기계공학 (Mechanical Engineering)

 대수학이란 문자가 숫자를 대신한다고 해서 붙여진 이름이다. 이공학에서 널리 사용되는 그리스 문자를 정리해 보았다. 대문자 소문자 영어발음 한글발음 용도 Α α alpha 알파 계수, 각도, 유의수준 Β β beta 베타 계수, 각도 Γ γ gamma 감마 계수, 각도, 비중(량) Δ δ delta 델타 증분 Ε ε epsilon 엡실론 근방 , 변형률 Ζ ζ zeta 제타 변수, 감쇠비 Η η eta 에타 변수, 효율 Θ θ theta 세타 각도, 계수 Ι ι iota 아이오타 부분집합 Κ κ kappa 카파 곡률 , 전도율 Λ λ lambda 람다 고유치, 신장률 Μ μ mu 뮤우 평균 (모집단), 마찰계수, 절대점성계수 Ν ν nu 뉴우 포아송비 , 동점성계수 Ξ ξ xi 크사이 변수 Ο ο omicron 오미크론 - Π π pi 파이 원주율, 연속곱(대문자) Ρ ρ rho 로오 밀도, 반경 Σ σ sigma 시그마 응력 , 연속합(대문자), 표면장력 , 표준편차 Τ τ tau 타우 전단응력 Υ υ upsilon 웁실론 - Φ φ phi 화이 각도, 직경, 응력함수, 확률밀도함수(정규분포) Χ χ chi 카이 카이분포 Ψ ψ psi ...

[예제] \(f(x)\)와 \(g(x)\)는 구간 \([a,\,b]\)에서 연속 이라 한다. 다음 Schwarz의 부등식을 증명하여라. \[\left\{\int_a^bf(x)g(x)dx\right\}^2\le\int_a^b\{f(x)\}^2dx\int_a^b\{g(x)\}^2dx\] <풀이> \(t\)를 임의의 상수라 하면 \(\{tf(x)+g(x)\}^2\ge0\) 이다. 따라서 「정적분」 정리 4에 의해서 \[\begin{gather}\int_a^b\{tf(x)+g(x)\}^2dx\ge0\\\therefore\ t^2\int_a^b\{f(x)\}^2dx+2t\int_a^bf(x)g(x)dx+\int_a^b\{g(x)\}^2dx\ge0\end{gather}\] 이 부증식의 좌변을 \(t\)에 관한 이차식으로 보면, 그 판별식 \(D\)는 \(D\le0\)를 만족한다. 즉 \[D=\left\{\int_a^bf(x)g(x)dx\right\}^2-\int_a^b\{f(x)\}^2dx\int_a^b\{g(x)\}^2dx\le0\] 따라서 Schwarz의 부등식이 성립한다.

정의 1 함수 \(f\)가 점 \(c\)를 품은 개구간 에서 정의되어 있을 때, 충분히 작은 양수 \(\delta\)에 대하여, \(c\)의 \(\delta\) 근방 \((c-\delta,\,c+\delta)\)에서 \[f(x)<f(c)\ (f(x)>f(c))\] 이면, \(f\)는 \(x=c\)에서 극대(극소)가 된다고 하면 \(f(x)\)를 극대치 (極大値)( 극소치 (極小値))라 한다. 또한, 극대치와 극소치를 합쳐서 극치 (極値)라 한다. 정리 1 \(f\)는 \(c\)를 품는 개구간에서  미분가능 이라 하자. (1) \(f\)가 \(c\)에서 극치를 갖는다면, \(f'(c)=0\) 이다. (2) 적당한 양수 \(\delta\)에 대하여, \(c\)의 근방 \((c-\delta,\,c+\delta)\)에서 \[\begin{split}&c-\delta<x<c\ \text{일 때}\ f'(x)>0\ (f'(x)<0)\\&c<x<c+\delta\ \text{일 때}\ f'(x)<0\ (f'(x)>0)\end{split}\]이면, \(f\)는 \(c\)에서 극대(극소)가 된다. < 증명 > (1) \(f'(c)>0\) 이면, \(c\)에서 \(f\)는 증가상태, \(f'(c)<0\) 이면 \(c\)에서 \(f\)는 감소상태이므로 ( 「평균치의 정리와 그 응용」 정리 1), \(f\)는 \(c\)에서 극치를 가질 수 없다. 따라서, \(f\)가 \(c\)에서 극치를 갖는다면, \(f'(c)=0\) 이어야 한다. (2) \(f(x)\)는 \((c-\delta,\,c]\)에서 연속 이고, \((c-\delta,\,c)\)에서 \(f'(x)>0\) 이므로, 「평균치의 정리와 그 응용」 정리 5에 의해, \(f\)는 \((c-\delta,\,c]\)에서 ...

1. 다음 적분 을 계산하여라. \((1)\ \displaystyle\int\sqrt{3x+1}dx={2\over9}(3x+1)^{3\over2}\) \((2)\ \displaystyle\int x(x^2-2)^2dx=\frac{(x^2-2)^3}{6}\) \((3)\ \displaystyle\int(x^2-2)^2dx=\int(x^4-2x^2+4)dx={x^5\over5}-{2\over3}x^3+4x\) \((4)\ \displaystyle\int\frac{dx}{5-2x}=-\frac{\ln|5-2x|}{2}\) \((5)\ \displaystyle\int\frac{\sqrt{x}}{1+x\sqrt{x}}dx={2\over3}\int\frac{dt}{1+t}={2\over3}\ln(1+t)={2\over3}\ln\left(1+x^{3\over2}\right)\) \((6)\ \displaystyle\int\left(1-{1\over z}\right)^2\frac{dz}{z^2}=-\int(1-t)^2dt=\frac{(1-t)^3}{3}={1\over3}\left(1-{1\over z}\right)^3\) 2. 다음 적분을 계산하여라. \((1)\ \displaystyle\int\frac{\cos3x}{\sin3x}dx={1\over3}\int\frac{d(\sin3x)}{\sin3x}=\frac{\ln|\sin3x|}{3}\) \((2)\ \displaystyle\int2\sqrt{7t-13}dt={4\over21}(7t-13)^{3/2}\) \((3)\ \displaystyle\int(\ln{x}+1)e^{x\ln{x}}dx=\int(\ln{x}+1)x^xdx=\int dt=t=x^x\) \((4)\ \displaystyle\int\frac{5x-1}{5x^2-2x+1}dx={1\over2}\int\frac{(5x^2-2x+1)'}{5x^2-2x+1}dx=\frac{\ln(5x^2-2x+1)}{2}\) \((5)\ \displaystyle\i...

1. 함수  \(f(x)=\begin{cases}\dfrac{x}{1+e^{1\over x}}\ (x\ne0)\\\quad\ 0\quad\ \ \ (x=0)\end{cases}\)의 \(x=0\)에서의 연속성 과 미분가능성 을 조사하여라. < 풀이 > \(\displaystyle\lim_{x\to0}f(x)=\lim_{x\to0}\frac{x}{1+e^{1\over x}}=0=f(0)\) 이므로 \(x=0\)에서 연속이다. \(\displaystyle\lim_{x\to+0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim_{x\to+0}\frac{1}{1+e^{1\over x}}=0,\,\lim_{x\to-0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim_{x\to-0}\frac{1}{1+e^{1\over x}}=1\) 따라서 \(x=0\)에서 미분 불가능이다. 2. 다음 함수의 도함수를 구하여라. (1) \(\dfrac{x^3}{(1-x^2)^{3\over2}}\)                    (2) \(\dfrac{\sin{x}-x\cos{x}}{x\sin{x}+\cos{x}}\)          (3) \({\rm Sin}^{-1}\left(\dfrac{1-x}{1+x}\right)\) (4) \(\ln\dfrac{\sqrt{1+x^2}+\sqrt{2}x}{\sqrt{1+x^2}-\sqrt{2}x}\)     (5) \(e^{4^x}\)                               (6) \((\tan{x})^{\sin{x}}\) < 풀이 > (1) \(\left\{\dfrac{x^3}{(1-x^2)^{3\...