수열의 극한

수열

양의 정수의 집합을 N, 실수의 집합을 R이라 할 때 함수 f : N→R의 값을 차례로

$$f(1),f(2),\cdots ,f(n),\cdots$$

으로 배열한 것을 수열이라 한다. 양의 정수 n에 대하여 $f(n)=a_n$ 이라 할 때 수열을 $\{a_n\}$으로 나타낸다.

수열의 극한

수열 $\{a_n\}$에서 「n이 한없이 커질 때 $a_n$은 a에 한없이 가까와진다.」는 것은 임의의 양수 ε에 대하여 자연수 N이 존재해서 n≥N인 모든 자연수 n에 대하여

$$|a_n-a|<ϵ$$

인 것이다.

수열 $\{a_n\}$이 위의 조건을 만족할 때

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n=a\text{ 또는 }n\to \mathrm{\infty }\text{ 일 때 }{a}_n\to a$$

로 나타내고, a를 이 수열의 극한 또는 극한값이라 한다.

[예제 1] $a_n=\frac{2n+1}{n}$ 일 때 수열 $\{a_n\}$의 극한은 2임을 보여라. 또, ε=0.01, ε=0.001 에 대하여 각각 n≥N 일 때 $|a_n-2|<ϵ$으로 되는 자연수 N을 구하여라.

<풀이> $a_n=\frac{2n+1}{n}=2+\frac{1}{n}$이고 임의의 양수 ε에 대하여 $N>\frac{1}{ϵ}$인 자연수 N을 취하면
n≥N인 자연수 n에 대하여 $|a_n-2|=\frac{1}{n}\le \frac{1}{N}<ϵ$ 곧, $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n=2$

ε=0.01 일 때 $N>\frac{1}{0.01}=100$ 이므로 N=101, 또는 이보다 큰 정수.

ε=0.001 일 때 $N>\frac{1}{0.001}=1000$ 이므로 N=1001, 또는 이보다 큰 정수.

[예제 2] $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n=a,b_n=a_{n+p}$(p는 정수이고, p≥1)일 때 $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{b}_n=a$임을 증명하여라.

<증명> $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n=a$ 이므로 임의의 양수 ε에 대하여 자연수 N이 정해지고, n≥N인 자연수 n에 대하여 $|a_n-a|<ϵ$. 그런데 n+p>n≥N 이므로 $|b_n-a|=|a_{n+p}-a|<ϵ$. 따라서 $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{b}_n=a$.

[예제 3] r>1 이면 $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{r^n}=0$임을 증명하여라.

<증명> r=1+α(α>0) 이므로 이항정리에 의해
$r^n=(1+\alpha {)}^n{=}_n{C}_0{+}_n{C}_1\alpha {+}_n{C}_2{\alpha }^2+\cdots {+}_n{C}_n{\alpha }^n=1+n\alpha +\frac{n(n-1)}{2}{\alpha }^2+\cdots +a^n\ge 1+n\alpha >n\alpha$ 이므로

$\frac{1}{r^n}=\frac{1}{(1+\alpha {)}^n}\le \frac{1}{1+n\alpha }<\frac{1}{n\alpha }$. 따라서 $N>\frac{1}{\alpha ϵ}$인 자연수 N을 택하면 n≥N 일 때 $\frac{1}{r^n}<ϵ$. 곧, $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{r^n}=0$.

《문     제》

1. 다음 각 수열 $\{a_n\}$의 극한 a를 구하여라. 또 주어진 ε>0에 대하여 n≥N 이면 $|a_n-a|<ϵ$인 자연수 N의 범위를 구하여라.

(1) $a_n=\frac{2n+3}{n},ϵ=\frac{1}{2}$     (2) $a_n=\frac{1}{3}(1-\frac{1}{{10}^{n+1}}),ϵ=\frac{1}{30000}$

<풀이>
(1) $a_n=2+\frac{3}{n}$ 이므로 $N>\frac{3}{ϵ}$인 자연수 N을 택하면, n≥N인 임의의 자연수 n에 대하여 $|a_n-2|=\frac{3}{n}\le \frac{3}{N}<ϵ$. 따라서 $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n=2$. $\frac{3}{n}<ϵ=\frac{1}{2}$ 이면 n>6 이므로 N≥7.

(2) $a_n=\frac{1}{3}(1-\frac{1}{10\cdot {10}^n})$ 이므로 예제 3에 의하여 $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{{10}^n}=0$. 따라서 $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n=\frac{1}{3}$

$|a_n-\frac{1}{3}|=\frac{1}{30\cdot {10}^n}<ϵ$ 이면 $\frac{1}{30ϵ}<{10}^n$. 양변에 상용로그를 취하면 $\log \frac{1}{30ϵ}<n$.

$ϵ=\frac{1}{30000}$ 일 때 n>3 이므로 N≥4.

2. 수열 $\{a_n\}$에서 모든 n에 대하여 $a_n=k$ 이면 $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n=k$ 임을 증명하여라.

<증명> 임의의 양수 ε에 대하여 $|a_n-k|=0<ϵ$ 이므로 $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n=k$ 이다.

3. k가 일정한 양의 정수일 때 $a_n=\frac{1}{n^k}$로 정의된 수열 $\{a_n\}$의 극한은 0임을 증명하여라. 특히 k=2 일 때 ε=0.01로 하여 n≥N 이면 $|a_n|<ϵ$로 되는 자연수 N의 범위를 구하여라.

<증명> 임의의 ε>0에 대하여 $N>\sqrt[k]{{ϵ}^{-1}}$인 자연수 N을 택하면 n≥N 일 때 $|a_n|=\frac{1}{n^k}<ϵ$. 곧, $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n=0$. k=2 일 때 ε=0.01으로 하면 $n>\sqrt{100}$ 이므로 N≥11.