기계공학 (Mechanical Engineering)

평면상 또는 공간에서 곡선호 \(\rm PQ\)의 길이를 구하는 방법을 생각해 보자. 호 위에 아래 그림과 같이 점 \({\rm P=P}_0,\,{\rm P}_1,\,{\rm P}_2,\,\cdots,\,{\rm P}_{n-1},\,{\rm P}_n={\rm Q}\)로서 \(\rm PQ\)의 분할 \(\Delta\)를 만들자. 이 경우 \(n\)개의 현 \[\overline{\rm P_0P_1},\,\overline{\rm P_1P_2},\,\cdots,\,\overline{{\rm P}_{n-1}{\rm P}_n}\] 의 길이를 각각 \[l_1,\,l_2,\,\cdots,\,l_n\] 으로 두고 그 합 \[l_n=\sum_{i=1}^nl_i=l_1+l_2+\cdots+l_n\] 을 생각하자. 분할 \(\Delta\)에서 각 현 \({\rm P}_{i-1}{\rm P}_i\)의 길이 \(l_i\)가 \(l_i\to0\) 되도록 분점의 개수를 무한히 증가시키면 극한치 \[\lim_{n\to\infty}l_n=\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^nl_i=\rm L\] 가 얻어진다. 이 극한치 \(\rm L\)를 곡선호 \(\rm PQ\)의 길이 라고 한다. 정리 1 평면상의 곡선 호의 길이    방정식 \(y=f(x)\ (a\le x\le b)\)로 표시되는 곡선호 \(\rm AB\)의 길이는 \[{\rm L}=\int_a^b\sqrt{1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^2}dx\]로 주어진다. < 증명 > \(x\)축상의 구간  \([a,\,b]\)의 분할 \(\Delta\)를 만들어 그 분점을 \[a=x_0<x_1<\cdots<x_{n-1}<x_n=b\] 로 두자. 이것에 대응하여 \(\rm AB\) 상에 \(n+1\)개의 점을 \[{\rm A=P}_0(x_0,\,f(x_0)),\,{\rm P}_1(x_1,\,f(x...

\({\rm F}(x,\,y)=ax+by+c=0\) 라고 하는 관계식에서 \[\begin{align}&b\ne0\ \text{이면}\ y=-\frac{ax+c}{b},\,\frac{dy}{dx}=-{a\over b}\\&a\ne0\ \text{이면}\ x=-\frac{by+c}{a},\,\frac{dx}{dy}=-{b\over a}\end{align}\] 와 같이, 각각의 조건하에서 \(y\)를 \(x\)의 함수 로 표현하든지, \(x\)를 \(y\)의 함수로 표현할 수 있다. 이 경우 필요한 조건은 \[b={\rm F}_y\ne0\ \text{또는}\ a={\rm F}_x\ne0\] 이다. 또한 \[\begin{align}&{\rm F}_y\ne0\ \text{이면}\ \frac{dy}{dx}=-\frac{{\rm F}_x}{{\rm F}_y}\\&{\rm F}_x\ne0\ \text{이면}\ \frac{dx}{dy}=-\frac{{\rm F}_y}{{\rm F}_x}\end{align}\] 이다. 일반적으로 2변수함수 \({\rm F}(x,\,y)\)가 있고, 방정식 \({\rm F}(x,\,y)=0\)이 주어지면, 위와 같은 사실을 알 수 있다. 정리 1   2변수함수 \({\rm F}(x,\,y)\)에 대하여 (1) 점 \((a,\,b)\)에서 \({\rm F}(a,\,b)=0,\,{\rm F}_y(a,\,b)\ne0\) (2) 점 \((a,\,b)\)의 근방 에서 \({\rm F}_x,\,{\rm F}_y\)가 연속 이라고 하면, 다음 성질을 만족하는 함수 \(y=f(x)\)가 \(x=a\)의 근방에서 존재한다. \[f(a)=b,\,{\rm F}(x,\,f(x))=0\] 그리고 \[dy/dx=-{\rm F}_x/{\rm F}_y\]이다. 또한 \({\rm F}(x,\,y)\)의 2차편도함수  \({\rm F}_{xx},\,{\rm F}_{xy...

2개의 함수 \(f(x)\)와 \(g(x)\)가 폐구간 \([a,\,b]\)에서 연속 이고 \(f(x)\ge g(x)\) 일 때, \(x\)축 상의 구간 \([a,\,b]\)를  \[a=x_0<x_1<x_2<\cdots<x_{n-1}<x_n=b\] 와 같은 분점으로 분할하여, 이 분할을 \(\Delta\)라 하자. 각 소구간 \(l_i=[x_{i-1},\,x_i]\)에서 \(f(x)-g(x)\)의 최대치를 \({\rm M}_i\), 최소치를 \(m_i\)로 두고 2개의 합 \[\sum_{i=1}^n{\rm M}_i(x_i-x_{i-1}),\qquad\sum_{i=1}^nm_i(x_i-x_{i-1})\] 을 만든다. 이것은 직관적으로 보면 그림 1과 같이 두 곡선 \(y=f(x)\)와 \(y=g(x)\) 및 \(y\)축에 평행인 두 직선 \(x=a\)와 \(x=b\)에 포함된 평면도형 \(\rm F\)를 포함하는 다각형의 넓이와 \(\rm F\)에 포함되는 다각형의 넓이를 나타낸다. 그림 1 여기서 분할 \(\Delta\)를 충분히 세분할 때, 다음의 두 극한 \[\lim_\Delta\sum_{i=1}^n{\rm M}_i(x_i-x_{i-1}),\qquad\lim_\Delta\sum_{i=1}^nm_i(x_i-x_{i-1})\] 이 존재하여, 같은 극한치를 가질 때, 그 극한치를 도형 \(\rm F\)의 넓이 \(\rm S\)로 정의한다. 여기서, \(f(x)\)와 \(g(x)\)가 \([a,\,b]\)에서 연속이므로, 이 경우 두 개의 극한은 존재하고, 그 극한은 \[{\rm S}=\int_a^b\{f(x)-g(x)\}dx\] 이다. 정리 1   2개의 함수 \(f(x)\)와 \(g(x)\)가 구간 \([a,\,b]\)에서 연속이고, \(f(x)\ge g(x)\) 이면, 곡선 \(y=f(x)\)와 \(y=g(x)\) 및 두 직선 \(x=a\)와 \(x=b\)로 이루어지...

정의 1 (극대ㆍ극소) 함수 \(f(x,\,y)\)가 있어서 점 \((a,\,b)\)의 근방 의 임의의 점 \((x,\,y)\)에 대하여 \[\begin{split}f(x,\,y)<f(a,\,b)\text{이면}\ f\text{는}\ (a,\,b)\text{에서}\ {\bf 극대(極大)}\\f(x,\,y)>f(a,\,b)\text{이면}\ f\text{는}\ (a,\,b)\text{에서}\ {\bf 극소(極小)}\end{split}\] 라 하며, \(f(a,\,b)\)를 각각 극대치(極大値) 및 극소치(極小値) 라고 한다. 극대치와 극소치를 합쳐서 극치(極値) 라 한다. 정리 1     편미분가능 한 함수 \(f(x,\,y)\)가 점 \((a,\,b)\)에서 극치를 가지면 \(f_x(a,\,b)=f_y(a,\,b)=0\) 이다. <증명>  \(f\)가 \((a,\,b)\)에서 극치를 갖는다면, 직선 \(y=b\) 상에서 생각한 함수 \(f(x,\,b)\)는 \(x=a\)에서 극치를 갖는다. 따라서 \(f_x(a,\,b)=0\). 같은 방법으로, 직선 \(x=a\) 상에서 생각한 함수 \(f(a,\,y)\)도 \(y=b\)에서 극치를 가지므로 \(f_y(a,\,b)=0\) 이다. [ 주의 ] \(f_x(x,\,y)=f_y(x,\,y)=0\)의 근이 모두 극치를 준다고 말할 수 없다. 또 한편 미분계수가 존재하지 않는 점에서도 극치를 가질 수 있다.  정리 2    함수 \(f(x,\,y)\)가 점 \((a,\,b)\)에서 \(f_x(x,\,y)=f_y(x,\,y)=0\)을 만족한다고 하자. \[{\rm D}=f_{xy}(a,\,b)^2-f_{xx}(a,\,b)f_{yy}(a,\,b)\]라 둘 때 (i)  \({\rm D}<0,\,f_{xx}(a,\,b)>0\) 이면 \(f...

1. 다음 정적분 의 값을 구하여라. (1) \(\int_{-1/2}^{1/2}(2y+1)^7dy={1\over16}[(2y+1)^8]_{-1/2}^{1/2}=16\) (2) \(\int_0^{\pi/2}\sqrt{\sin{x}}\cos{x}dx={2\over3}[\sin^{3/2}x]_0^{\pi/2}={2\over3}\) (3) \(\int_0^1\frac{{\rm Tan^{-1}}x}{1+x^2}dx={1\over2}[({\rm Tan}^{-1})^2]_0^1={\pi^2\over32}\) (4) \(\int_{-1}^1|2x-1|dx=\int_{-1}^{1/2}(-2x+1)dx+\int_{1/2}^1(2x-1)dx=[-x^2+x]_{-1}^{1/2}+[x^2-x]_{1/2}^1\)                                     \(={5\over2}\) 2. 다음 정적분의 값을 구하여라. (1) \(\int_1^4\frac{e^{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}}dx=2\int_1^2e^tdt=2[e^t]_1^2=9.3415\) (2) \(\int_0^1(e^x+x^e)dx=\left[e^x+\frac{x^{e+1}}{e+1}\right]_0^1=1.9872\) (3) \(\int_0^{\pi/3}\frac{\sec\theta\tan\theta}{\sqrt{e^{\sec\theta}}}d\theta=\int_1^2\frac{dx}{\sqrt{e^x}}=-2\left[{1\over e}-{1\over\sqrt{e}}\right]_1^2=0.4773\) (4) \(\int_0^1(e^x+e^{-x})^2dx=\int_0^1(e^{2x}+2+e^{-2x})dx=\left[{e^{2x}\over2}+2x-{e^{-2x}\over2}\right]_0^1=5.6269\) (5) \...