기계공학 (Mechanical Engineering)

\(x=\phi(t)\)라 둔다. 변수 \(t\)가 \(\alpha\)에서 \(\beta\)까지 변할 때 \(x=\phi(t)\)는 \(a\)에서 \(b\)까지 변한다고 하면 \[a=\phi(\alpha),\,b=\phi(\beta)\] 이다. 또 \(\phi(t)\)는 미분가능 이고, \(\phi'(t)\)도 연속 이라고 가정한다. 이 때 \[\int_a^bf(x)dx=\int_\alpha^\beta f\left\{\phi(t)\right\}\phi'(t)dt\] 이 성립한다. 이것이 정적분 에서의 치환적분법 의 공식이다. < 증명 > \(f(x)\)는 연속이라고 하자. \(\phi(t)\)는 미분가능이므로 연속이다. 따라서 \(f\left\{\phi(t)\right\}\)도 연속이다. 가정에 의해 \(\phi'(t)\)도 연속이므로 \(f\left\{\phi(t)\right\}\phi'(t)\)는 연속이다. 그리고 \(f(x)\)의 부정적분 을 \({\rm F}(x)\)라 하면 \[{\rm F}'(x)=f(x)\qquad\text{즉,}\ {\rm F}'\left\{\phi(t)\right\}=f\left\{\phi(t)\right\}\] 이므로 \[\frac{d{\rm F}\left\{\phi(t)\right\}}{dt}={\rm F}'\left\{\phi(t)\right\}\phi'(t)=f\left\{\phi(t)\right\}\phi'(t)\] 따라서 이것을 \(\alpha\)에서 \(\beta\)까지 적분하면 \[\int_\alpha^\beta f\left\{\phi(t)\right\}\phi'(t)dt=\left[{\rm F}\left\{\phi(t)\right\}\right]_\alpha^\beta={\rm F}\left\{\phi(\beta)\right\}-{\rm F}\left\{\phi(\alpha)\right\}={\rm F}(b)-{\rm F}(a...

\(f\)의 도함수 \(f'\)이 존재하고 연속 이면 곡선 \(y=f(x)\)를 매끄러운 곡선이라 한다. 정의 1 평면상의 두 곡선 \(y=f(x),\,y=g(x)\)에 대하여 \(x=c\)에서 \[f(c)=g(c),\,f'(c)=g'(c),\,f''(c)=g''(c),\,\cdots,\,f^{(n)}(c)=g^{(n)}(c),\,f^{(n+1)}(c)\ne g^{(n+1)}(c)\] 이면, 두 곡선은 n차 접촉(n次 接觸) 을 한다고 한다. 예를 들면, 곡선 \(y=f(x)\)가 매끄러운 곡선인 경우, 곡선 상의 점\((c,\,f(c))\)에서의 접선 \[y=g(x)=f'(c)(x-c)+f(c)\] 는 원래의 곡선과 1차 접촉을 한다. [ 예제 1 ] 포물선 \(x^2\)과 원 \(\displaystyle(x+4)^2+\left(y-{7\over2}\right)^2={125\over4}\)와는, 점\((1,\,1)\)에서 2차 접촉함을 보여라 < 풀이 > \(f(x)=x^2\)라 하면 \(f'(x)=2x,\,f''(x)=2\). 원의 방정식에서 정해지는 \(x\)의 함수 를 \(g(x)\)라 하면, \[x+4+\left\{g(x)-{7\over2}\right\}g'(x)=0\] 다시 \(x\)로 미분하면 \[1+g'(x)^2+\left\{g(x)-{7\over2}\right\}g''(x)=0\] 이다. 따라서 \[f(1)=g(1)=1,\,f'(1)=g'(1)=2,\,f''(1)=g''(1)=2\] 이므로 두 곡선은 \((1,\,1)\)에서 2차 접촉을 한다. 정의 2 \(f\)가 2회 미분가능이라 한다. 곡선 \(y=f(x)\)와 점\((c,\,f(c))\)에서 2차 접촉을 하는 원 \[(x-\xi)^2+(y-\eta)^2=r^2\] 을 곡선상의 점 \(P(c,\,f(c))\)에 대한 곡...

정리 1 함수 \(f(x)\)가 구간 \([a,\,b]\)에서 연속 일 때, \(f(x)\)의 부정적분 중 하나를 \({\rm F}(x)\)라 하면 \[\int_a^bf(x)dx={\rm F}(b)-{\rm F}(a)\] < 증명 > 정적분 정리 6에 의하면 \([a,\,b]\)에 속하는 임의의 \(x\)에 대하여 \(\int_a^xf(x)dx\)는 \(f(x)\)의 부정적분이다. \(f(x)\)의 두 부정적분의 차는 \(\rm C\) 이므로 \[\int_a^xf(x)dx={\rm F}(x)+{\rm C}\] 여기서 \(x=a\)라 두면 \(\int_a^af(x)dx=0\) 이므로 위의 식에 의해서 \[\begin{gather}\int_a^af(x)dx={\rm F}(a)+{\rm C}=0\\\therefore\ {\rm C}={\rm F}(a)\end{gather}\] 이것을 대입하면 \[\int_a^xf(x)dx={\rm F}(x)-{\rm F}(a)\] \(x=b\)를 대입하면 \[\int_a^bf(x)dx={\rm F}(b)-{\rm F}(a)\] 그런데 하나의 함수 \({\rm F}(x)\)에 있어서, 차 \({\rm F}(b)-{\rm F}(a)\)를 다음 기호 \[\left[{\rm F}(x)\right]_a^b={\rm F}(b)-{\rm F}(a)\] 로 나타내기로 한다. 이 기호를 사용하면 위의 정리 1의 결론은 \[\int_a^bf(x)dx=\left[{\rm F}(x)\right]_a^b\qquad{\rm F}(x)=\int f(x)dx\] 정리 1에 나타난 정적분의 계산법에 따라서 다음 정적분을 계산해 보자. \[\int_0^1\sqrt{x}dx=\left[{2\over3}x\sqrt{x}\right]_0^1={2\over3}\] [ 예제 1 ] 다음 정적분을 구하여라. (1) \(\displaystyle\int_0^1x^2dx=\left[{x^3\over3}\rig...

정의 1 (한 점에 대한 凹凸)  곡선 \(y=f(x)\)가 점 \((c,\,f(c))\)에서 접선을 갖는다고 하자. \(c\)의 근방 에서, 점 \((c,\,f(c))\)에서의 접선이 곡선 \(y=f(x)\)의 그래프 보다 위쪽 (또는 아래쪽)에 있으면, \(f(x)\)는 점 \((c,\,f(c))\)에서 위로 凸 (또는 아래로 凸 )이라 한다. 또한, \(y=f(x)\)의 그래프가 점 \((c,\,f(c))\)에서의 접선의 윗쪽에서 아래쪽으로 또는 아래쪽에서 윗쪽으로 옮겨질 때 점 \((c,\,f(c))\)를 변곡점(变曲点) 이라 한다. 정리 1 \(f\)는 \(a,\,b\)에서  미분가능 이라 하자. \(a,\,b\) 내의 한 점 \(c\)에서 \(f''(c)>0\ (f''(c)<0)\) 이면, 곡선 \(y=f(x)\)는 점 \((c,\,f(c))\)에서 아래로 凸(위로 凸) 이다. < 증명 >  점 \((c,\,f(c))\)에서의 접선의 방정식은 \(y=(x-c)f'(c)+f(c)\) 이다. 이 접선과 주어진 곡선 \(y=f(x)\)와의 함수차 \[F(x)=f(x)-\{(x-c)f'(c)+f(c)\}\] 를 생각하면, 평균치 정리 에 의해 \[F(x)-F(c)=(x-c)F'(\xi)\] 인 점 \(\xi\)가 \(c\)와 \(x\) 사이에 존재한다. 그런데 \(F(c)=0,\,F'(x)=f'(x)-f'(c)\) 이므로 \[F(x)=(x-c)\{f'(\xi)-f'(c)\}\] 이다. \(f''(c)>0\) 이면 \(f'(x)\)는 \(x=c\)에서 증가상태에 있으므로, \(c\)에 충분히 가까운 점 \(x\)에 대해서 \[\begin{gather}x>c\ \text{이면}\ x>\xi>c\ \text{에서}\ f'(\xi)>f'(c)...

UMTRI : University of Michigan Transportation Research Institute VUT : Vehicle Under Test (AEB) W/C : Wheel Center YAG : Yttrium Aluminium Garnet