기계공학 (Mechanical Engineering)

그림 1 함수 \({\rm F}(x,\,y)\)가 그림 1과 같은 직사각형의 영역 \(\rm D\), 즉 \[{\rm D}:a\le{x}\le b,\qquad c\le{y}\le d\] 가 주어져 있을 때, \(\rm D\)를 직선 \(y=k\)(상수)로 절단하여 절단된 선분을 \(\rm PQ\)라 하자. 이 선분 \(\rm PQ\) 위에서는 \(y\)가 상수이므로 \({\rm F}(x,\,y)\)는 \(x\)만의 함수가 된다. 여기서 \(y\)를 고정하여 \({\rm F}(x,\,y)\)를 \(a\)에서 \(b\)까지 적분 한 결과를 \[{\rm A}(y)=\int_a^b{\rm F}(x,\,y)dx\] 로 표시하고, 이것을 선분 \(\rm PQ\)를 따른 \({\rm F}(x,\,y)\)의 적분 이라 한다. 이 적분 \({\rm A}(y)\)의 값은 \(y\)의 값에 의하여 결정되므로 \({\rm A}(y)\)는 \(y\)의 함수 이다. 여기서, 이 함수 \({\rm A}(y)\)를 \(y\)에 관하여 \(c\)부터 \(d\)까지 적분하면 \[\int_c^d{\rm A}(y)dy=\int_c^d\left\{\int_a^b{\rm F}(x,\,y)dx\right\}\cdots(1)\] 가 얻어진다. 이것을 영역 \(\rm D\)에서 \({\rm F}(x,\,y)\)의 반복적분(反復積分 ; iterated integral) 이라 한다. 그림 2 영역 \(\rm D\)에서 \({\rm F}(x,\,y)\ge0\) 이라 하자. \(\rm D\)를 밑면으로 하는 기둥과 곡면 \(z={\rm F}(x,\,y)\)의 사이에 있는 입체와 직선 \(\rm PQ\)를 포함하며 \(xy\) 평면 에 수직인 평면과 교차하는 면적 을 \({\rm A}(y)\)로 두면 \({\rm A}(y)=\int_a^b{\rm F}(x,\,y)dx\)이다. 따라서 반복적분 \(\int_c^d{\rm A}(y)dy=\int_c^d\{\int_a^b{\rm F}(x,\,y)dx\}dy\)...

정의 1 공간내의 한 점 \(\rm O\)로부터 일차독립 인 3개의 벡터 \[e_1=\overrightarrow{\rm OE_1},\,e_2=\overrightarrow{\rm OE_2},\,e_3=\overrightarrow{\rm OE_3}\] 을 만들면, 임의의 벡터 \(\bf x\)는 \(e_1,\,e_2,\,e_3\)의 일차결합으로서 \[{\bf x}=xe_1+ye_2+ze_3\ (x,\,y,\,z\text{는 실수})\] 의 형으로 일의성으로 표현된다. 이 때 \(e_1,\,e_2,\,e_3\)을 공간의 기저(基底)벡터 또는 기저 라 부르고, \(\{e_1,\,e_2,\,e_3\}\)로 표현한다. \(x,\,y,\,z\)는 기저 \(\{e_1,\,e_2,\,e_3\}\)에 관한 벡터 \(\bf x\)의 성분(成分)이라 하고, \[{\bf x}=[x,\,y,\,z]\ \text{또는}\ {\bf x}=\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}\] 로 나타낸다. 특히 \(e_1,\,e_2,\,e_3\)가 서로 직교하는 단위벡터일 때, 이것을 보통 \({\bf i},\,{\bf j},\,{\bf k}\)로 쓰기로 하고, \(\{{\bf i},\,{\bf j},\,{\bf k}\}\)를 정규직교기저(正規直 交基底)라 한다. [ 주의 ] 기저는 항상 일차독립인 벡터의 짝으로 되어 있다. 평면의 경우는, 위 정의의 특별한 경우로서 정의된다. 단, 평면에 있어서 기저의 부호를 생각하여 다음과 같이 생각한다. 직교기저 \({\bf i},\,{\bf j}\)의 시점을 동일한 점 \(\rm O\)라 할 때, \(\bf i\)로부터 \(\bf j\)를 향하여 잰 각이 \(\pi/2\) 일 때, 이것을 정(正) 의 직교기저 라 하고, \(-\pi/2\) 일 때 부(負)의 직교기저 라 한다. 일반적으로, 일차독립이지만, 직교하지 않는 2개의 벡터에 대해서도, 같은 모양으로 기저의 부호를 구별할 수 있다. 공간의 경우에는 \({\bf i},\,...

2변수 \((x,\,y)\) 함수  \({\rm F}(x,\,y)={\rm F(P)}\)에서 \(\rm P\)는 좌표 \((x,\,y)\)를 갖는 \(xy\) 평면 위에 영역 \(\rm D\)가 있다 하자. \(\rm D\)를 여러 곡선으로 분할하여, 분할 \(\Delta\)에서 얻어지는 각 소영역에 번호를 붙여 \[{\rm D}_1,\,{\rm D}_2,\,\cdots,\,{\rm D}_i,\,\cdots,\,{\rm D}_n\] 이라 하자. 그림 1 각각의 소영역 \({\rm D}_i\) 내에서 임의의 점 \({\rm P}_1(x_1,\,y_1),\,{\rm P}_2(x_2,\,y_2),\,\cdots,\,{\rm P}_n(x_n,\,y_n)\)을 잡아 다음의 합 \[\begin{align}{\rm S}_n&=\sum_{i=1}^n{\rm F(P}_i)\Delta{\rm S}_i\\&={\rm F(P_1)\Delta S_1+F(P_2)\Delta S_2+\cdots+F(P}_n)\Delta{\rm S}_n\\&={\rm F}(x_1,\,y_1)\Delta{\rm S_1+F}(x_2,\,y_2)\Delta{\rm S_2+\cdots+F}(x_n,\,y_n)\Delta{\rm S}_n\end{align}\] 을 만들자. 여기서 \(\Delta{\rm S}_i\)는 각 소영역 \({\rm D}_i\)의 면적을 나타낸다. 이 분할을 \(\rm D_i\)의 면적이 0에 수렴하도록 세분할 때 합 \({\rm S}_n\)이 일정한 극한치 \(\rm S\)에 한없이 가까이 갈 때, 즉 \[{\rm S}=\lim_{n\to\infty}{\rm S}_n=\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^n{\rm F(P}_i)\Delta{\rm S}_i\] 일 경우, 함수 \({\rm F}(x,\,y)={\rm F(P)}\)는 영역 \(\rm D\)에서 적분가능(積分可能) 이다 라고 한다. 극한치 \(\rm S\)를 \[\iint_{\r...

1. 다음 각 곡선 및 직선으로 둘러싸인 부분의 넓이 를 구하여라. (1) \(a^2y=x^2(x+a)\) \((a>0)\) 및 \(x\)축 (2) \(y^2=4ax\) 및 \(x^2=4ay\) \((a>0)\) (3) \(y^2=4a(x+a)\) 및 \(y^2=4b(b-x)\) \((a,\,b>0)\) (4) \(x^2=4ay\) 및 \(y=\frac{8a^3}{x^2+4a^2}\) (5) \(y^2=(x-a)(x-b)^2\ (0<a<b)\) (6) \(y=x^2,\,y=x\) 및 \(y=2x\) (7) \(y=x\ln{1\over x}+(1-x)\ln{1\over1-x}\ (0\le{x}\le1)\) 및 \(x\)축 (8) \(ax^2+2hxy+by^2+c=0\ (ab-h^2>0,\,bc<0)\) (9) \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\) 상의 한 점을 \({\rm P}(x,\,y)\), 정점을 \(\rm A\)라 할 때 호 \(\rm AP\)와 \(\rm OA,\,OP\)로 싸인 부분 (10) \(16a^4y^2=b^2x^2(a^2-2ax)\ (a>0,\,b>0)\) (11) \(r=a(\sin^2\theta+\cos^2\theta)\) (12) \(r\cos\theta=a\cos2\theta\) (13) \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\) 및 \(\frac{x^2}{b^2}+\frac{y^2}{a^2}=1\ (a,\,b>0)\)의 공통부분 (14) \(r=a(1-\cos\theta),\,r=a(1+\cos\theta)\)의 공통부분 (15) 연주형 \(r^2=2a^2\cos2\theta\)의 내부에 있고 원 \(r=a\)의 외부에 있는 부분 (16) \(y^2(2a-x)=x^3\) 및 \(x^2+y^2=2ax\)로 싸인 3개의 유한 부분 <풀이> (1) 주어진 곡선은 \(x=-a\)와 \(x=0\)에서 \(x\)축과 만...

< 문제 > \(\rm ABCDEF\)는 정육면체이다. \(\rm BM=4,\,MR=2\) 일 때 \(\rm RH\)를 구하여라.   < 풀이 > \(\rm R\)로부터 \(\rm ME\) 상에 수선 \(\rm RG\)를 그리면 \(\rm\triangle MCB\)와 \(\rm\triangle MGR\)은 닮은 꼴이다. 주어진 조건으로부터 두 삼각형의 비율은 2:1 이고 \(\rm CB=L\)(한 변의 길이)로 두면 \(\rm RG=L/2\) 이다. 즉, 점 \(\rm R\)과 \(\rm D\)는 일치한다. 따라서 \(\rm RH=RB=6\) 이다.