연속함수의 성질
연속함수 의 성질을 조사하기 전에 함수 에 관한 일반적인 정의를 살펴본다. 여기서의 함수는 실함수를 의미한다. 정의 1. (유계인 함수) 함수 f의 정의역을 \(D_f\), 치역을 \(R_f\)라 할 때 집합 \(R_f\)가 유계 이면 함수 f는 유계(有界)라 한다. 이것은 \(D_f\) 내의 모든 x에 대하여 |f(x)|≤M 인 양수 M이 존재한다는 뜻이다. [ 예제 1 ] 다음 함수의 유계성을 조사하여라. \[\begin{split}&(1)\ f(x)=x^2,\,D_f=(-\infty,\infty)\qquad\qquad\,(2)\ f(x)=x^2,\,D_f=(0,a),\,(a>0)\\&(3)\ f(x)={1\over x},\,D_f=(0,a),\,(a>0)\qquad(4)\ f(x)={1\over x},\,D_f=\left[{1\over2},3\right]\end{split}\] < 풀이 > (1) \(R_f=[0,\infty)\). ∴ 유계가 아니다. (2) f는 \(D_f=(0,a)\)에서 단조증가이므로 \(D_f\) 내의 모든 x에 대하여 f(0)<f(x)<f(a). ∴ 유계이다. (3) f는 \(D_f=(0,a)\)에서 단조감소이므로 \(D_f\) 내의 모든 x에 대하여 f(x)>f(a). 그런데 x→0 일 때 f(x) →∞ 이므로 \(R_f=(1/a,\infty)\). ∴ 유계가 아니다. (4) \(R_f=(1/3,2)\). ∴ 유계가 아니다. 정의 2. (함수의 최대값ㆍ최소값) 함수 f의 정의역을 \(D_f\), 치역을 \(R_f\)라 한다. \(D_f\) 내의 임의의 x에 대하여 f(x)≤f(a) 인 점 a가 \(D_f\) 내에 존재하면 f(a)=M을 f의 최대값 이라 한다. 또, \(D_f\) 내의 임의의 x에 대하여 f(x)≥f(b) 인 점 b가 \(D_f\) 내에 존재하면 f(b)=m을 f의 최소값 이라 한다. 함수 f의 치역을 \(R...