x→∞일 때의 극한 (Limit when x→∞)

정의 1.   (x→∞일 때의 극한) f는 무한구간(a, ∞)에서 정의된 함수이다. 임의의 ε>0에 대하여 적당한 실수 M을 택할 때 x>M인 모든 x에 대하여 |f(x)-α|<ε 이면

x→∞ 일 때 f(x)→α

또는

$$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}f(x)=\alpha$$

로 쓰고, α를 x가 무한히 커질 때의 f(x)의 극한값이라 한다. 

정리 1.   무한구간 (a, ∞)에서 정의된 함수 f, g에 대하여 $$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}f(x)=\alpha ,\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}g(x)=\beta$$이면 $(1){\displaystyle \underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\{f(x)+g(x)\}=\alpha +\beta ,}$ $(2){\displaystyle \underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}f(x)g(x)=\alpha \beta ,}$ $(3){\displaystyle \underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\{f(x)-g(x)\}=\alpha -\beta ,}$ $(4){\displaystyle \underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{\alpha }{\beta }(\text{단},\beta \ne 0).}$

무한구간(-∞, a)에서 정의된 함수 f에 대하여 위와 같은 방법으로

$$\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}f(x)=\alpha$$

를 정의할 수 있고, 위의 같은 정리가 성립한다.

정의 2. (극한 ∞, -∞) 함수 f는 0<|x-a|<r 인 x의 집합에서 정의되어 있다. 임의의 양수 M에 대하여 적당한 양수 δ가 존재하여 0<|x-a|<δ 인 모든 x에 대하여 f(x)>M 이면 x→a 일 때의 f(x)의 극한은 양의 무한대라하고 기호로
$$\underset{x\to a}{lim}f(x)=\mathrm{\infty }$$
로 나타낸다.

또한, 0<|x-a|<δ 인 모든 x에 대하여 f(x)<-M 이면 x→a 일 때의 f(x)의 극한은 음의 무한대라 하고 기호로

$$\underset{x\to a}{lim}f(x)=-\mathrm{\infty }$$

로 나타낸다.

[예제 1]   함수 $f(x)=1/x^2$에 대하여 다음이 성립함을 증명하여라.
(1) ${\displaystyle \underset{x\to 0}{lim}f(x)=\mathrm{\infty },}$
(2) ${\displaystyle \underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}f(x)=0,\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}f(x)=0}$

<증명>

(1) 임의의 양수 M에 대하여 $\frac{1}{x^2}>M$ 이기 위해서는 $\frac{1}{\sqrt{M}}>|x|$ 이어야 한다.

그러므로 $\delta =\frac{1}{\sqrt{M}}$ 이라 하면 $0<|x|<\delta =\frac{1}{\sqrt{M}}$인 모든 x에 대하여 $f(x)=\frac{1}{x^2}>\frac{1}{{\delta }^2}=M$

${\displaystyle \therefore \underset{x\to 0}{lim}f(x)=\mathrm{\infty }}$

(2) 임의의 양수 ε에 대하여 $\frac{1}{x^2}<ϵ$ 이기 위해서는 $x>\frac{1}{\sqrt{ϵ}}$ 이어야 한다.

그러므로 $M=\frac{1}{\sqrt{ϵ}}$ 이라 하면 x>M 인 모든 x에 대하여 $|f(x)|=\frac{1}{x^2}<\frac{1}{M^2}=ϵ.$

${\displaystyle \therefore \underset{x\to 0}{lim}f(x)=\mathrm{\infty }.}$ 같은 방법으로 ${\displaystyle \underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}f(x)=0}$.

[예제 2]   함수 f(x)=1/x 에 대하여 다음을 증명하여라.
(1) ${\displaystyle \underset{x\to +0}{lim}f(x)=\mathrm{\infty },\underset{x\to -0}{lim}f(x)=-\mathrm{\infty }}$
(2) ${\displaystyle \underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}f(x)=0,\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}f(x)=0}$

<증명>

(1) 임의의 M>0에 대하여 $\delta =\frac{1}{M}$이라 하면

0<|x|<δ 일 때 $|f(x)|=\left|\frac{1}{x}\right|>\frac{1}{\delta }=M$. 따라서 이 δ에 대하여 0<x<δ 일 때 f(x)>M, -δ<x<0 일 때 f(x)<-M.

${\displaystyle \therefore \underset{x\to +0}{lim}f(x)=\mathrm{\infty },\underset{x\to -0}{lim}f(x)=-\mathrm{\infty }}$

(2) 임의의 ε>0에 대하여 $M=\frac{1}{ϵ}$ 이라 하면

|x|>M 인 임의의 x에 대하여 $|f(x)|=\left|\frac{1}{x}\right|<\frac{1}{M}=ϵ$. 곧, x>M 일 때 |f(x)|<ε, x<-M 일 때 |f(x)|<ε.

${\displaystyle \therefore \underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}f(x)=0,\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}f(x)=0}$

[예제 3]   ${\displaystyle \underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\sqrt{x}=\mathrm{\infty }}$ 임을 증명하여라.

<증명>   임의의 양수 M에 대하여 $N=M^2$이라 하면 x>N 인 임의의 x에 대하여 $\sqrt{x}>\sqrt{N}=M$. ${\displaystyle \therefore \underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\sqrt{x}=\mathrm{\infty }}$.

[예제 4]   ${\displaystyle \underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{x^2-2x+3}{5x^2+3x+1}=\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1-\frac{2}{x}+\frac{3}{x^2}}{5+\frac{3}{x}+\frac{1}{x^2}}=\frac{1}{5}}$.

[예제 5]   ${\displaystyle \underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}x\sin \frac{1}{x}=\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{\sin \frac{1}{x}}{\frac{1}{x}}=\underset{y\to 0}{lim}\frac{\sin y}{y}=1}$

[예제 6]  두 함수 f, g는 0<|x-a|<r 인 범위에서 f(x)≤g(x) 인 관계가 있다. 이 때 다음을 증명하여라.

$$\underset{x\to a}{lim}f(x)=\mathrm{\infty }\text{이면}\underset{x\to a}{lim}g(x)=\mathrm{\infty }$$

<증명>   가정에 의해 임의의 양수 M에 대하여 적당한 양수 δ가 존재하여 0<|x-a|<δ 일 때 f(x)>M 이다. 그런데 f(x)≤g(x) 이므로 g(x)>M. 곧, 임의의 양수 M에 대하여 양수 δ가 존재하여 0<|x-a|<δ 일 때 g(x)>M.

$${\displaystyle \therefore \underset{x\to a}{lim}g(x)=\mathrm{\infty }.}$$

[예제 7]   ${\displaystyle \underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}x\sin \frac{k}{x}}$를 구하여라(단, k는 실수).

<풀이>   $\frac{k}{x}=t$라 놓으면 x→∞ 일 때 t→0. 따라서

k=0 일 때 ${\displaystyle \underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}x\sin \frac{k}{x}=0=k}$,

k≠0 일 때 ${\displaystyle \underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}x\sin \frac{k}{x}=\underset{t\to 0}{lim}k\frac{\sin t}{t}=k}$

${\displaystyle \underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}x\sin \frac{k}{x}=k}$.

[예제 8]   $\begin{array}{rl}\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}(\sqrt{x^2+2x-3}-x+1)& =\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{4(x-1)}{\sqrt{x^2+2x-3}+x-1}\\ & =\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{4(1-\frac{1}{x})}{\sqrt{1+\frac{2}{x}-\frac{3}{x^2}}+1-\frac{1}{x}}=\frac{4}{2}=2.\end{array}$

《문      제》

다음 극한이 존재할 때에는 그 극한을 구하여라.

(1) ${\displaystyle \underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{2x+3}{5x+7}=\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{2+\frac{3}{x}}{5+\frac{7}{x}}=\frac{2}{5}}$

(2) ${\displaystyle \underset{z\to 0}{lim}\frac{4z^3+3z^2+2}{z^4+5z^2+1}=\underset{z\to 0}{lim}\frac{\frac{4}{z}+\frac{3}{z^2}+\frac{2}{z^4}}{1+\frac{5}{z^2}+\frac{1}{z^4}}=0}$

(3) ${\displaystyle \underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{\sin x}{x}=\underset{y\to 0}{lim}y\sin \frac{1}{y}=0}$

(4) ${\displaystyle \underset{t\to \mathrm{\infty }}{lim}(1-\cos t):|\cos t|\le 1\text{이므로}0\le |1-\cos t|\le 2.\therefore \text{극한값 없음}.}$

(5) ${\displaystyle \underset{t\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1-\cos t}{t}=\underset{t\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{t}\cdot \underset{t\to \mathrm{\infty }}{lim}(1-\cos t)=0}$

(6) ${\displaystyle \underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\sqrt{\frac{x^2-1}{x^2-x}}=\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\sqrt{\frac{1-\frac{1}{{}^2}}{1-\frac{1}{x}}}=1}$

(7) ${\displaystyle \underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\sqrt{\frac{2+3x}{1-5x}}:x\to \mathrm{\infty }\text{일 때}\frac{2+3x}{1-5x}\to -\frac{3}{5}.\therefore \text{극한값 없음.}}$

(8) $\begin{array}{rl}\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}(\sqrt{x^2+x+1}-\sqrt{x^2+1})& =\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{x}{\sqrt{x^2+x+1}+\sqrt{x^2+1}}\\ & =\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}}+\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}}=\frac{1}{2}\end{array}$

(9) $\begin{array}{rl}& \underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\{\sqrt{(x+a)(x+b)}-\sqrt{(x-a)(x-b)}\}\\ & =\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{2(a+b)x}{\sqrt{x^2+(a+b)x+ab}+\sqrt{x^2-(a+b)x+ab}}\\ & =\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{2(a+b)}{\sqrt{1+\frac{a+b}{x}+\frac{ab}{x^2}}+\sqrt{1-\frac{a+b}{x}+\frac{ab}{x^2}}}=a+b\end{array}$

(10) ${\displaystyle \underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{x}\cos kx=\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}kt\cos \frac{1}{t}=0}$