x→∞일 때의 극한 (Limit when x→∞)
정의 1 . (x→∞일 때의 극한 ) f는 무한구간 (a, ∞)에서 정의된 함수 이다. 임의의 ε>0에 대하여 적당한 실수 M을 택할 때 x>M인 모든 x에 대하여 |f(x)-α|<ε 이면 x→ ∞ 일 때 f(x) → α 또는 \[\lim_{x\to\infty}f(x)=\alpha\] 로 쓰고, α를 x가 무한히 커질 때의 f(x)의 극한값이라 한다. 정리 1 . 무한구간 (a, ∞)에서 정의된 함수 f, g에 대하여 \[\lim_{x\to\infty}f(x)=\alpha,\,\lim_{x\to\infty}g(x)=\beta\]이면 \((1)\ \displaystyle\lim_{x\to\infty}\{f(x)+g(x)\}=\alpha+\beta,\) \((2)\ \displaystyle\lim_{x\to\infty}f(x)g(x)=\alpha\beta,\) \((3)\ \displaystyle\lim_{x\to\infty}\{f(x)-g(x)\}=\alpha-\beta,\) \((4)\ \displaystyle\lim_{x\to\infty}{f(x)\over{g(x)}}={\alpha\over\beta}(\text{단},\ \beta\ne0).\) 무한구간(-∞, a)에서 정의된 함수 f에 대하여 위와 같은 방법으로 \[\lim_{x\to-\infty}f(x)=\alpha\] 를 정의할 수 있고, 위의 같은 정리가 성립한다. 정의 2 . (극한 ∞, -∞) 함수 f는 0<|x-a|<r 인 x의 집합에서 정의되어 있다. 임의의 양수 M에 대하여 적당한 양수 δ가 존재하여 0<|x-a|<δ 인 모든 x에 대하여 f(x)>M 이면 x→a 일 때의 f(x)의 극한은 양의 무한대 라하고 기호로 \[\lim_{x\to a}f(x)=\infty\] 로 나타낸다. 또한, 0<|x-a|< δ 인 모든 x에 대하여 f(x)<-M 이면 x →a 일 때의 f(x)의 극한은 음의 무한대