이항정리

n이 양의 정수일 때
(a+b)n=r=0nnCranrbr=r=0n(nr)anrbr=(n0)an+(n1)an1b++(nr)anrbr++(nn)bn
여기서 nCr=(nr)은 n개에서 r개를 고르는 조합이다.

[증명] 이항계수의 항등식과 수학적 귀납법을 사용한다.
n=0 일 때 (a+b)0=1
n에 대해 성립한다고 가정한다.
(a+b)n+1=(a+b)(a+b)n=(a+b)r=0n(nr)anrbr=ar=0n(nr)anrbr+br=0n(nr)anrbr=r=0n(nr)anr+1br+r=1n+1(nr1)anr+1br=an+1+bn+1+r=1n{(nr)+(nr1)}anr+1br=an+1+bn+1+r=1n(n+1r)an+1rbr=r=0n+1an+1rbr

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