기계공학 (Mechanical Engineering)

Airy stress functions 2-D 평형 탄성 문제에 있어서 에어리 응력 함수(Airy stress function) 사용은 매우 유용하다. 여기서는 체적력과 가속도가 없는 경우를 소개한다. 이 경우 2-D 평형 방정식은 다음과 같이 축약된다. \[\frac{\partial\sigma_{xx}}{\partial x}+\frac{\partial\tau_{xy}}{\partial y}=0\qquad\frac{\partial\sigma_{yy}}{\partial y}+\frac{\partial\tau_{xy}}{\partial x}=0\] 다음에는 2-D 응력 성분과 연관된 스칼라 함수 , \(\phi\), 즉 에어리 응력 함수를 제안한다. \[\sigma_{xx}=\frac{\partial^2\phi}{\partial y^2}\qquad\sigma_{yy}=\frac{\partial^2\phi}{\partial x^2}\qquad\tau_{xy}=-\frac{\partial^2\phi}{\partial{x}\partial{y}}\] 이 응력 함수는 평형 방정식을 만족한다. \[\begin{gather}\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial^2\phi}{\partial y^2}\right)-\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{\partial^2\phi}{\partial x\partial y}\right)=0\\\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{\partial^2\phi}{\partial x^2}\right)-\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial^2\phi}{\partial x\partial y}\right)=0\end{gather}\] 위의 결과 \(\phi\)의 선택과는 상관 없이 항상 만족한다는 사실이다. 따라서 어떤 함수를 선택해도 해당 문제의 해가 될 수 있다. 단지 해...

어떤 물체의 중심 \(G\)를 지나는 직선 \(g\) 둘레의 관성능률 을  \({\rm I}_g\)라 하고 \(g\)에 평행한 직선 \(g'\) 둘레의 관성능률을 \({\rm I}_g'\)로 두면 \[{\rm I}_g'={\rm I}_g+k^2{\rm M}\] 이다. 단, \(k\)는 \(g\)와 \(g'\)와의 거리이고 \(\rm M\)은 물체의 전체 질량이다. <증명> 아래 그림과 같이 \(g\)를 \(z\)축으로 두자. 또 \(g'\)를 \(z'\)축으로 하는 좌표계  x'y'z'-계를 설정하자. \(yz\)평면과 \(zx\)평면에 관한 2차능률을 각각 \(\rm H_1\)과 \(\rm H_2\), \(y'z'\)평면과 \(z'x'\)평면에 관한 2차능률을 각각 \(\rm H_1'\)과 \(\rm H_2'\)로 두면 \[{\rm H}_1=\int_a^bx^2g(x)dx,\qquad{\rm H}_2=\int_c^dy^2h(y)dy\] 한편 \(x'=x+k,\,y'=y\) 이므로 \[{\rm H}_1'=\int_a^b(x+k)^2g(x)dx,\qquad{\rm H}_2'=\int_c^dy^2h(y)dy={\rm H}_2\] 이다. 따라서 \[\begin{align}{\rm H}_1'&=\int_a^b\left(x^2+2kx+k^2\right)g(x)dx=\int_a^bx^2g(x)dx+2k\int_a^bxg(x)dx+k^2\int_a^bg(x)dx\\&=\int_a^bx^2g(x)dx+k^2{\rm M}={\rm H}_1+k^2{\rm M}\end{align}\] 여기서 중심 \(G\)가 \(z\)축 상에 있으므로 \[\int_a^bxg(x)dx=0\] 도 명백히 \[{\rm M}=\int_a^bg(x)dx\] 도형의 관성능률 식 (1)에 의하여 \[{\rm I}_g'={\r...

원통좌표계 에서 2차 텐서(2nd rank tensor)의 발산을 유도해 본다. 원통좌표계의 델 연산자 \((\nabla)\)를 적용하고 텐서 를 단위벡터 의 형태로 나타내면 다음과 같다. \[\nabla\cdot\boldsymbol\sigma=\left(\hat{r}\frac{\partial}{\partial r}+\hat\theta\frac{\partial}{r\partial\theta}+\hat{z}\frac{\partial}{\partial z}\right)\cdot\left(\begin{matrix}\quad\sigma_{rr}\hat{r}\hat{r}+\sigma_{r\theta}\hat{r}\hat\theta+\sigma_{rz}\hat{r}\hat{z}\\+\sigma_{\theta r}\hat\theta\hat{r}+\sigma_{\theta\theta}\hat\theta\hat\theta+\sigma_{\theta z}\hat\theta\hat{z}\\+\sigma_{zr}\hat{z}\hat{r}+\sigma_{z\theta}\hat{z}\hat\theta+\sigma_{zz}\hat{z}\hat{z}\end{matrix}\right)\] 2차 텐서 각 항에 단위벡터의 좌표계 미분 과 적(積)의 미분법 을 이용하여 델 연산자의 성분 을 적용하면 \[\begin{split}&\hat{r}\frac{\partial}{\partial r}\left(\sigma_{rr}\hat{r}\hat{r}\right)=\hat{r}\frac{\partial\sigma_{rr}}{\partial r}\\&\hat{r}\frac{\partial}{\partial r}\left(\sigma_{r\theta}\hat{r}\hat\theta\right)=\hat\theta\frac{\partial\sigma_{r\theta}}{\partial r}\\&\hat{r}\frac{\partial}{\partial r}\left(\sigma_{rz...

[문 제] \(\rm O\)와 \(\rm D\)는 각 원의 중심이다. \(\rm R=6,\,r=3\) 일 때 \(\rm DA\times DB\)를 구하여라. <풀이> \(\angle{\rm ADO}=a,\,\angle{\rm ADB}=b,\,\angle{\rm BDT}=c\)로 두면 \[\angle{\rm TBD}={\pi\over2}-c,\,\angle{\rm BAD}={\pi\over2}-c-b,\,\angle{\rm ABO}={\pi\over2}+a-b-c,\,\angle{\rm DBO}=a+b\] 한편 \(\angle{\rm ABO}+\angle{\rm DBO}+\angle{\rm TBD}=\pi\) 이므로 \(a=c\) 이다. 따라서 \[{\rm DA\times DB=2R}\cos{a}\left(r\over\cos{a}\right)=36\]

정의 1. 두 개의 벡터 \({\bf a}, {\bf b}\)에 대하여 다음과 같은 크기와 방향을 갖는 벡터 \(\bf c\)를, \(\bf a\)와 \(\bf b\)의 외적(外積) 또는 벡터적 이라 말하고, \({\bf a}\times{\bf b}\) 또는 \([{\bf a},\,{\bf b}]\)로 나타낸다.   \({\bf c}={\bf a}\times{\bf b}\)의 크기 : 점 \(\rm O\)를 시점으로 해서 \({\bf a}=\rm OA,\,{\bf b}=OB\)를 만들 때, \(\rm OA\)와 \(\rm OB\)를 두변으로하는 평행사변형의 면적. \({\bf c}={\bf a}\times{\bf b}\)의 방향 : 벡터 \({\bf a},\,{\bf b}\)에 수직이고, \(\rm OA\)를 \(\rm O\)의 주위에 \(\pi\) 이하의 각 \(\theta\) 만큼을 회전해서 \(\rm OB\)에 겹치게 할 때, 오른쪽 나사 의 진행하는 방향. 특히, \({\bf a},\,{\bf b}\)가 평행할 때나 어느 한쪽이 영벡터 일 때는 \({\bf a}\times{\bf b}={\bf 0}\)로 한다. [ 주의 ] \(\theta\)를 벡터 \(\bf a\)와 \(\bf b\)가 이루는 각이라 할 때, \(\rm OA,\,OB\)를 두변으로 하는 평행사변형의 면적은 \(|{\bf a}||{\bf b}|\sin\theta\)와 같다. 이것이 \(|{\bf a}\times{\bf b}|\) 이다. 정리 1   (외적의 성질) (i)   \({\bf a}\times{\bf a}={\bf 0}\) (ii)  \({\bf a}\times{\bf b}=-{\bf b}\times{\bf a}\) (iii) \((t{\bf a})\times{\bf b}={\bf a}\times(t{\bf b})=t({\bf a}\times{\bf b})\) (iv) \({\bf a}...