연속함수의 성질

연속함수의 성질을 조사하기 전에 함수에 관한 일반적인 정의를 살펴본다. 여기서의 함수는 실함수를 의미한다.

정의 1. (유계인 함수) 함수 f의 정의역을 $D_f$, 치역을 $R_f$라 할 때 집합 $R_f$가 유계이면 함수 f는 유계(有界)라 한다. 이것은 $D_f$ 내의 모든 x에 대하여

|f(x)|≤M

인 양수 M이 존재한다는 뜻이다.

[예제 1] 다음 함수의 유계성을 조사하여라.

$$\begin{array}{rl}& (1)f(x)=x^2,D_f=(-\mathrm{\infty },\mathrm{\infty })(2)f(x)=x^2,D_f=(0,a),(a>0)\\ & (3)f(x)=\frac{1}{x},D_f=(0,a),(a>0)(4)f(x)=\frac{1}{x},D_f=[\frac{1}{2},3]\end{array}$$

<풀이>

(1) $R_f=[0,\mathrm{\infty })$. ∴ 유계가 아니다.

(2) f는 $D_f=(0,a)$에서 단조증가이므로 $D_f$ 내의 모든 x에 대하여 f(0)<f(x)<f(a). ∴ 유계이다.

(3) f는 $D_f=(0,a)$에서 단조감소이므로 $D_f$ 내의 모든 x에 대하여 f(x)>f(a). 그런데 x→0  일 때 f(x)→∞ 이므로 $R_f=(1/a,\mathrm{\infty })$. ∴ 유계가 아니다.

(4) $R_f=(1/3,2)$. ∴ 유계가 아니다.

정의 2. (함수의 최대값ㆍ최소값) 함수 f의 정의역을 $D_f$, 치역을 $R_f$라 한다. $D_f$ 내의 임의의 x에 대하여

f(x)≤f(a)

인 점 a가 $D_f$ 내에 존재하면 f(a)=M을 f의 최대값이라 한다.

또, $D_f$ 내의 임의의 x에 대하여

f(x)≥f(b)

인 점 b가 $D_f$ 내에 존재하면 f(b)=m을 f의 최소값이라 한다.

함수 f의 치역을 $R_f$라 할 때 그 상한 $sup(R_f)$를 ${\displaystyle \underset{x\in D_f}{sup}f(x)}$, 하한 $inf(R_f)$를 ${\displaystyle \underset{x\in D_f}{inf}f(x)}$로 나타낸다. 이제 연속함수의 특징을 나타내는 중요한 정리에 대해서 알아본다.

정리 1. 폐구간 [a, b]에서 연속인 함수 f는 유계이다.

정리 2. 폐구간 [a, b]에서 연속인 함수를 f라 하면 f의 최대값, 최소값이 존재한다. 곧, 구간내의 임의의 x에 대하여 $f(x_0)\le f(x)\le f(x_1)$ 인 $x_0,x_1$이 구간 [a, b]내에 존재한다.

<증명> inf f(x)=m 이라 하면 [a, b] 내의 모든 x에 대하여 m≤f(x) 이고 $f(x_0)=m$ 이다. 이제 $x_0$이 [a, b] 내에 속하지 않는다고 가정하자. 이 때 [a, b] 내의 모든 x에 대하여 f(x)>m 이므로

$$g(x)=\frac{1}{f(x)-m}$$

로 정의된 함수 g는 [a, b]에서 연속이다. 정리 1에 의하여 g는 유계이다. 따라서 a≤x≤b 일 때 0<g(x)<k인 양수 k가 존재한다. 곧,

$$m+\frac{1}{k}<f(x)$$

이것은 $m+\frac{1}{k}$가 하계임을 뜻하므로 ${\displaystyle m=\underset{x\in [a,b]}{inf}f(x)}$라는 가정에 모순이다. 그러므로 $f(x_0)=m$인 $x_0\in [a,b]$이 존재한다.

같은 방법으로 ${\displaystyle \underset{x\in [a,b]}{sup}f(x)=M}$이라 하면 $f(x_1)=M$인 $x_1\in [a,b]$이 존재함을 증명할 수 있다.

정리 3. (중간값 정리) 폐구간 [a, b]에서 연속인 함수를 f라 할 때 f(a)f(b)<0 이면 $f(x_0)=0$인 $x_0$이 구간 (a, b)내에 적어도 하나 존재한다.

<증명> f(a)<0, f(b)>0 인 경우에 대하여 증명해 본다.

A={x|x∈[a, b], f(x)<0} 이라 하면 실수의 완비성에 의하여 A의 상한 $supA=x_0(\le b)$이 존재한다. 이 x_0에 대하여 다음 세 경우를 생각할 수 있고 여기서 (1), (3)은 일어날 수 없음을 증명한다.

$$\begin{array}{rl}& (1)f(x_0)<0\\ & (2)f(x_0)=0\\ & (3)f(x_0)>0\end{array}$$

만약 (1)이 성립한다고 가정하면 f는 $x_0$에서 연속이므로 양수 ${ϵ}_0=min\{-\frac{1}{2}f(x_0),\frac{1}{2}f(b)\}$라 하면

$$|x-x_0|<{\delta }_0\text{이고}a\le x\le b\text{이면}|f(x)-f(x_0)|<{ϵ}_0$$

을 만족하는 양수 ${\delta }_0$이 존재한다. 이 때 $x_0<x<x_0+{\delta }_0$인 x에 대하여

$$f(x)<f(x_0)+{ϵ}_0\le f(x_0)-\frac{1}{2}f(x_0)=\frac{1}{2}f(x_0)<0$$

이므로 $x_0<x<x_0+{\delta }_0$을 만족하는 x는 A에 속하지 않으면 안된다. 그러나 이것은 $x_0$이 A의 상한이라는 사실에 모순이므로 일어날 수 없다.

또한 (3)이 성립한다고 가정하자. ${ϵ}_1=\frac{1}{2}f(x_0)$이라 하면 f는 $x_0$에서 연속이므로

$$|x-x_0|<{\delta }_1\text{이고}a\le x\le b\text{이면}|f(x)-f(x_0)|<{ϵ}_1$$

을 만족하는 양수 ${\delta }_1$이 존재한다. 이 때 $x_0-{\delta }_1<x<x_0$인 x에 대하여

$$f(x)>f(x_0)-{ϵ}_1=f(x_0)-\frac{1}{2}f(x_0)=\frac{1}{2}f(x_0)>0$$

그런데 $x_0$는 A의 상한이므로 $x_0<x\le b$ 일 때 f(x)≥0. 따라서 $x_0-{\delta }_1<x<x_0$ 일 때 f(x)≥0. 곧, x는 A에 속하지 않는다. 그러나 이것은 $x_0$이 A의 상한이라는 사실에 모순이므로 일어날 수 없다.

위의 결과로부터 (2)의 경우만 일어날 수 있다.

계   폐구간 [a, b]에서 연속인 함수를 g라 할 때 $$g(a)<k<g(b)\text{또는}g(a)>k>g(b)$$ 인 임의의 실수 k에 대하여 $$g(x_0)=k$$ 를 만족하는 $x_0$이 구간 (a, b) 내에 적어도 한 개 존재한다.

[예제 2] n은 양의 정수, c>0 일 때 방정식 $x_n=c$는 단 한개의 양근을 가짐을 증명하여라.

<증명> $f(x)=x^n$ 이라 두면 f는 x≥0 에서 연속이고 f(0)=0. 이항정리에 의하여

$$\begin{array}{rl}& f(c+1)=(1+c{)}^n=1+nc+\frac{n(n-1)}{2}{c}^2+\cdots \\ & \ge 1+nc\ge 1+c>c\end{array}$$

이므로 f(0)<c<f(c+1). 따라서 정리 3의 계에 의하여 $f(x_0)=x^n=c$인 $x_0$이 구간 (0, c+1)내에 적어도 한 개 존재한다. 한편 x>0 일 때 $f(x)=x^n$은 강한 의미의 증가함수이므로 f(x)=c의 양근은 단 한 개이다.

[예제 3] -1<c<1 일 때 구간 $[\frac{\pi }{2},\frac{3\pi }{2}]$에서 sin x=c를 만족하는 x는 단 한 개 존재함을 증명하여라.

<증명> f(x)=sin x 라 하면 $f(\frac{\pi }{2})=1$, $f(\frac{3\pi }{2})$에서 f는 연속이므로 정리 3의 계에 의하여 $f(x_0)=\sin x_0=c$인 $x_0$이 적어도 한 개 존재한다. 또한, f는 이 구간에서 단조감소이므로 $x_0$는 단 한 개이다.

[예제 4] 연속함수 f의 정의역 $D_f$가 폐구간이면 그 치역 $R_f$도 폐구간이다. 곧, $D_f=[a,b]$ 이면 $R_f=[m,M]$. 단, ${\displaystyle m=\underset{x\in [a,b]}{inf}f(x),M=\underset{x\in [a,b]}{sup}f(x)}$임을 증명하여라.

<증명> f는 폐구간 [a,b]에서 연속이므로 가정과 정리 2에 의하여

$${\displaystyle \begin{array}{rl}& \text{최소값}m=\underset{x\in [a,b]}{inf}f(x)=f(x_0),x_0\in [a,b]\\ & \text{최대값}M=\underset{x\in [a,b]}{sup}f(x)=f(x_1),x_1\in [a,b]\end{array}}$$

이 존재한다. 따라서 x∈[a,b] 일 때 항상 m≤f(x)≤M. 곧, $R_f\subset [m,M]\cdots (1)$

역으로 y∈[m,M] 일 때 중간값 정리에 의하여 f(x)=y, x∈[a,b]인 점 x가 존재하므로 $y\in R_f$ 곧, $[m,M]\subset R_f\cdots (2)$

(1), (2)에서 $R_f=[m,M]$.

《문     제》

1. 다음 각 함수의 그래프를 그리고

(a) 치역     (b) 최대값     (c) 최소값

을 구하여라.

$\begin{array}{rl}& (1)f(x)=x-x^2,-1\le x\le 1\\ & (2)f(x)=x+|x|,-1\le x\le 1\\ & (3)f(x)=|x^2-4|,-2\le x\le 1\\ & (4)f(x)=2+\sin x,0\le x\le 2\pi \\ & (5)f(x)=\sin x+\cos x,0\le x\le \pi \\ & (6)f(x)=x+\frac{1}{x},\frac{1}{4}\le |x|\le 2,x\ne 0\end{array}$

<풀이>
(1) (a) [-2, 1/4] (b) 1/4 (c) -2, (2) (a) [0, 2] (b) 2 (c) 0, (3) (a) [-2, 4] (b) 4 (c) 0

(4) (a) [1, 3] (b) 3 (c) 1, (5) (a) [-1, √2] (b) √2 (c) -1, (6) [-17/4, -2]∪[2, 17/4] (b) 17/4 (c) -17/4

2. 정리 2의 증명에서

$${\displaystyle \underset{x\in [a,b]}{sup}f(x)=M\text{이라 하면}f(x_1)=M\text{인}{x}_1\in [a,b]\text{가 존재한다}.}$$

를 증명하여라.

<증명> 가정에 의해 [a, b] 내의 모든 x에 대하여 M≥f(x) 이다. $x_1$이 [a, b] 내에 속하지 않는다고 가정하자. 이 때 f(x)<M 이므로

$$g(x)=\frac{1}{f(x)-M}$$

로 정의된 함수 g는 [a, b]에서 연속이다. 정리 1에 의하여 g는 유계이다. 따라서 a≤x≤b 일 때 -k<g(x)<0 인 양수 k가 존재한다. 곧,

$$-\frac{1}{k}<\frac{1}{g(x)}=f(x)-M$$

따라서 구간 [a, b] 내의 모든 x에 대하여

$$M-\frac{1}{k}<f(x)$$

이것은 M-1/k가 한 상계임을 뜻하므로 가정에 모순이다. 그러므로 $f(x_1)=M$ 인 $x_1\in [a,b]$이 존재한다.

3. 정리 3의 증명에서 「f(a)>0, f(b)<0」인 경우를 증명하여라.

<증명> A={x|x∈[a, b], f(x)>0} 이라 하면 실수의 완비성에 의하여 A의 상한 $supA=x_0(\le b)$이 존재한다. 이 $x_0$에 대하여 다음 세 경우를 생각할 수 있고, 여기서 (1), (3)은 일어날 수 없음을 증명한다.

$$\begin{array}{rl}& (1)f(x_0)<0\\ & (2)f(x_0)=0\\ & (3)f(x_0)>0\end{array}$$

만약 (1)이 성립한다고 가정하면 f는 $x_0$에서 연속이므로 ${ϵ}_0=-\frac{1}{2}f(x_0)$ 이라 하면
$$|x-x_0|<{\delta }_0\text{이고}a\le x\le b\text{이면}|f(x)-f(x_0)|<{ϵ}_0$$
을 만족하는 양수 ${\delta }_0$이 존재한다. 이 때 $x_0-{\delta }_0<x<x_0$인 x에 대하여
$$f(x)>f(x_0)-{ϵ}_0=f(x_0)+\frac{1}{2}f(x_0)=\frac{3}{2}f(x_0)(<0)$$
그런데 $x_0-{\delta }_0<x<x_0$를 만족하는 x는 A에 속하지 않으면 안된다. 그러나 이것은 $\frac{3}{2}f(x_0)<f(x)\le 0$ 일 때 x가 A에 속하지 않아 모순이므로 일어날 수 없다.

또한 (3)이 성립한다고 가정하자. ${ϵ}_1=\frac{1}{2}f(x_0)$이라 하면 f는 $x_0$에서 연속이므로
$$|x-x_0|<{\delta }_1\text{이고}a\le x\le b\text{이면}|f(x)-f(x_0)|<{ϵ}_1$$
을 만족하는 양수 ${\delta }_1$이 존재한다. 이 때 $x_0<x<x_0+{\delta }_1$인 x에 대하여
$$f(x)<f(x_0)+{ϵ}_1=f(x_0)+\frac{1}{2}f(x_0)=\frac{3}{2}f(x_0)(>0)$$
그런데 $x_0$는 A의 상한이므로 $x_0<x\le b$ 일 때 f(x)≤0. 따라서 $x_0<x<x_0+{\delta }_1$ 이고 $0\le f(x)<\frac{3}{2}f(x_0)$ 일 때 x는 A에 속하지 않아 모순이므로 일어날 수 없다. 위의 결과로부터 (2)의 경우만 일어날 수 있다.

4. 정리 3의 증명은 다음과 같이 할 수 있다.
(1) a와 b의 중점 $\frac{a+b}{2}$를 택ㅎ한다. $f(\frac{a+b}{2})=0$ 일 때에는 $x_0=\frac{a+b}{2}$라 한다.
(2) $f(\frac{a+b}{2})\cdot f(a)<0$ 이면 $\frac{a+b}{2}=b_1$로 하여 $[a,b_1]$에서 생각한다.
     $f(\frac{a+b}{2})\cdot f(b)<0$ 이면 $\frac{a+b}{2}=a_1$로 하여 $[a_1,b]$에서 생각한다.
이들의 구간은 어느 경우에나 $[a_1,b_1]$로 쓰기로 한다. 이 때
$$a_1<b_1,b_1-a_1=\frac{1}{2}(b-a)$$
(3) $[a_1,b_1]$에서 (2)와 같은 시행을 조작하여 새로이 만든 구간을 $[a_2,b_2]$로 쓴다. 이 때
$$\begin{array}{rl}& a\le a_1\le a_2,b_2\le b_1\le b\\ & a_2<b_2,b_2-a_2=\frac{1}{2}(b_1-a_1)={\left(\frac{1}{2}\right)}^2(b-a)\end{array}$$
(4) 이와 같은 시행을 계속하여 구간의 양끝을 나타낸는 수열
$$a,a_1,a_2,\cdots ,a_n\text{및}b,b_1,b_2,\cdots ,b_n,\cdots$$
을 얻을 수 있다. 이 때
$$\begin{array}{rl}& a\le a_1\le a_2\le \cdots \le a_n\le \cdots \le b_n\le \cdots \le b_2\le b_1\le b\\ & a_n<b_n,b_n-a_n={\left(\frac{1}{2}\right)}^n(b-a)\end{array}$$
여기서 다음을 증명하여라.
$$\begin{array}{rl}& (a)\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n\text{이 존재한다.}\\ & (b)\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{b}_n\text{이 존재한다.}\\ & (c)\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{b}_n\\ & (d)\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n=x_0\text{이라 하면}f(x_0)=0\end{array}$$

<증명>
(a) 수열 $\left\{a_n\right\}$은 $a\le a_n\le b$ 이므로 유계이다. 또한 $a_{n+1}\ge a_n$ 이므로 단조증가이다. 따라서 수열 $\left\{a_n\right\}$은 수렴한다.
(b) 수열 $\left\{b_n\right\}$은 $a\le b_n\le b$ 이므로 유계이다. 또한 $b_{n+1}\ge b_n$ 이므로 단조증가이다. 따라서 수열 $\left\{b_n\right\}$은 수렴한다.
(c) ${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}(b_n-a_n)=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{b}_n-\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{\left(\frac{1}{2}\right)}^n(b-a)=0.\therefore \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{b}_n}$
(d) f(a)<0, f(b)>0 이면 $f(a_n)<f(x_0)<f(b_n)$이다.
     n→∞ 일 때 $a_n,b_n\to x_0$ 이고 $f(a_n)<0,f(b_n)>0$ 이므로 $f(x_0)=0.$
     f(a)>0, f(b)<0 이면 $f(a_n)>f(x_0)>f(b_n)$이다.
     n→∞ 일 때 $a_n,b_n\to x_0$ 이고 $f(a_n)>0,f(b_n)<0$ 이므로 $f(x_0)=0.$

5. 함수 f가 구간 [a, b]에서 연속이면 |f(x)|는 [a, b]에서 최대값을 가지므로 그것을 ∥f∥로 나타내기로 한다. f, g는 [a, b]에서 연속함수, k는 임의의 실수라 할 때 다음 (1), (2), (3)이 성립함을 보여라.
(1) ∥kf∥=|k|∥f∥
(2) ∥f∥=0 인 것은 [a, b] 내의 모든 x에 대하여 f(x)=0 일 때 뿐이다.
(3) ∥f+g∥≤∥f∥+∥g∥
(4) ∥fg∥=∥f∥∥g∥

<증명>
(1) |kf(x)|=|k||f(x)|≤|k|∥f∥=∥kf∥
(2) 0≤|f(x)|≤∥f∥=0 이기 위해서는 f(x)=0
(3) |f(x)+g(x)|≤∥f+g∥≤|f(x)|+|g(x)|≤∥f∥+∥g∥
(4) |f(x)g(x)|=|f(x)||g(x)|≤∥fg∥=∥f∥∥g∥

6. f가 연속함수이고, 어떤 점 $x_0$에 대하여 $f(x_0)\ne 0$ 이면 $x_0$의 적당한 근방 $(x_0-\delta ,x_0+\delta )$에서 $f(x)$와 $f(x_0)$의 부호가 같도록 양수 δ를 정할 수 있음을 증명하여라.

<증명>

$f(x_0)>0$인 경우 ${ϵ}_0=\frac{f(x_0)}{2}$라 하면 $(x_0-{\delta }_0,x_0+{\delta }_0)$내의 x에 대하여 $|f(x)-f(x_0)|<{ϵ}_0$을 만족하는 ${\delta }_0$가 존재한다. 즉, $f(x_0)-{ϵ}_0<f(x)<f(x_0)+{ϵ}_0$ 이므로 $0<\frac{f(x_0)}{2}<f(x)<\frac{3f(x_0)}{2}$.

$f(x_0)<0$인 경우 ${ϵ}_1=-\frac{f(x_0)}{2}$라 하면 $(x_0-{\delta }_1,x_0+{\delta }_1)$내의 x에 대하여 $|f(x)-f(x_0)|<{ϵ}_1$을 만족하는 ${\delta }_1$가 존재한다. 즉, $f(x_0)-{ϵ}_1<f(x)<f(x_0)+{ϵ}_1$ 이므로 $\frac{3f(x_0)}{2}<f(x)<\frac{f(x_0)}{2}<0$.

위의 결과로부터 $f(x)$와 $f(x_0)$의 부호가 같도록 양수 δ를 정할 수 있다.