역함수

실수 상에서 관계식

\[f(x)=x\]

로 정의된 함수 f의 각 x에 대한 값은 x 자신이다. f는 항등함수이고 기호 I로 나타낸다.

\[I(x)=x\]

따라서 임의의 함수 g에 대하여

\[I\circ g=g\circ I=g\]

[예제 1] \(f(x)=x^3,\,g(x)=x^{1\over3}\) 일 때 합성함수 \(f\circ g,\,g\circ f\)를 구하여라.

<풀이>
\(\begin{align}&(g\circ f)(x)=g\{f(x)\}=g(x^3)\ =(x^3)^{1\over3}=x\\&(f\circ g)(x)=f\{g(x)\}=f(x^{1\over3})=(x^{1\over3})^3=x\end{align}\)
따라서 \(g\circ f=f\circ g=I\)

[예제 2] \(f(x)={1\over x}\) 일 때 합성함수 \(f\circ f\)를 구하여라.

<풀이> \(\begin{align}(f\circ f)(x)=f({1\over x})={1\over{1\over x}}=x\end{align}\). 따라서 \(f\circ f=I\).

정의 1. (역함수) 함수 f에 대하여 함수 g가 조건

\[g\circ f=f\circ g=I\]

를 만족할 때 g를 f의 역함수(逆函數)라고 한다. 이 때

\[g=f^{-1}\]

로 나타낸다.

정의로부터 역함수의 역함수는 원함수이다. 곧,
\[(f^{-1})^{-1}=f\] 이므로 \(f\)와 \(f^{-1}\)은 서로 다른 것의 역함수이다. 또한
\[{\rm D}_f={\rm R}_{f^{-1}},\qquad {\rm R}_f={\rm D}_{f^{-1}}\] 이다.
g가 f의 역함수, \(g=f^{-1}\) 이면 f(x)=y 일 때
\[g(y)=g\{f(x)\}=(g\circ f)(x)=I(x)=x\] 이다. g도 함수이므로 y에 대하여 g(y)는 단 한 개 있다. 만약
\[f(x_1)=f(x_2)=y\] 이라고 하면
\[\begin{split}&g(y)=g\{f(x_1)\}=x_1\\&g(y)=g\{f(x_2)\}=x_2\end{split}\]이므로
\[x_1=x_2\] 이로부터 역함수 g가 존재하면
\[f:{\rm D}_f\to{\rm R}_f\] 는 단사함수임을 알 수 있다.
g가 f의 역함수이면
\[y=f(x)\ \leftrightarrow\ x=g(y)\] 역으로, f와 g 사이에 이와 같은 관계식이 성립하면
\[\begin{split}&x=g(y)=g\{f(x)\}=(g\circ f)(x),\,x\in{\rm D}_f\\&y=f(x)=f\{g(x)\}=(f\circ g)(y),\,y\in{\rm D}_g\end{split}\] 이므로
\[g\circ f=f\circ g=I\] 이다. 따라서 g는 f의 역함수(f는 g의 역함수)이다.

y=f(x)와 x=g(y) 이면 그들의 그래프는 같다. 곧, (x, f(x))=(g(y), y). 그런데 일반적으로 함수를 나타낼 때 독립변수를 x, 종속변수를 y로 나타내므로 역함수 g를 y=g(x)로 나타내면 x=f(y) 이므로 g의 그래프는 y=f(x)의 그래프와 직선 y=x에 관하여 대칭이다.

[예제 3] f(x)=3x+2 일 때 f의 역함수 g를 구하고, 그 그래프를 그려라.

<풀이> y=3x+2라 두고, x에 관하여 풀면

\[x={1\over3}(y-2)=g(y)\]

x와 y를 교환하면 y=g(x)가 얻어지므로 g는 다음과 같이 정의된다.

\[y=g(x)={1\over3}(x-2)\]

정리 1 함수 f가 구간 [a, b]에서 연속이고, 강한 의미의 증가(감소) 함수이면 역함수 g가 존재한다. 이 때 f(a)=α, f(b)=β라 하면 g는 구간 [α, β] ([β, α])에서 연속이고 강한 의미의 증가(감소)함수이다.

<증명> f가 강함 의미의 증가함수인 경우만 증명해 본다.
\[a<x<b\ \text{일 때}\ \alpha=f(a)<f(x)<f(b)=\beta.\]
역으로 α<y<β 일 때 f는 연속이므로 중간값 정리에 의하여 a<x<b 이고 f(x)=y 인 x가 단 하나 존재한다. 그러므로 y에 x를 대응시키는 함수 g가 정해지므로 x=g(y) 이다. 따라서
\[\begin{align}&a\le x\le b\ \text{일 때}\ g\{f(x)\}=x\\&\alpha\le y\le\beta\ \text{일 때}\ f\{g(y)\}=y\end{align}\] 이므로 g는 f의 역함수이다.
\(\alpha\le y_1<y_2\le\beta\) 일 때 \(g(y_1)\ge g(y_2)\)라고 하면 f는 증가함수이므로
\[y_1=f\{g(y_1)\}\ge f\{g(y_2)\}=y_2\] 이것은 가정에 모순이다. 따라서 \(g(y_1)<g(y_2)\) 이고 g는 강한 의미의 증가함수이다.
이제 g의 연속성을 증명한다. α<γ<β, g(γ)=c 라 한다. 임의의 양수 ε에 대하여
\[f(c-\epsilon)=y_1,\qquad f(c+\epsilon)=y_2\] 라고 하면 f의 증가성에 의해서 c-ε<c<c+ε 이므로 \(y_1<\gamma<y_2\).
그러므로 δ>0를 \((\gamma-\delta,\gamma+\delta)\subseteq(y_1,y_2)\) 이면
\[|y-\gamma|<\delta\ \text{일 때}\ |g(y)-g(\gamma)|<\epsilon.\]양 끝점 α, β에서 한 쪽 구간만을 택하여
\[\lim_{y\to\alpha+0}g(y)=g(\alpha),\,\lim_{y\to\beta-0}g(y)=g(\beta)\]이므로 g는 [α, β]에서 연속이다.

《문     제》

1. \(f(x)=x^3,\,g(x)=x^{1/3}\) 일 때 g는 f의 역함수이고, x=2 이면 f(2)=8 이다. g는 x=8에서 연속임을 보여라.

<풀이> 가정에 의해서 g(8)=2. 또한
\[\lim_{x\to8}g(x)=\lim_{x\to8}x^{1\over3}=8^{1\over3}=2=g(8).\] 따라서 g는 x=8에서 연속이다.

2. 다음 함수의 역함수를 구하고, 그 정의역을 밝혀라.
\(\begin{align}&(1)\ f(x)=2x-3,\,-\infty<x<\infty\\&(2)\ f(x)=2x-3,\,-1\le x\le1\\&(3)\ f(x)=x^2,\,0\le x\le2\\&(4)\ f(x)={1\over1+x},\,x\ne1\\&(5)\ f(x)=x^2+2x-3,\,x\le-1\\&(6)\ f(x)={1\over\sqrt{x}},\,x>0\end{align}\)

<풀이>
\(\begin{align}&(1)\ y=2x-3,\,x={1\over2}(y+3)\ \text{이므로}\ f^{-1}(x)={1\over2}(x+3),\,{\rm D}_{f^{-1}}={\rm R}_f=(-\infty,\infty)\\&(2)\ f^{-1}(x)={1\over2}(x+3),\,{\rm D}_{f^{-1}}={\rm R}_f=[-5,-1]\\&(3)\ y=x^2,\,x=\sqrt{y}\ \text{이므로}\ f^{-1}(x)=\sqrt{x},\,{\rm D}_{f^{-1}}={\rm R}_f=[0,4]\\&(4)\ y={1\over1+x},\,x={1\over y}-1\ \text{이므로}\ f^{-1}(x)=P{1\over x}-1,\,{\rm D}_{f^{-1}}={\rm R}_f=\{x|x\ne0\text{인 실수}\}\\&(5)\ y=x^2+2x-3=(x+1)^2-4,\,x=-1-\sqrt{y+4}(\because\ x+1\le0)\ \text{이므로}\\&\quad\ \,f^{-1}(x)=-1-\sqrt{x+4},\,{\rm D}_{f^{-1}}=R_f=[-4,\infty)\\&(6)\ y={1\over\sqrt{x}},\,x={1\over y^2}\ \text{이므로}\ f^{-1}(x)={1\over x^2},\,{\rm D}_{f^{-1}}={\rm R}_f=(0,\infty)\end{align}\)