기계공학 (Mechanical Engineering)

정의 1 영벡터 가 아닌 두개의 벡터 \({\bf a},\,\bf b\)가 주어져 있을 때, 임의의 점 \(\rm O\)를 시점으로하고, \({\bf a}={\rm OA},\,{\bf b}={\rm OB}\)를 만들어, \(\theta=\angle{\rm AOB}(0\le\theta\le\pi)\)를 벡터 \(\bf a\)와 \(\bf b\)가 이루는 각(角)이라 한다. 이 때, \(\bf|a|\cdot|b|\cos\theta\)를 \({\bf a},\,{\bf b}\)의 내적(內積) 또는 스칼라적 이라 하고, \(({\bf a},\,{\bf b})\) 또는 \(\bf a\cdot b\)로 나타낸다. \(\bf a\)와 \(\bf b\) 중, 어느 하나가 영벡터일 때는, \(({\bf a},\,{\bf b})=0\)로 정한다. 정리 1 (벡터의 길이, 수직, 평행의 내적표시) (i) \(({\bf a},\,{\bf a})=|\bf a|^2\)                   (ii) \({\bf a},\,{\bf b}\)가 영벡터가 아닐 때, \({\bf a}\perp{\bf b}\Leftrightarrow({\bf a},\,{\bf b})=0\) \({\bf a}\parallel{\bf b}\Leftrightarrow({\bf a},\,{\bf b})=\pm\bf|a||b|\) [ 예제 1 ] 단위벡터 \({\bf n}=(0.4,\,0.6,\,0.693)\)에 수직인 단위벡터 \(\bf s\)를 구하여라. 단, \(\bf s\)의 \(z\) 방향 성분은 '\(0\)' 이다. < 풀이 > \({\bf s}=(x,\,y,\,z)\)이라 하면 \(z=0\)에 수직이므로 \({\bf n\cdot s}=0.4x+0.6y=0\). 또한 단위벡터이므로 \(x^2+y^2=1\).  따라서 \(x=0.832,\,...

2변수 함수 \(f(x,\,y)\)가 연속 인 편도함수 \(f_x\)와 \(f_y\)를 갖는다고 하자. 방정식 \[z=f(x,\,y)\] 는 공간에 대한 곡면을 표시하고, 이 곡면 상의 임의의 점을 \((x,\,y,\,z)\)라 하면 \((x,\,y,\,z)=(x,\,y,\,f(x,\,y))\) 이다. 이 곡면 상의 점 \((a,\,b,\,f(a,\,b))\)를 지나는 평면 \(y=b\)와 \(x=a\)에 의해 이 곡면을 절단하는 단면의 곡선을 각각 \(\rm C_1,\,C_2\)라 한다. \[\begin{gather}f_x(a,\,b)=\lim_{h\to0}\frac{f(a+h,\,b)-f(a,\,b)}{h}\\f_y(a,\,b)=\lim_{h\to0}\frac{f(a,\,b+h)-f(a,\,b)}{h}\end{gather}\] 이므로, 점 \({\rm P}(a,\,b,\,c),\,(c=f(a,\,b))\)에서 곡선 \(\rm C_1\)의 접선의 방향비 는 \((1,\,0,\,f_x(a,\,b))\) 곡선 \(\rm C_2\)의 접선의 방향비는 \((0,\,1,\,f_y(a,\,b))\) 이다. 여기서 \(\rm P\)에 대한 \(\rm C_1,\,C_2\)의 접선을 포함하는 평면을 구해 보자. 우선 점 \({\rm P}(a,\,b,\,c)\)를 지나는 평면은 일반적으로 \[l(x-a)+m(y-b)+n(z-c)=0\] 이고, \(l,\,m,\,n\)이 평면에 수직인 직선의 방향비이다. 따라서 \(\rm C_1,\,C_2\)의 접선이 이 평면 안에 있기 위해서는, 직교조건에 의해 \[\begin{gather}1\cdot l+0\cdot m+f_x(a,\,b)\cdot n=0\\0\cdot l+1\cdot m+f_y(a,\,b)\cdot n=0\end{gather}\] 이어야 한다. 이것으로부터 \(l,\,m,\,n\)의 비를 구하면 \[l:m:n=f_x(a,\,b):f_y(a,\,b):-1\] 이 된다. 따라서 구하는 평면의 방정식은 \[z-c=f_...

평면상 또는 공간에서 곡선호 \(\rm PQ\)의 길이를 구하는 방법을 생각해 보자. 호 위에 아래 그림과 같이 점 \({\rm P=P}_0,\,{\rm P}_1,\,{\rm P}_2,\,\cdots,\,{\rm P}_{n-1},\,{\rm P}_n={\rm Q}\)로서 \(\rm PQ\)의 분할 \(\Delta\)를 만들자. 이 경우 \(n\)개의 현 \[\overline{\rm P_0P_1},\,\overline{\rm P_1P_2},\,\cdots,\,\overline{{\rm P}_{n-1}{\rm P}_n}\] 의 길이를 각각 \[l_1,\,l_2,\,\cdots,\,l_n\] 으로 두고 그 합 \[l_n=\sum_{i=1}^nl_i=l_1+l_2+\cdots+l_n\] 을 생각하자. 분할 \(\Delta\)에서 각 현 \({\rm P}_{i-1}{\rm P}_i\)의 길이 \(l_i\)가 \(l_i\to0\) 되도록 분점의 개수를 무한히 증가시키면 극한치 \[\lim_{n\to\infty}l_n=\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^nl_i=\rm L\] 가 얻어진다. 이 극한치 \(\rm L\)를 곡선호 \(\rm PQ\)의 길이 라고 한다. 정리 1 평면상의 곡선 호의 길이    방정식 \(y=f(x)\ (a\le x\le b)\)로 표시되는 곡선호 \(\rm AB\)의 길이는 \[{\rm L}=\int_a^b\sqrt{1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^2}dx\]로 주어진다. < 증명 > \(x\)축상의 구간  \([a,\,b]\)의 분할 \(\Delta\)를 만들어 그 분점을 \[a=x_0<x_1<\cdots<x_{n-1}<x_n=b\] 로 두자. 이것에 대응하여 \(\rm AB\) 상에 \(n+1\)개의 점을 \[{\rm A=P}_0(x_0,\,f(x_0)),\,{\rm P}_1(x_1,\,f(x...

\({\rm F}(x,\,y)=ax+by+c=0\) 라고 하는 관계식에서 \[\begin{align}&b\ne0\ \text{이면}\ y=-\frac{ax+c}{b},\,\frac{dy}{dx}=-{a\over b}\\&a\ne0\ \text{이면}\ x=-\frac{by+c}{a},\,\frac{dx}{dy}=-{b\over a}\end{align}\] 와 같이, 각각의 조건하에서 \(y\)를 \(x\)의 함수 로 표현하든지, \(x\)를 \(y\)의 함수로 표현할 수 있다. 이 경우 필요한 조건은 \[b={\rm F}_y\ne0\ \text{또는}\ a={\rm F}_x\ne0\] 이다. 또한 \[\begin{align}&{\rm F}_y\ne0\ \text{이면}\ \frac{dy}{dx}=-\frac{{\rm F}_x}{{\rm F}_y}\\&{\rm F}_x\ne0\ \text{이면}\ \frac{dx}{dy}=-\frac{{\rm F}_y}{{\rm F}_x}\end{align}\] 이다. 일반적으로 2변수함수 \({\rm F}(x,\,y)\)가 있고, 방정식 \({\rm F}(x,\,y)=0\)이 주어지면, 위와 같은 사실을 알 수 있다. 정리 1   2변수함수 \({\rm F}(x,\,y)\)에 대하여 (1) 점 \((a,\,b)\)에서 \({\rm F}(a,\,b)=0,\,{\rm F}_y(a,\,b)\ne0\) (2) 점 \((a,\,b)\)의 근방 에서 \({\rm F}_x,\,{\rm F}_y\)가 연속 이라고 하면, 다음 성질을 만족하는 함수 \(y=f(x)\)가 \(x=a\)의 근방에서 존재한다. \[f(a)=b,\,{\rm F}(x,\,f(x))=0\] 그리고 \[dy/dx=-{\rm F}_x/{\rm F}_y\]이다. 또한 \({\rm F}(x,\,y)\)의 2차편도함수  \({\rm F}_{xx},\,{\rm F}_{xy...

2개의 함수 \(f(x)\)와 \(g(x)\)가 폐구간 \([a,\,b]\)에서 연속 이고 \(f(x)\ge g(x)\) 일 때, \(x\)축 상의 구간 \([a,\,b]\)를  \[a=x_0<x_1<x_2<\cdots<x_{n-1}<x_n=b\] 와 같은 분점으로 분할하여, 이 분할을 \(\Delta\)라 하자. 각 소구간 \(l_i=[x_{i-1},\,x_i]\)에서 \(f(x)-g(x)\)의 최대치를 \({\rm M}_i\), 최소치를 \(m_i\)로 두고 2개의 합 \[\sum_{i=1}^n{\rm M}_i(x_i-x_{i-1}),\qquad\sum_{i=1}^nm_i(x_i-x_{i-1})\] 을 만든다. 이것은 직관적으로 보면 그림 1과 같이 두 곡선 \(y=f(x)\)와 \(y=g(x)\) 및 \(y\)축에 평행인 두 직선 \(x=a\)와 \(x=b\)에 포함된 평면도형 \(\rm F\)를 포함하는 다각형의 넓이와 \(\rm F\)에 포함되는 다각형의 넓이를 나타낸다. 그림 1 여기서 분할 \(\Delta\)를 충분히 세분할 때, 다음의 두 극한 \[\lim_\Delta\sum_{i=1}^n{\rm M}_i(x_i-x_{i-1}),\qquad\lim_\Delta\sum_{i=1}^nm_i(x_i-x_{i-1})\] 이 존재하여, 같은 극한치를 가질 때, 그 극한치를 도형 \(\rm F\)의 넓이 \(\rm S\)로 정의한다. 여기서, \(f(x)\)와 \(g(x)\)가 \([a,\,b]\)에서 연속이므로, 이 경우 두 개의 극한은 존재하고, 그 극한은 \[{\rm S}=\int_a^b\{f(x)-g(x)\}dx\] 이다. 정리 1   2개의 함수 \(f(x)\)와 \(g(x)\)가 구간 \([a,\,b]\)에서 연속이고, \(f(x)\ge g(x)\) 이면, 곡선 \(y=f(x)\)와 \(y=g(x)\) 및 두 직선 \(x=a\)와 \(x=b\)로 이루어지...