역함수
실수 상에서 관계식 \[f(x)=x\] 로 정의된 함수 f의 각 x에 대한 값은 x 자신이다. f는 항등함수이고 기호 I로 나타낸다. \[I(x)=x\] 따라서 임의의 함수 g에 대하여 \[I\circ g=g\circ I=g\] [ 예제 1 ] \(f(x)=x^3,\,g(x)=x^{1\over3}\) 일 때 합성함수 \(f\circ g,\,g\circ f\)를 구하여라. <풀이 > \(\begin{align}&(g\circ f)(x)=g\{f(x)\}=g(x^3)\ =(x^3)^{1\over3}=x\\&(f\circ g)(x)=f\{g(x)\}=f(x^{1\over3})=(x^{1\over3})^3=x\end{align}\) 따라서 \(g\circ f=f\circ g=I\) [예제 2 ] \(f(x)={1\over x}\) 일 때 합성함수 \(f\circ f\)를 구하여라. <풀이 > \(\begin{align}(f\circ f)(x)=f({1\over x})={1\over{1\over x}}=x\end{align}\). 따라서 \(f\circ f=I\). 정의 1. (역함수) 함수 f에 대하여 함수 g가 조건 \[g\circ f=f\circ g=I\] 를 만족할 때 g를 f의 역함수(逆函數) 라고 한다. 이 때 \[g=f^{-1}\] 로 나타낸다. 정의로부터 역함수의 역함수는 원함수이다. 곧, \[(f^{-1})^{-1}=f\] 이므로 \(f\)와 \(f^{-1}\)은 서로 다른 것의 역함수이다. 또한 \[{\rm D}_f={\rm R}_{f^{-1}},\qquad {\rm R}_f={\rm D}_{f^{-1}}\] 이다. g가 f의 역함수, \(g=f^{-1}\) 이면 f(x)=y 일 때 \[g(y)=g\{f(x)\}=(g\circ f)(x)=I(x)=x\] 이다. g도 함수이므로 y에 대하여 g(y)는 단 한 개 있다. 만약 \[f(x_1)=f(x_2)=y\] 이라고 하면 \[\beg...