기계공학 (Mechanical Engineering)

영역 \(\rm D\)에서의 2중적분 은 \(\rm D\) 위에서의 반복적분 과 같다. [예제 1] 다음의 2중적분을 구하여라. (1) \(\iint_{\rm D}xyds\qquad\quad\ {\rm D}:x^2+y^2\le a^2,\quad x\ge0,\ y\ge0\ (a>0)\) (2) \(\iint_{\rm D}\left({x\over a}+{y\over b}\right)ds\ \ {\rm D}:{x\over a}+{y\over b}\le1,\quad\ \ x\ge0,\ y\ge0\ (a,\,b>0)\) (3) \(\iint_{\rm D}(x^2+y^2)ds\ \ {\rm D}:x+y\le1,\qquad x\ge0,\,y\ge0\) <풀이> (1) \(\iint_{\rm D}xyds=\int_0^a\int_0^\sqrt{a^2-x^2}=\int_0^a\left[{xy^2\over2}\right]_{y=0}^{y=\sqrt{a^2-x^2}}dx={1\over2}\int_0^a(a^2-x^2)dx={1\over2}\left[{a^2x^2\over2}-{x^4\over4}\right]_0^a\)                          \(={a^4\over8}\) --- under construction ---

\(x\)와 \(y\)가 각각 \(u,\,v\)의 함수 \(x=g(u,\,v),\,y=h(u,\,v)\) 일 때 야코비언 행열식 (Jacobian) Determinant) \(J\)는 다음과 같다. \[J=\left|\begin{matrix}\frac{\partial x}{\partial u}&\frac{\partial x}{\partial v}\\\frac{\partial y}{\partial u}&\frac{\partial y}{\partial v}\end{matrix}\right|\] 독일 수학자 Carl Gustav Jacob의 이름을 딴 야코비언 행열식(혹은 야코비언)은 다중 치환적분 시에 사용된다. 이해를 쉽게하기 위해 단일변수의 미적분을 생각해 보자. 어떤 함수 \(f(x)\)의 적분 이 있고 \(x=g(u)\)로 치환할 경우 다음 식을 얻는다: \[\frac{\partial x}{\partial u}=g'(u)\] 이 식은 정리하면 \(dx=g'(u)du\) 이다. 이 식을 원 적분식에 대입하면: \[\int f(x)dx=\int f(g(u))g'(u)du\] 치환을 위해 곱해진 \(g'(u)\) 항은 본질적으로 다변수 미적분의 야코비언이다. 실제로 이중적분 의 치환도 이것과 비슷한 형태로 표현된다: \[\iint_Rf(x,\,y)dxdy=\iint_Sf(g(u,\,v),\,h(u,\,v))dudv\] 여기서 \(J(u,\,v)\)는 야코비언으로 알려진 그것이다. 야코비언 유도 (Jacobian Derivation) \(uv\) 좌표계의 미소면적 \(dudv\)가 좌표변환 을 통해 어떻게 \(xy\) 좌표계의 \(dxdy\)로 변환되는지 알아 본다. 아래 그림 왼쪽과 같이 각 변의 길이가 \(du\)와 \(dv\)로 이루어진 미소 사각형을 생각한다. 이 사각형은 두 개의 벡터항  \((du,\,0)\)와 \((0,\,dv)\)로 나타낼 수 있고 좌표변환을 통해 어떻게 이 벡터들이 \(xy\)...

 jerk n. 갑작스런 움직임

such that : to the extent that

conform to sth : ~을 따르다. comply with : ~을 준수하다.