이항정리

n이 양의 정수일 때

\[\begin{align}(a+b)^n&=\sum_{r=0}^n{_nC_r}a^{n-r}b^r=\sum_{r=0}^n\begin{pmatrix}n\\r\end{pmatrix}a^{n-r}b^r\\&=\begin{pmatrix}n\\0\end{pmatrix}a^n+\begin{pmatrix}n\\1\end{pmatrix}a^{n-1}b+\cdots+\begin{pmatrix}n\\r\end{pmatrix}a^{n-r}b^r+\cdots+\begin{pmatrix}n\\n\end{pmatrix}b^n\end{align}\]

여기서 \(_nC_r=\begin{pmatrix}n\\r\end{pmatrix}\)은 n개에서 r개를 고르는 조합이다.

[증명] 이항계수의 항등식과 수학적 귀납법을 사용한다.
n=0 일 때 \((a+b)^0=1\)
n에 대해 성립한다고 가정한다.
\(\begin{split}(a+b)^{n+1}&=(a+b)(a+b)^n=(a+b)\sum_{r=0}^n\begin{pmatrix}n\\r\end{pmatrix}a^{n-r}b^r\\&=a\sum_{r=0}^n\begin{pmatrix}n\\r\end{pmatrix}a^{n-r}b^r+b\sum_{r=0}^n\begin{pmatrix}n\\r\end{pmatrix}a^{n-r}b^r\\&=\sum_{r=0}^n\begin{pmatrix}n\\r\end{pmatrix}a^{n-r+1}b^r+\sum_{r=1}^{n+1}\begin{pmatrix}n\\r-1\end{pmatrix}a^{n-r+1}b^r\\&=a^{n+1}+b^{n+1}+\sum_{r=1}^n\left\{\begin{pmatrix}n\\r\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}n\\r-1\end{pmatrix}\right\}a^{n-r+1}b^r\\&=a^{n+1}+b^{n+1}+\sum_{r=1}^n\begin{pmatrix}n+1\\r\end{pmatrix}a^{n+1-r}b^r\\&=\sum_{r=0}^{n+1}a^{n+1-r}b^r\end{split}\)