수열의 극한

수열

양의 정수의 집합을 N, 실수의 집합을 R이라 할 때 함수 f : N→R의 값을 차례로

\[f(1),\,f(2),\,\cdots,\,f(n),\,\cdots\]

으로 배열한 것을 수열이라 한다. 양의 정수 n에 대하여 \(f(n)=a_n\) 이라 할 때 수열을 \(\{a_n\}\)으로 나타낸다.

수열의 극한

수열 \(\{a_n\}\)에서 「n이 한없이 커질 때 \(a_n\)은 a에 한없이 가까와진다.」는 것은 임의의 양수 ε에 대하여 자연수 N이 존재해서 n≥N인 모든 자연수 n에 대하여

\[|a_n-a|<\epsilon\]

인 것이다.

수열 \(\{a_n\}\)이 위의 조건을 만족할 때

\[\lim_{n\to\infty}a_n=a\text{ 또는 }n\to\infty\text{ 일 때 }a_n\to a\]

로 나타내고, a를 이 수열의 극한 또는 극한값이라 한다.

[예제 1] \(a_n=\frac{2n+1}{n}\) 일 때 수열 \(\{a_n\}\)의 극한은 2임을 보여라. 또, ε=0.01, ε=0.001 에 대하여 각각 n≥N 일 때 \(|a_n-2|<\epsilon\)으로 되는 자연수 N을 구하여라.

<풀이> \(a_n=\frac{2n+1}{n}=2+{1\over n}\)이고 임의의 양수 ε에 대하여 \(N>{1\over\epsilon}\)인 자연수 N을 취하면
n≥N인 자연수 n에 대하여 \(|a_n-2|={1\over n}\le{1\over N}<\epsilon\) 곧, \(\lim_{n\to\infty}a_n=2\)

ε=0.01 일 때 \(N>{1\over0.01}=100\) 이므로 N=101, 또는 이보다 큰 정수.

ε=0.001 일 때 \(N>{1\over0.001}=1000\) 이므로 N=1001, 또는 이보다 큰 정수.

[예제 2] \(\lim_{n\to\infty}a_n=a,\,b_n=a_{n+p}\)(p는 정수이고, p≥1)일 때 \(\lim_{n\to\infty}b_n=a\)임을 증명하여라.

<증명> \(\lim_{n\to\infty}a_n=a\) 이므로 임의의 양수 ε에 대하여 자연수 N이 정해지고, n≥N인 자연수 n에 대하여 \(|a_n-a|<\epsilon\). 그런데 n+p>n≥N 이므로 \(|b_n-a|=|a_{n+p}-a|<\epsilon\). 따라서 \(\lim_{n\to\infty}b_n=a\).

[예제 3] r>1 이면 \(\lim_{n\to\infty}{1\over r^n}=0\)임을 증명하여라.

<증명> r=1+α(α>0) 이므로 이항정리에 의해
\(r^n=(1+\alpha)^n=_nC_0+_nC_1\alpha+_nC_2\alpha^2+\cdots+_nC_n\alpha^n=1+n\alpha+{n(n-1)\over2}\alpha^2+\cdots+a^n\ge1+n\alpha>n\alpha\) 이므로

\({1\over r^n}={1\over(1+\alpha)^n}\le{1\over1+n\alpha}<{1\over n\alpha}\). 따라서 \(N>{1\over\alpha\epsilon}\)인 자연수 N을 택하면 n≥N 일 때 \({1\over r^n}<\epsilon\). 곧, \(\lim_{n\to\infty}{1\over r^n}=0\).

《문     제》

1. 다음 각 수열 \(\{a_n\}\)의 극한 a를 구하여라. 또 주어진 ε>0에 대하여 n≥N 이면 \(|a_n-a|<\epsilon\)인 자연수 N의 범위를 구하여라.

(1) \(a_n={2n+3\over n},\,\epsilon={1\over2}\)     (2) \(a_n={1\over3}\left(1-{1\over10^{n+1}}\right),\,\epsilon={1\over30000}\)

<풀이>
(1) \(a_n=2+{3\over n}\) 이므로 \(N>{3\over\epsilon}\)인 자연수 N을 택하면, n≥N인 임의의 자연수 n에 대하여 \(|a_n-2|={3\over n}\le{3\over N}<\epsilon\). 따라서 \(\lim_{n\to\infty}a_n=2\). \({3\over n}<\epsilon={1\over2}\) 이면 n>6 이므로 N≥7.

(2) \(a_n={1\over3}\left(1-{1\over10\cdot10^n}\right)\) 이므로 예제 3에 의하여 \(\lim_{n\to\infty}{1\over10^n}=0\). 따라서 \(\lim_{n\to\infty}a_n={1\over3}\)

\(\left|a_n-{1\over3}\right|={1\over30\cdot10^n}<\epsilon\) 이면 \({1\over30\epsilon}<10^n\). 양변에 상용로그를 취하면 \(\log{1\over30\epsilon}<n\).

\(\epsilon={1\over30000}\) 일 때 n>3 이므로 N≥4.

2. 수열 \(\{a_n\}\)에서 모든 n에 대하여 \(a_n=k\) 이면 \(\lim_{n\to\infty}a_n=k\) 임을 증명하여라.

<증명> 임의의 양수 ε에 대하여 \(|a_n-k|=0<\epsilon\) 이므로 \(\lim_{n\to\infty}a_n=k\) 이다.

3. k가 일정한 양의 정수일 때 \(a_n={1\over n^k}\)로 정의된 수열 \(\{a_n\}\)의 극한은 0임을 증명하여라. 특히 k=2 일 때 ε=0.01로 하여 n≥N 이면 \(|a_n|<\epsilon\)로 되는 자연수 N의 범위를 구하여라.

<증명> 임의의 ε>0에 대하여 \(N>\sqrt[k]{\epsilon^{-1}}\)인 자연수 N을 택하면 n≥N 일 때 \(|a_n|={1\over n^k}<\epsilon\). 곧, \(\lim_{n\to\infty}a_n=0\). k=2 일 때 ε=0.01으로 하면 \(n>\sqrt{100}\) 이므로 N≥11.