기계공학 (Mechanical Engineering)

수열  \(\{a_n\}\)이 극한값 a를 가질 때 a 에 수렴한다고 하고 \(\{a_n\}\)을 수렴수열 이라 한다. 수열이 극한값을 갖지 않을 때 발산 한다고 하고 \(\{a_n\}\)을 발산수열 이라 한다. [예제 1] \(a_n=(-1)^n+{1\over2^n}\)으로 정의된 수열의 수렴, 발산을 조사하여라. <풀이> n이 홀수면 \(a_n=-1+{1\over2^n}\) n이 짝수면 \(a_n=\ \ \ 1+{1\over2^n}\) 따라서 n→∞ 일 때 짝수번째 항은 1에 근접하고 홀수번째 항은 -1에 근접한다. 요컨데 ε=0.5를 택하면 어떠한 자연수 N을 택해도 N번째 이후 항 \(a_n\)에 대하여 \(|a_n-a|<\epsilon\)으로 되는 a는 존재하지 않는다. 따라서 \(\{a_n\}\)은 수렴하지 않는다. 위의 예제에서 모든 자연수 n에 대하여 \[|a_n|\le1+{1\over4}={5\over4}\] 수열 \(\{a_n\}\)이 모든 n에 대하여 \(|a_n|\le A\)(양수) 일 때 유계 라고 한다. 예제 1의 수열은 A=5/4 이므로 유계이다. 항의 수가 유한(N항) 일 때는 \(|a_1|,\,|a_2|,\,\cdots,\,|a_N|\) 중에서 최대인 것은 A라 하면 \(|a_N|\le A,\,n=1,\,2,\,\cdots,\,N\) 이므로 유한수열은 유계이다. 무한수열이 유계가 아닐 때는 n→∞ 일 때 \(|a_n|\to\infty\)로 나타낸다. 특히 \[\begin{align}a_n>0\ \text{이고}\ |a_n|\to\infty\ \text{일 때에는}\ a_n\to\infty\\a_n<0\ \text{이고}\ |a_n|\to\infty\ \text{일 때에는}\ a_n\to\infty\end{align}\] 로 쓰고 각각 양 또는 음의 무한대로 발산한다고 한다. 정리 1    수렴수열은 유계이다. <증명> \(\begin{align}\lim_

명제 P가 다음 두 조건을 만족한다고 하자. ● P(1)이 성립한다. ● n∈N(자연수 전체의 집합)에 대하여 P(n)이 성립하면, P(n+1) 역시 성립한다. 그러면 모든 n∈N에 대하여 P(n)이 성립한다. 이 공리(公理)를 수학적 귀납법 이라 한다. [예제 1] 자연수의 합의 공식 \[1+2+3+\cdots+n={n(n+1)\over2}\] 이 임의의 자연수 n에 대하여 성립함을 증명하여라. <증명> n에 대하여 성립한다면 \(1+2+3+\cdots+n={n(n+1)\over2}\) 이다. n=1에 대하여 \(1={(1)(1+1)\over2}=1\) 이므로 자명하게 성립한다. 양변에 n+1을 더하면 \(1+2+3+\cdots+n+(n+1)={n^2+3n+2\over2}={(n+1)(n+2)\over2}\) 이므로 역시 성립한다. 수학적 귀납법에 따라 임의의 n∈N에 대하여도 성립한다. [예제 2] k≥2인 자연수 k에 대하여 다음 부등식 \(k!\ge2^{k-1}\)이 성립함을 증명하여라. <증명> k=2 일 때 \(2!=2^1\) 이므로 명백히 성립한다. k 일 때 성립한다고 가정하면 \((k+1)!=k!(k+1)\ge2^{k-1}(k+1)>2^k\) 이므로 역시 성립한다. 수학적 귀납법에 따라 k≥2인 임의의 자연수 k에 대하여도 성립한다. [예제 3] 자연수의 제곱합의 공식 \[1^2+2^2+3^2+\cdots+n^2={n(n+1)(2n+1)\over6}\] 이 임의의 자연수 n에 대하여 성립함을 증명하여라. <증명> n=1 에 대하여 \(1^2={(1)(1+1)(2\cdot1+1)\over6}=1\) 이므로 자명하게 성립한다. n에 대하여 성립한다면 \(1^2+2^2+3^2+\cdots+n^2={n(n+1)(2n+1)\over6}\) 이다. 양변에 \((n+1)^2\)을 더하면 \(1^2+2^2+3^2+\cdots+n^2+(n+1)^2={n(n+1)(2n+1)\over6}+(n+1)^2={(n+1)(n+

n개의 원소를 가지는 집합에서 순서에 상관없이 k개의 부분집합을 고르는 조합의 경우의 수 \[\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}=_nC_k=C_{n,k}=C(n,k)=\frac{P(n,k)}{k!(n-k)!}=\frac{n!}{k!(n-k)!}\] 여기서 P(n,k)는 n개 중 k개를 뽑는 순열 [예 1] 5개 중에서 2개를 뽑는 경우 \[\begin{pmatrix}5\\2\end{pmatrix}=\frac{5!}{2!(5-2)!}={5\cdot4\over2}=10\] 모든 경우의 조합을 나타내면 \[1\begin{cases}2\\3\\4\\5\end{cases},\,2\begin{cases}3\\4\\5\end{cases},\,3\begin{cases}4\\5\end{cases},\,4\begin{cases}5\end{cases}\] [예 2] 이항계수의 항등식 \[\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}n\\k-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}n+1\\k\end{pmatrix}\] <증명> \[\begin{split}\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}n\\k-1\end{pmatrix}&=\frac{n!}{k!(n-k)!}+\frac{n!}{(k-1)!(n-k+1)!}\\&=\frac{n!(n+1)}{r!(n-k+1)!}=\frac{(n+1)!}{k!(n+1-k)!}=\begin{pmatrix}n+1\\k\end{pmatrix}\end{split}\] [예 3] 1~45 숫자 중에서 6개 숫자를 뽑는 로또복권의 모든 경우의 수 \[\begin{pmatrix}45\\6\end{pmatrix}=\frac{45!}{6!(45-6)!}=8,145,060\]

n이 양의 정수일 때 \[\begin{align}(a+b)^n&=\sum_{r=0}^n{_nC_r}a^{n-r}b^r=\sum_{r=0}^n\begin{pmatrix}n\\r\end{pmatrix}a^{n-r}b^r\\&=\begin{pmatrix}n\\0\end{pmatrix}a^n+\begin{pmatrix}n\\1\end{pmatrix}a^{n-1}b+\cdots+\begin{pmatrix}n\\r\end{pmatrix}a^{n-r}b^r+\cdots+\begin{pmatrix}n\\n\end{pmatrix}b^n\end{align}\] 여기서 \(_nC_r=\begin{pmatrix}n\\r\end{pmatrix}\)은 n개에서 r개를 고르는 조합 이다. [증명] 이항계수의 항등식과 수학적 귀납법 을 사용한다. n=0 일 때 \((a+b)^0=1\) n에 대해 성립한다고 가정한다. \(\begin{split}(a+b)^{n+1}&=(a+b)(a+b)^n=(a+b)\sum_{r=0}^n\begin{pmatrix}n\\r\end{pmatrix}a^{n-r}b^r\\&=a\sum_{r=0}^n\begin{pmatrix}n\\r\end{pmatrix}a^{n-r}b^r+b\sum_{r=0}^n\begin{pmatrix}n\\r\end{pmatrix}a^{n-r}b^r\\&=\sum_{r=0}^n\begin{pmatrix}n\\r\end{pmatrix}a^{n-r+1}b^r+\sum_{r=1}^{n+1}\begin{pmatrix}n\\r-1\end{pmatrix}a^{n-r+1}b^r\\&=a^{n+1}+b^{n+1}+\sum_{r=1}^n\left\{\begin{pmatrix}n\\r\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}n\\r-1\end{pmatrix}\right\}a^{n-r+1}b^r\\&=a^{n+1}+b^{n+1}+\sum_{r=1}^n\begin{pmatrix}n+1\\r\end

수열 양의 정수의 집합을 N, 실수의 집합을 R이라 할 때 함수 f : N→R의 값을 차례로 \[f(1),\,f(2),\,\cdots,\,f(n),\,\cdots\] 으로 배열한 것을 수열이라 한다. 양의 정수 n에 대하여 \(f(n)=a_n\) 이라 할 때 수열을 \(\{a_n\}\)으로 나타낸다. 수열의 극한 수열 \(\{a_n\}\)에서 「n이 한없이 커질 때 \(a_n\)은 a에 한없이 가까와진다.」는 것은 임의의 양수 ε에 대하여 자연수 N이 존재해서 n≥N인 모든 자연수 n에 대하여 \[|a_n-a|<\epsilon\] 인 것이다. 수열 \(\{a_n\}\)이 위의 조건을 만족할 때 \[\lim_{n\to\infty}a_n=a\text{ 또는 }n\to\infty\text{ 일 때 }a_n\to a\] 로 나타내고, a를 이 수열의 극한 또는 극한값 이라 한다. [예제 1] \(a_n=\frac{2n+1}{n}\) 일 때 수열 \(\{a_n\}\)의 극한은 2임을 보여라. 또, ε=0.01,  ε=0.001 에 대하여 각각 n≥N 일 때 \(|a_n-2|<\epsilon\)으로 되는 자연수 N을 구하여라. <풀이> \(a_n=\frac{2n+1}{n}=2+{1\over n}\)이고 임의의 양수 ε에 대하여 \(N>{1\over\epsilon}\)인 자연수 N을 취하면 n≥N인 자연수 n에 대하여 \(|a_n-2|={1\over n}\le{1\over N}<\epsilon\) 곧, \(\lim_{n\to\infty}a_n=2\) ε=0.01 일 때 \(N>{1\over0.01}=100\) 이므로 N=101, 또는 이보다 큰 정수. ε=0.001 일 때 \(N>{1\over0.001}=1000\) 이므로 N=1001, 또는 이보다 큰 정수. [예제 2] \(\lim_{n\to\infty}a_n=a,\,b_n=a_{n+p}\)(p는 정수이고, p≥1)일 때 \(\lim_{n\to\infty}b_