연속함수의 성질
정의 1. (유계인 함수) 함수 f의 정의역을 \(D_f\), 치역을 \(R_f\)라 할 때 집합 \(R_f\)가 유계이면 함수 f는 유계(有界)라 한다. 이것은 \(D_f\) 내의 모든 x에 대하여
|f(x)|≤M
인 양수 M이 존재한다는 뜻이다.
[예제 1] 다음 함수의 유계성을 조사하여라.
\[\begin{split}&(1)\ f(x)=x^2,\,D_f=(-\infty,\infty)\qquad\qquad\,(2)\ f(x)=x^2,\,D_f=(0,a),\,(a>0)\\&(3)\ f(x)={1\over x},\,D_f=(0,a),\,(a>0)\qquad(4)\ f(x)={1\over x},\,D_f=\left[{1\over2},3\right]\end{split}\]
함수 f의 치역을 \(R_f\)라 할 때 그 상한 \(\sup(R_f)\)를 \(\displaystyle\sup_{x\in D_f}f(x)\), 하한 \(\inf(R_f)\)를 \(\displaystyle\inf_{x\in D_f}f(x)\)로 나타낸다. 이제 연속함수의 특징을 나타내는 중요한 정리에 대해서 알아본다.
정리 2. 폐구간 [a, b]에서 연속인 함수를 f라 하면 f의 최대값, 최소값이 존재한다. 곧, 구간내의 임의의 x에 대하여 \(f(x_0)\le f(x)\le f(x_1)\) 인 \(x_0,x_1\)이 구간 [a, b]내에 존재한다. |
<증명> inf f(x)=m 이라 하면 [a, b] 내의 모든 x에 대하여 m≤f(x) 이고 \(f(x_0)=m\) 이다. 이제 \(x_0\)이 [a, b] 내에 속하지 않는다고 가정하자. 이 때 [a, b] 내의 모든 x에 대하여 f(x)>m 이므로
\[g(x)={1\over f(x)-m}\]
\[m+{1\over k}<f(x)\]
이것은 \(m+{1\over k}\)가 하계임을 뜻하므로 \(\displaystyle m=\inf_{x\in[a,b]}f(x)\)라는 가정에 모순이다. 그러므로 \(f(x_0)=m\)인 \(x_0\in[a,b]\)이 존재한다.
같은 방법으로 \(\displaystyle\sup_{x\in[a,b]}f(x)=M\)이라 하면 \(f(x_1)=M\)인 \(x_1\in[a,b]\)이 존재함을 증명할 수 있다.
정리 3. (중간값 정리) 폐구간 [a, b]에서 연속인 함수를 f라 할 때 f(a)f(b)<0 이면 \(f(x_0)=0\)인 \(x_0\)이 구간 (a, b)내에 적어도 하나 존재한다. |
또한 (3)이 성립한다고 가정하자. \(\epsilon_1={1\over2}f(x_0)\)이라 하면 f는 \(x_0\)에서 연속이므로
\[|x-x_0|<\delta_1\ \text{이고}\ a\le x\le b\ \text{이면}\ |f(x)-f(x_0)|<\epsilon_1\]
을 만족하는 양수 \(\delta_1\)이 존재한다. 이 때 \(x_0-\delta_1<x<x_0\)인 x에 대하여
\[f(x)>f(x_0)-\epsilon_1=f(x_0)-{1\over2}f(x_0)={1\over2}f(x_0)>0\]
그런데 \(x_0\)는 A의 상한이므로 \(x_0<x\le b\) 일 때 f(x)≥0. 따라서 \(x_0-\delta_1<x<x_0\) 일 때 f(x)≥0. 곧, x는 A에 속하지 않는다. 그러나 이것은 \(x_0\)이 A의 상한이라는 사실에 모순이므로 일어날 수 없다.
위의 결과로부터 (2)의 경우만 일어날 수 있다.
계 폐구간 [a, b]에서 연속인 함수를 g라 할 때 \[g(a)<k<g(b)\ \text{또는}\ g(a)>k>g(b)\] 인 임의의 실수 k에 대하여 \[g(x_0)=k\] 를 만족하는 \(x_0\)이 구간 (a, b) 내에 적어도 한 개 존재한다. |
[예제 2] n은 양의 정수, c>0 일 때 방정식 \(x_n=c\)는 단 한개의 양근을 가짐을 증명하여라.
<증명> \(f(x)=x^n\) 이라 두면 f는 x≥0 에서 연속이고 f(0)=0. 이항정리에 의하여
\[\begin{align}&f(c+1)=(1+c)^n=1+nc+{n(n-1)\over2}c^2+\cdots\\&\ge1+nc\ge1+c>c\end{align}\]
이므로 f(0)<c<f(c+1). 따라서 정리 3의 계에 의하여 \(f(x_0)=x^n=c\)인 \(x_0\)이 구간 (0, c+1)내에 적어도 한 개 존재한다. 한편 x>0 일 때 \(f(x)=x^n\)은 강한 의미의 증가함수이므로 f(x)=c의 양근은 단 한 개이다.
[예제 3] -1<c<1 일 때 구간 \([{\pi\over2},{3\pi\over2}]\)에서 sin x=c를 만족하는 x는 단 한 개 존재함을 증명하여라.
<증명> f(x)=sin x 라 하면 \(f({\pi\over2})=1\), \(f({3\pi\over2})\)에서 f는 연속이므로 정리 3의 계에 의하여 \(f(x_0)=\sin{x_0}=c\)인 \(x_0\)이 적어도 한 개 존재한다. 또한, f는 이 구간에서 단조감소이므로 \(x_0\)는 단 한 개이다.
<증명> f는 폐구간 [a,b]에서 연속이므로 가정과 정리 2에 의하여
\[\displaystyle\begin{align}&\text{최소값}\ m=\inf_{x\in[a,b]}f(x)=f(x_0),\,x_0\in[a,b]\\&\text{최대값}\ M=\sup_{x\in[a,b]}f(x)=f(x_1),\,x_1\in[a,b]\end{align}\]
이 존재한다. 따라서 x∈[a,b] 일 때 항상 m≤f(x)≤M. 곧, \(R_f\subset[m,M]\cdots(1)\)
역으로 y∈[m,M] 일 때 중간값 정리에 의하여 f(x)=y, x∈[a,b]인 점 x가 존재하므로 \(y\in R_f\) 곧, \([m,M]\subset R_f\cdots(2)\)
(1), (2)에서 \(R_f=[m,M]\).
《문 제》
<풀이>
(1) (a) [-2, 1/4] (b) 1/4 (c) -2, (2) (a) [0, 2] (b) 2 (c) 0, (3) (a) [-2, 4] (b) 4 (c) 0
<증명> 가정에 의해 [a, b] 내의 모든 x에 대하여 M≥f(x) 이다. \(x_1\)이 [a, b] 내에 속하지 않는다고 가정하자. 이 때 f(x)<M 이므로
\[g(x)={1\over f(x)-M}\]
로 정의된 함수 g는 [a, b]에서 연속이다. 정리 1에 의하여 g는 유계이다. 따라서 a≤x≤b 일 때 -k<g(x)<0 인 양수 k가 존재한다. 곧,
\[-{1\over k}<{1\over g(x)}=f(x)-M\]
따라서 구간 [a, b] 내의 모든 x에 대하여
\[M-{1\over k}<f(x)\]
이것은 M-1/k가 한 상계임을 뜻하므로 가정에 모순이다. 그러므로 \(f(x_1)=M\) 인 \(x_1\in[a, b]\)이 존재한다.
3. 정리 3의 증명에서 「f(a)>0, f(b)<0」인 경우를 증명하여라.
<증명> A={x|x∈[a, b], f(x)>0} 이라 하면 실수의 완비성에 의하여 A의 상한 \(\sup{A}=x_0(\le b)\)이 존재한다. 이 \(x_0\)에 대하여 다음 세 경우를 생각할 수 있고, 여기서 (1), (3)은 일어날 수 없음을 증명한다.
\[\begin{split}&(1)\ f(x_0)<0\\&(2)\ f(x_0)=0\\&(3)\ f(x_0)>0\end{split}\]
만약 (1)이 성립한다고 가정하면 f는 \(x_0\)에서 연속이므로 \(\epsilon_0=-{1\over2}f(x_0)\) 이라 하면
\[|x-x_0|<\delta_0\ \text{이고}\ a\le x\le b\ \text{이면}\ |f(x)-f(x_0)|<\epsilon_0\]
을 만족하는 양수 \(\delta_0\)이 존재한다. 이 때 \(x_0-\delta_0<x<x_0\)인 x에 대하여
\[f(x)>f(x_0)-\epsilon_0=f(x_0)+{1\over2}f(x_0)={3\over2}f(x_0)(<0)\]
그런데 \(x_0-\delta_0<x<x_0\)를 만족하는 x는 A에 속하지 않으면 안된다. 그러나 이것은 \({3\over2}f(x_0)<f(x)\le0\) 일 때 x가 A에 속하지 않아 모순이므로 일어날 수 없다.
또한 (3)이 성립한다고 가정하자. \(\epsilon_1={1\over2}f(x_0)\)이라 하면 f는 \(x_0\)에서 연속이므로
\[|x-x_0|<\delta_1\ \text{이고}\ a\le x\le b\ \text{이면}\ |f(x)-f(x_0)|<\epsilon_1\]
을 만족하는 양수 \(\delta_1\)이 존재한다. 이 때 \(x_0<x<x_0+\delta_1\)인 x에 대하여
\[f(x)<f(x_0)+\epsilon_1=f(x_0)+{1\over2}f(x_0)={3\over2}f(x_0)(>0)\]
그런데 \(x_0\)는 A의 상한이므로 \(x_0<x\le b\) 일 때 f(x)≤0. 따라서 \(x_0<x<x_0+\delta_1\) 이고 \(0\le f(x)<{3\over2}f(x_0)\) 일 때 x는 A에 속하지 않아 모순이므로 일어날 수 없다. 위의 결과로부터 (2)의 경우만 일어날 수 있다.
4. 정리 3의 증명은 다음과 같이 할 수 있다.
(1) a와 b의 중점 \({a+b\over2}\)를 택ㅎ한다. \(f({a+b\over2})=0\) 일 때에는 \(x_0={a+b\over 2}\)라 한다.
(2) \(f({a+b\over2})\cdot f(a)<0\) 이면 \({a+b\over2}=b_1\)로 하여 \([a,b_1]\)에서 생각한다.
\(f({a+b\over2})\cdot f(b)<0\) 이면 \({a+b\over2}=a_1\)로 하여 \([a_1,b]\)에서 생각한다.
이들의 구간은 어느 경우에나 \([a_1,b_1]\)로 쓰기로 한다. 이 때
\[a_1<b_1,\,b_1-a_1={1\over2}(b-a)\]
(3) \([a_1,b_1]\)에서 (2)와 같은 시행을 조작하여 새로이 만든 구간을 \([a_2,b_2]\)로 쓴다. 이 때
\[\begin{split}&a\le a_1\le a_2,\,b_2\le b_1\le b\\&a_2<b_2,\,b_2-a_2={1\over2}(b_1-a_1)=\left({1\over2}\right)^2(b-a)\end{split}\]
(4) 이와 같은 시행을 계속하여 구간의 양끝을 나타낸는 수열
\[a,\,a_1,\,a_2,\,\cdots,\,a_n\ \text{및}\ b,\,b_1,\,b_2,\,\cdots,\,b_n,\,\cdots\]
을 얻을 수 있다. 이 때
\[\begin{split}&a\le a_1\le a_2\le\cdots\le a_n\le\cdots\le b_n\le\cdots\le b_2\le b_1\le b\\&a_n<b_n,\,b_n-a_n=\left(1\over2\right)^n(b-a)\end{split}\]
여기서 다음을 증명하여라.
\[\begin{split}&(a)\ \lim_{n\to\infty}a_n\text{이 존재한다.}\\&(b)\ \lim_{n\to\infty}b_n\text{이 존재한다.}\\&(c)\ \lim_{n\to\infty}a_n=\lim_{n\to\infty}b_n\\&(d)\ \lim_{n\to\infty}a_n=x_0\ \text{이라 하면}\ f(x_0)=0\end{split}\]
<증명>
(a) 수열 \(\left\{a_n\right\}\)은 \(a\le a_n\le b\) 이므로 유계이다. 또한 \(a_{n+1}\ge a_n\) 이므로 단조증가이다. 따라서 수열 \(\left\{a_n\right\}\)은 수렴한다.
(b) 수열 \(\left\{b_n\right\}\)은 \(a\le b_n\le b\) 이므로 유계이다. 또한 \(b_{n+1}\ge b_n\) 이므로 단조증가이다. 따라서 수열 \(\left\{b_n\right\}\)은 수렴한다.
(c) \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}(b_n-a_n)=\lim_{n\to\infty}b_n-\lim_{n\to\infty}a_n=\lim_{n\to\infty}\left({1\over2}\right)^n(b-a)=0.\ \therefore\ \lim_{n\to\infty}a_n=\lim_{n\to\infty}b_n\)
(d) f(a)<0, f(b)>0 이면 \(f(a_n)<f(x_0)<f(b_n)\)이다.
n→∞ 일 때 \(a_n,b_n\to x_0\) 이고 \(f(a_n)<0,\,f(b_n)>0\) 이므로 \(f(x_0)=0.\)
f(a)>0, f(b)<0 이면 \(f(a_n)>f(x_0)>f(b_n)\)이다.
n→∞ 일 때 \(a_n,b_n\to x_0\) 이고 \(f(a_n)>0,\,f(b_n)<0\) 이므로 \(f(x_0)=0.\)
5. 함수 f가 구간 [a, b]에서 연속이면 |f(x)|는 [a, b]에서 최대값을 가지므로 그것을 ∥f∥로 나타내기로 한다. f, g는 [a, b]에서 연속함수, k는 임의의 실수라 할 때 다음 (1), (2), (3)이 성립함을 보여라.
(1) ∥kf∥=|k|∥f∥
(2) ∥f∥=0 인 것은 [a, b] 내의 모든 x에 대하여 f(x)=0 일 때 뿐이다.
(3) ∥f+g∥≤∥f∥+∥g∥
(4) ∥fg∥=∥f∥∥g∥
<증명>
(1) |kf(x)|=|k||f(x)|≤|k|∥f∥=∥kf∥
(2) 0≤|f(x)|≤∥f∥=0 이기 위해서는 f(x)=0
(3) |f(x)+g(x)|≤∥f+g∥≤|f(x)|+|g(x)|≤∥f∥+∥g∥
(4) |f(x)g(x)|=|f(x)||g(x)|≤∥fg∥=∥f∥∥g∥
6. f가 연속함수이고, 어떤 점 \(x_0\)에 대하여 \(f(x_0)\ne0\) 이면 \(x_0\)의 적당한 근방 \((x_0-\delta,x_0+\delta)\)에서 \(f(x)\)와 \(f(x_0)\)의 부호가 같도록 양수 δ를 정할 수 있음을 증명하여라.
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