(a_i\times b_j=\epsilon_{ijk}a_jb_k\) \(=(\epsilon_{123}a_2b_3+\epsilon_{132}a_3b_2)\hat{e}_1+(\epsilon_{131}a_3b_1+...

정의 1 (전미분 가능) 함수 \(f\)가 점 \((x_0,\,y_0)\)의 근방 에서 적당한 상수 \(\rm A,\,B\)를 잡아서 \[f(x,\,y)-f(x_0,\,y_0)={\rm A}(x-x_0)+{\rm B}(y-y_0)+(x-x_0)\lambda_1+(y-y_0)\lambda_2\cdots(1)\] 라 두었을 때 \[\lim_{(x,\,y)\to(x_0,\,y_0)}\lambda_1=\lim_{(x,\,y)\to(x_0,\,y_0)}\lambda_2=0\] 이 성립하면 \(f\)는 점 \((x_0,\,y_0)\)에서 전미분가능(全微分可能) 하다고 한다. (단, \(\rm A,\,B\)는 \(x_0,\,y_0\)에 의존하는 상수이다.) \(x=x_0+h,\,y=y_0+k\)라 두면 (1)은 \[f(x_0+h,\,y_0+k)-f(x_0,\,y_0)={\rm A}h+{\rm B}k+\lambda_1h+\lambda_2k\] 가 된다. 정리 1  함수 \(z=f(x,\,y)\)에 대해서 \(f_x,\,f_y\)가 존재하고 이것이 연속 이면 \(f\)는 전미분가능하다. < 증명 > 함수 \(z=f(x,\,y)\)의 정의역내의 임의의 점 \((x_0,\,y_0)\) 근방에서의 함수의 증분은 \[f(x_0+h,\,y_0+k)-f(x_0,\,y_0)=\{f(x_0+h,\,y_0+k)\}+\{f(x_0,\,y_0+k)-f(x_0,\,y_0)\}\] 이다. 윗 식의 제 1항과 제 2항에 평균치 정리 를 적용하면 \[\begin{gather}\text{우변}=f_x(x_0+\theta_1h,\,y_0+k)h+f_y(x_0,\,y_0+\theta_2k)k\\0<\theta_1<1,\,0<\theta_2<1\end{gather}\] 여기서 \[\begin{align}&\lambda_1=f_x(x_0+\theta_1h,\,y_0+k)-f_x(x_0,\,y_0)\\...

극좌표계 에서 기본적인 벡터 연산자(vector operator)의 유도 과정을 소개한다. 극좌표계의 단위 벡터는 좌표계의 함수 이다. 단위 벡터의 좌표계 미분 을 복습하면 다음과 같다. \[\begin{split}&\frac{\partial\hat{r}}{\partial r}=\frac{\partial\hat\theta}{\partial r}=\frac{\partial\hat\phi}{\partial r}=\frac{\partial\hat\phi}{\partial\theta}=0,\,\frac{\partial\hat{r}}{\partial\theta}=\hat\theta,\,\frac{\partial\hat{r}}{\partial\phi}=\sin\theta\hat\phi,\,\frac{\partial\hat\theta}{\partial\theta}=-\hat{r},\,\frac{\partial\hat\theta}{\partial\phi}=\cos\theta\hat\phi,\,\\&\frac{\partial\hat\phi}{\partial\phi}=-\cos\theta\hat\theta-\sin\theta\hat{r}\end{split}\] 경로 증분 (Path Increment) 단위 벡터의 좌표계 미분과 합성함수의 편미분법 을 적용하면 다음과 같이 유도된다. \[d{\bf p}=d(r\hat{r})=\hat{r}dr+rd\hat{r}=\hat{r}dr+r\left(\frac{\partial\hat{r}}{\partial r}dr+\frac{\partial\hat{r}}{\partial\theta}d\theta+\frac{\partial\hat{r}}{\partial\phi}d\phi\right)=\hat{r}dr+r\hat\theta d\theta+r\sin\theta\hat\phi d\phi\] 구배 연산자 (Del Operator from the Definition of Gradient) 어느 스칼라 장(場, field) \(f...

직교좌표계와 상호변환 \(r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}\) \(\theta={\rm Tan}^{-1}(y/x)\) \(\phi={\rm Cos}^{-1}(z/r)\) \(x=r\sin\theta\cos\phi\) \(y=r\sin\theta\sin\phi\) \(z=r\cos\theta\) 단위 벡터 극좌표계의 단위 벡터는 직교좌표계와 달리 원주(원통)좌표계 처럼 좌표의 함수 이다. 따라서 직교좌표계 단위 벡터와 같이 표현하면 편리하다. \(\hat{r}=\dfrac{\bf r}{r}=\dfrac{x{\bf i}+y{\bf j}+z{\bf k}}{r}=\sin\theta\cos\phi{\bf i}+\sin\theta\sin\phi{\bf j}+\cos\theta{\bf k}\) \(\begin{split}\hat\theta&=\hat\phi\times\hat{r}=(-\sin\theta{\bf i}+\cos\phi{\bf j})\times(\sin\theta\cos\phi{\rm i}+\sin\theta\sin\phi{\bf j}+\cos\theta{\bf k})\\&=\cos\theta\cos\phi{\bf i}+\cos\theta\sin\phi{\bf j}-\sin\theta{\bf k}\end{split}\) \(\hat\phi=\hat{z}\times\hat{r}(\pi/2,\,\phi)={\bf k}\times(\cos\phi{\bf i}+\sin\phi{\bf j})=-\sin\phi{\bf i}+\cos\phi{\bf j}\) 단위 벡터의 좌표계 미분 위의 표현을 이용하면 다음과 같이 쉽게 단위 벡터의 좌표계 방향별 편미분 을 유도할 수 있다. \(\dfrac{\partial\hat{r}}{\partial r}=0\) \(\dfrac{\partial\hat{r}}{\partial\theta}=\cos\theta\cos\phi{\bf i}+\cos\theta\sin\phi{\bf j}-\sin\theta{\bf k}=\...

함수 \(f(x)\)가 구간  \([a,\,b]\)에서 연속 이고, \(f(x)\ge0\)이라 한다. 구간 \([a,\,b]\)를 \(2n\) 등분해서 분점을 \[a=x_0<x_1<x_2<\cdots<x_{2n}=b\] 라 하자. 각 분점에 있어서의 함수 \(f(x)\)의 값을 각각 \[y_0=f(x_0),\,y_1=f(x_1),\,\cdots,\,y_{2n}=f_{2n}(x_{2n})\] 라 한다. 각 소구간의 길이는 모두 같아서 \[h=\frac{b-a}{2n}\] 이다. 사다리꼴의 공식 에서는 곡선의 각 소부분을 선분으로 보았으나, Simpson의 공식에서는 이것을 \(y\)축에 평행한 축을 가지는 포물선의 일부로 보고 적분 의 근사값을 구한다. 그래서 \(y=f(x)\)의 그래프를 나타내는 곡선을 아래 그림과 같이 \(2n-1\) 개의 분점 \[\rm P_1,\,P_2,\,\cdots,\,P_{2n-1}\] 으로 분할한다. 곡선의 소부분 \[\rm P_1P_2P_3,\,P_2P_3P_4,\,\cdots,\,P_{2n-2}P_{2n-1}P_{2n}\] 을 각각 \(y\)축에 평행한 축을 갖는 포물선의 일부로 보고, 이들 포물선의 호와 \(x\)추가 사이에 있는 면적을 위의 그림과 같이 각각 \[\rm S_1,\,S_2,\,\cdots,\,S_n\] 라 하고, 적분을 다음과 같이 근사시킨다. \[\int_a^bf(x)dx\fallingdotseq\rm S_1+S_2+\cdots+S_n\] 그래서 \(\rm S_1\)을 구해 보자. 호 \(\rm P_0P_1P_2\)를 \(y\)축에 평행한 축을 갖는 포물선의 일부라고 보고, 이 포물선의 방정식을 구한다. 계산을 간단히 하기 위하여 좌표축을 \(x\)축의 방향으로 평행이동하여 점 \(\rm P_1\)이 \(y\)축 위에 오도록 한다. 그래서 이 새로운 좌표에 관한 이 포물선의 방정식을 \[y=ax^2+bx+c\] 라 하자. \(\rm P_0,\,P_1,\,P_2\)의 새...