기계공학 (Mechanical Engineering)

정의 1 함수 \(f\)가 점 \(c\)를 품은 개구간 에서 정의되어 있을 때, 충분히 작은 양수 \(\delta\)에 대하여, \(c\)의 \(\delta\) 근방 \((c-\delta,\,c+\delta)\)에서 \[f(x)<f(c)\ (f(x)>f(c))\] 이면, \(f\)는 \(x=c\)에서 극대(극소)가 된다고 하면 \(f(x)\)를 극대치 (極大値)( 극소치 (極小値))라 한다. 또한, 극대치와 극소치를 합쳐서 극치 (極値)라 한다. 정리 1 \(f\)는 \(c\)를 품는 개구간에서  미분가능 이라 하자. (1) \(f\)가 \(c\)에서 극치를 갖는다면, \(f'(c)=0\) 이다. (2) 적당한 양수 \(\delta\)에 대하여, \(c\)의 근방 \((c-\delta,\,c+\delta)\)에서 \[\begin{split}&c-\delta<x<c\ \text{일 때}\ f'(x)>0\ (f'(x)<0)\\&c<x<c+\delta\ \text{일 때}\ f'(x)<0\ (f'(x)>0)\end{split}\]이면, \(f\)는 \(c\)에서 극대(극소)가 된다. < 증명 > (1) \(f'(c)>0\) 이면, \(c\)에서 \(f\)는 증가상태, \(f'(c)<0\) 이면 \(c\)에서 \(f\)는 감소상태이므로 ( 「평균치의 정리와 그 응용」 정리 1), \(f\)는 \(c\)에서 극치를 가질 수 없다. 따라서, \(f\)가 \(c\)에서 극치를 갖는다면, \(f'(c)=0\) 이어야 한다. (2) \(f(x)\)는 \((c-\delta,\,c]\)에서 연속 이고, \((c-\delta,\,c)\)에서 \(f'(x)>0\) 이므로, 「평균치의 정리와 그 응용」 정리 5에 의해, \(f\)는 \((c-\delta,\,c]\)에서 ...

1. 다음 적분 을 계산하여라. \((1)\ \displaystyle\int\sqrt{3x+1}dx={2\over9}(3x+1)^{3\over2}\) \((2)\ \displaystyle\int x(x^2-2)^2dx=\frac{(x^2-2)^3}{6}\) \((3)\ \displaystyle\int(x^2-2)^2dx=\int(x^4-2x^2+4)dx={x^5\over5}-{2\over3}x^3+4x\) \((4)\ \displaystyle\int\frac{dx}{5-2x}=-\frac{\ln|5-2x|}{2}\) \((5)\ \displaystyle\int\frac{\sqrt{x}}{1+x\sqrt{x}}dx={2\over3}\int\frac{dt}{1+t}={2\over3}\ln(1+t)={2\over3}\ln\left(1+x^{3\over2}\right)\) \((6)\ \displaystyle\int\left(1-{1\over z}\right)^2\frac{dz}{z^2}=-\int(1-t)^2dt=\frac{(1-t)^3}{3}={1\over3}\left(1-{1\over z}\right)^3\) 2. 다음 적분을 계산하여라. \((1)\ \displaystyle\int\frac{\cos3x}{\sin3x}dx={1\over3}\int\frac{d(\sin3x)}{\sin3x}=\frac{\ln|\sin3x|}{3}\) \((2)\ \displaystyle\int2\sqrt{7t-13}dt={4\over21}(7t-13)^{3/2}\) \((3)\ \displaystyle\int(\ln{x}+1)e^{x\ln{x}}dx=\int(\ln{x}+1)x^xdx=\int dt=t=x^x\) \((4)\ \displaystyle\int\frac{5x-1}{5x^2-2x+1}dx={1\over2}\int\frac{(5x^2-2x+1)'}{5x^2-2x+1}dx=\frac{\ln(5x^2-2x+1)}{2}\) \((5)\ \displaystyle\i...

1. 함수  \(f(x)=\begin{cases}\dfrac{x}{1+e^{1\over x}}\ (x\ne0)\\\quad\ 0\quad\ \ \ (x=0)\end{cases}\)의 \(x=0\)에서의 연속성 과 미분가능성 을 조사하여라. < 풀이 > \(\displaystyle\lim_{x\to0}f(x)=\lim_{x\to0}\frac{x}{1+e^{1\over x}}=0=f(0)\) 이므로 \(x=0\)에서 연속이다. \(\displaystyle\lim_{x\to+0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim_{x\to+0}\frac{1}{1+e^{1\over x}}=0,\,\lim_{x\to-0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim_{x\to-0}\frac{1}{1+e^{1\over x}}=1\) 따라서 \(x=0\)에서 미분 불가능이다. 2. 다음 함수의 도함수를 구하여라. (1) \(\dfrac{x^3}{(1-x^2)^{3\over2}}\)                    (2) \(\dfrac{\sin{x}-x\cos{x}}{x\sin{x}+\cos{x}}\)          (3) \({\rm Sin}^{-1}\left(\dfrac{1-x}{1+x}\right)\) (4) \(\ln\dfrac{\sqrt{1+x^2}+\sqrt{2}x}{\sqrt{1+x^2}-\sqrt{2}x}\)     (5) \(e^{4^x}\)                               (6) \((\tan{x})^{\sin{x}}\) < 풀이 > (1) \(\left\{\dfrac{x^3}{(1-x^2)^{3\...

충돌 후 차량의 속도와 이상적인 탑승자의 속도를 고려하여 상대 변위에 따른 감속도의 기울기를 OLC( Occupant Load Criterion)로 정의한다. \[\begin{split}&V_v(t)=\int a_x(t)dt+V_o\\&\int_0^{t_1}V_odt=\int_0^{t_1}V_v(t)=0.065\\&\int_{t_1}^{t_2}\left\{V_o-OLC(t-t_1)\right\}dt=\int_{t_1}^{t_2}V_v(t)dt=0.235\\&V_o-OLC(t_2-t_1)=V_v(t_2)\\\\&V_v=\text{차량속도}\\&a_x=\text{차량 }x\text{방향 감가속도}\\&V_o=\text{초기속도}\\&t_1=\text{탑승자와 차량의 상대적 거리가 65mm에 도달하는 시점(자유운동)}\\&t_2=\text{자유운동 후 탑승자와 차량의 상대적 거리가 235mm에 도달하는 시점}\end{split}\]

무리함수를 적분 함에 있어서 적당한 치환 을 하여 유리함수의 적분 으로 변환시킨다. 아래에 적분할 수 있는 모양을 가진 무리함수를 나열한다. 여기서 \({\rm R}(u,\,v)\)는 \(u\)와 \(v\)에 관한 유리식을 나타내는 것으로 한다. [1] \(\displaystyle\int{\rm R}(x,\,\sqrt[n]{ax+b})dx\ (a\ne0)\) \(\sqrt[n]{ax+b}=t\)라 두면 \(x=\dfrac{t^n-b}{a},\,dx=\dfrac{n}{a}t^{n-1}dt\) 이므로 \(\displaystyle\int{\rm R}(x,\,\sqrt[n]{ax+b})dx=\int{\rm R}\left(\frac{t^n-b}{a},\,t\right){n\over a}t^{n-1}dt\) [2] \(\displaystyle\int{\rm R}\left(x,\,\sqrt[n]{\frac{ax+b}{cx+d}}\right)dx\ (ad-bc\ne0)\) \(\sqrt[n]{\dfrac{ax+b}{cx+d}}=t\)라 두면 \(x=\dfrac{dt^n-b}{-ct^n+a},\,dx=\dfrac{n(ad-bc)t^{n-1}}{(-ct^n+a)^2}dt\) 이므로 \(\displaystyle\int{\rm R}\left(x,\,\sqrt[n]{\frac{ax+b}{cx+d}}\right)dx=\int{\rm R}\left(\frac{dt^n-b}{-ct^n+a},\,t\right)\frac{n(ad-bc)t^{n-1}}{(-ct^n+a)^2}dt\) [ 예제 1 ] 다음 함수 를 적분하여라. (1) \(\dfrac{1}{(x-1)\sqrt{x+2}}\qquad\)(2) \(\sqrt{\dfrac{x-1}{2-x}}\) < 풀이 > (1) \(\sqrt{x+2}=t\)라 두면 \(x=t^2-2,\,dx=2tdt.\) \(\displaystyle\int\frac{dt}{(x-1)\sqrt{x+2}}=2\int\frac{dt}{t^2-3}={1\o...