기계공학 (Mechanical Engineering)

정의 1. 두 개의 벡터 \({\bf a}, {\bf b}\)에 대하여 다음과 같은 크기와 방향을 갖는 벡터 \(\bf c\)를, \(\bf a\)와 \(\bf b\)의 외적(外積) 또는 벡터적 이라 말하고, \({\bf a}\times{\bf b}\) 또는 \([{\bf a},\,{\bf b}]\)로 나타낸다.   \({\bf c}={\bf a}\times{\bf b}\)의 크기 : 점 \(\rm O\)를 시점으로 해서 \({\bf a}=\rm OA,\,{\bf b}=OB\)를 만들 때, \(\rm OA\)와 \(\rm OB\)를 두변으로하는 평행사변형의 면적. \({\bf c}={\bf a}\times{\bf b}\)의 방향 : 벡터 \({\bf a},\,{\bf b}\)에 수직이고, \(\rm OA\)를 \(\rm O\)의 주위에 \(\pi\) 이하의 각 \(\theta\) 만큼을 회전해서 \(\rm OB\)에 겹치게 할 때, 오른쪽 나사 의 진행하는 방향. 특히, \({\bf a},\,{\bf b}\)가 평행할 때나 어느 한쪽이 영벡터 일 때는 \({\bf a}\times{\bf b}={\bf 0}\)로 한다. [ 주의 ] \(\theta\)를 벡터 \(\bf a\)와 \(\bf b\)가 이루는 각이라 할 때, \(\rm OA,\,OB\)를 두변으로 하는 평행사변형의 면적은 \(|{\bf a}||{\bf b}|\sin\theta\)와 같다. 이것이 \(|{\bf a}\times{\bf b}|\) 이다. 정리 1   (외적의 성질) (i)   \({\bf a}\times{\bf a}={\bf 0}\) (ii)  \({\bf a}\times{\bf b}=-{\bf b}\times{\bf a}\) (iii) \((t{\bf a})\times{\bf b}={\bf a}\times(t{\bf b})=t({\bf a}\times{\bf b})\) (iv) \({\bf a}...

  chauffa ge [ ʃofaːʒ] m. 난방

공간에 질량 \(m_1,\,m_2,\,\cdots,\,m_n\)을 가진 점 \({\rm P}_1,\,{\rm P}_2,\,\cdots,\,{\rm P}_n\)와 직선 \(g\)가 주어져다고 하자. 이 때 각 점에서 직선까지의 거리가 각각 \(r_1,\,r_2,\,\cdots,\,r_n\) 이면, 다음 합 \[{\rm I}_g=\sum_{i=1}^nm_ir_i^2=m_1r_1^2+m_2r_2^2+\cdots+m_nr_n^2\] 을 이 질점계의 \(g\)둘레의 관성능률(慣性能率) 이라 한다. 여기서 직선 \(g\)가 \(z\)축이라면 각 점의 좌표를 각각 \({\rm P}_1(x_1,\,y_1,\,z_1),\,{\rm P}_2(x_2,\,y_2,\,z_2),\cdots,\,{\rm P}_n(x_n,\,y_n,\,z_n)\)으로 나타낼 때 \(z\)축 둘레의 관성능률은 \(r_i^2=x_i^2+y_i^2\ (i=1,\,2,\,\cdots,\,n)\)이므로 \[{\rm I}_z=\sum_{i=1}^nm_i\left(x_i^2+y_i^2\right)\]  이다. 같은 방법으로 \(x\)축과 \(y\)축 둘레의 관성능률은 각각 \[{\rm I}_x=\sum_{i=1}^nm_i\left(y_i^2+z_i^2\right),\qquad{\rm I}_y=\sum_{i=1}^nm_i\left(z_i^2+x_i^2\right)\] 으로 주어진다. 여기서 \[{\rm H}_1=\sum_{i=1}^nm_ix_i^2,\qquad{\rm H}_2=\sum_{i=1}^nm_iy_i^2,\qquad{\rm H}_3=\sum_{i=1}^nm_iz_i^2\] 을 각각 \(yz,\,zx,\,xy\) 평면에 관하여 이 질점계의 2차 능률(二次能率) 이라 한다. \[{\rm I}_x={\rm H}_2+{\rm H}_3,\qquad{\rm I}_y={\rm H}_3+{\rm H}_1,\qquad{\rm I}_z={\rm H}_1+{\rm H}_2\cdots(1)\] 가 성립함을 알 수 있...

 make use of : ~을 활용하다.

입체의 체적(부피)를 정적분 을 이용하여 구하는 방법을 알아본다. 정리 1   입체와 직선 \(g\)가 있고 \(g\) 상에 주어진 좌표 \((x)\)에 대하여 \(g\) 상에 좌표 \(x\)인 점 \(\rm P\)를 통하고 \(g\)에 수직인 평면으로 입체를 절단할 때 절단면의 면적을 \({\rm S}(x)\)라 하자. 이 때 \({\rm S}(x)\)가 \(x\)의 연속함수 라면, 이 입체의 부피는 \[{\rm V}=\int_a^b{\rm S}(x)dx\]로 주어진다. <증명>   \(g\) 상의 점 \(x\)와 \(x+\Delta{x}\)를 통하는 \(g\)에 수직인 두 평면으로 입체를 절단하여 그림 1 처럼 얇은 판모양의 입체를 만들자. 이 때 얇은 판모양의 입체의 부피는 \[\Delta{\rm V}\fallingdotseq{\rm S}(x)dx\] 에 근사하다. 따라서 정적분의 성질에 의하여 입체 부피 \(rm V\)는 \[{\rm V}=\int_a^b{\rm S}(x)dx\] 가 된다. 그림 1 [예제 1] 타원면 \[\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1\ (a,\,b,\,c>0)\] 으로 싸인 타원체의 부피를 구하여라. <풀이> 이 타원체를 그림 2와 같이 표시한 부분은 전체의 \(1/8\)이다. 여기서 점 \((x,\,0,\,0)\)을 지나고 \(x\)축에 수직인 평면으로 절단된 부분은 타원의 \(1/4\)로서 그 타원의 방정식은 \[\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1-\frac{x^2}{a^2}\] 이것을 변형하면 \[\frac{y^2}{\left(b\sqrt{1-x^2/a^2}\right)^2}+\frac{z^2}{\left(c\sqrt{1-x^2/a^2}\right)^2}=1\] 이것으로부터 절단부분의 넓이를 구하면 타원의 \(1/4\) 이므로 \[...