역함수

실수 상에서 관계식

$$f(x)=x$$

로 정의된 함수 f의 각 x에 대한 값은 x 자신이다. f는 항등함수이고 기호 I로 나타낸다.

$$I(x)=x$$

따라서 임의의 함수 g에 대하여

$$I\circ g=g\circ I=g$$

[예제 1] $f(x)=x^3,g(x)=x^{\frac{1}{3}}$ 일 때 합성함수 $f\circ g,g\circ f$를 구하여라.

<풀이>
$\begin{array}{rl}& (g\circ f)(x)=g\{f(x)\}=g(x^3)=(x^3{)}^{\frac{1}{3}}=x\\ & (f\circ g)(x)=f\{g(x)\}=f(x^{\frac{1}{3}})=(x^{\frac{1}{3}}{)}^3=x\end{array}$
따라서 $g\circ f=f\circ g=I$

[예제 2] $f(x)=\frac{1}{x}$ 일 때 합성함수 $f\circ f$를 구하여라.

<풀이> $\begin{array}{r}(f\circ f)(x)=f(\frac{1}{x})=\frac{1}{\frac{1}{x}}=x\end{array}$. 따라서 $f\circ f=I$.

정의 1. (역함수) 함수 f에 대하여 함수 g가 조건

$$g\circ f=f\circ g=I$$

를 만족할 때 g를 f의 역함수(逆函數)라고 한다. 이 때

$$g=f^{-1}$$

로 나타낸다.

정의로부터 역함수의 역함수는 원함수이다. 곧,
$$(f^{-1}{)}^{-1}=f$$ 이므로 $f$와 $f^{-1}$은 서로 다른 것의 역함수이다. 또한
$${\mathrm{D}}_f={\mathrm{R}}_{f^{-1}},{\mathrm{R}}_f={\mathrm{D}}_{f^{-1}}$$ 이다.
g가 f의 역함수, $g=f^{-1}$ 이면 f(x)=y 일 때
$$g(y)=g\{f(x)\}=(g\circ f)(x)=I(x)=x$$ 이다. g도 함수이므로 y에 대하여 g(y)는 단 한 개 있다. 만약
$$f(x_1)=f(x_2)=y$$ 이라고 하면
$$\begin{array}{rl}& g(y)=g\{f(x_1)\}=x_1\\ & g(y)=g\{f(x_2)\}=x_2\end{array}$$이므로
$$x_1=x_2$$ 이로부터 역함수 g가 존재하면
$$f:{\mathrm{D}}_f\to {\mathrm{R}}_f$$ 는 단사함수임을 알 수 있다.
g가 f의 역함수이면
$$y=f(x)\leftrightarrow x=g(y)$$ 역으로, f와 g 사이에 이와 같은 관계식이 성립하면
$$\begin{array}{rl}& x=g(y)=g\{f(x)\}=(g\circ f)(x),x\in {\mathrm{D}}_f\\ & y=f(x)=f\{g(x)\}=(f\circ g)(y),y\in {\mathrm{D}}_g\end{array}$$ 이므로
$$g\circ f=f\circ g=I$$ 이다. 따라서 g는 f의 역함수(f는 g의 역함수)이다.

y=f(x)와 x=g(y) 이면 그들의 그래프는 같다. 곧, (x, f(x))=(g(y), y). 그런데 일반적으로 함수를 나타낼 때 독립변수를 x, 종속변수를 y로 나타내므로 역함수 g를 y=g(x)로 나타내면 x=f(y) 이므로 g의 그래프는 y=f(x)의 그래프와 직선 y=x에 관하여 대칭이다.

[예제 3] f(x)=3x+2 일 때 f의 역함수 g를 구하고, 그 그래프를 그려라.

<풀이> y=3x+2라 두고, x에 관하여 풀면

$$x=\frac{1}{3}(y-2)=g(y)$$

x와 y를 교환하면 y=g(x)가 얻어지므로 g는 다음과 같이 정의된다.

$$y=g(x)=\frac{1}{3}(x-2)$$

정리 1 함수 f가 구간 [a, b]에서 연속이고, 강한 의미의 증가(감소) 함수이면 역함수 g가 존재한다. 이 때 f(a)=α, f(b)=β라 하면 g는 구간 [α, β] ([β, α])에서 연속이고 강한 의미의 증가(감소)함수이다.

<증명> f가 강함 의미의 증가함수인 경우만 증명해 본다.
$$a<x<b\text{일 때}\alpha =f(a)<f(x)<f(b)=\beta .$$
역으로 α<y<β 일 때 f는 연속이므로 중간값 정리에 의하여 a<x<b 이고 f(x)=y 인 x가 단 하나 존재한다. 그러므로 y에 x를 대응시키는 함수 g가 정해지므로 x=g(y) 이다. 따라서
$$\begin{array}{rl}& a\le x\le b\text{일 때}g\{f(x)\}=x\\ & \alpha \le y\le \beta \text{일 때}f\{g(y)\}=y\end{array}$$ 이므로 g는 f의 역함수이다.
$\alpha \le y_1<y_2\le \beta$ 일 때 $g(y_1)\ge g(y_2)$라고 하면 f는 증가함수이므로
$$y_1=f\{g(y_1)\}\ge f\{g(y_2)\}=y_2$$ 이것은 가정에 모순이다. 따라서 $g(y_1)<g(y_2)$ 이고 g는 강한 의미의 증가함수이다.
이제 g의 연속성을 증명한다. α<γ<β, g(γ)=c 라 한다. 임의의 양수 ε에 대하여
$$f(c-ϵ)=y_1,f(c+ϵ)=y_2$$ 라고 하면 f의 증가성에 의해서 c-ε<c<c+ε 이므로 $y_1<\gamma <y_2$.
그러므로 δ>0를 $(\gamma -\delta ,\gamma +\delta )\subseteq (y_1,y_2)$ 이면
$$|y-\gamma |<\delta \text{일 때}|g(y)-g(\gamma )|<ϵ.$$양 끝점 α, β에서 한 쪽 구간만을 택하여
$$\underset{y\to \alpha +0}{lim}g(y)=g(\alpha ),\underset{y\to \beta -0}{lim}g(y)=g(\beta )$$이므로 g는 [α, β]에서 연속이다.

《문     제》

1. $f(x)=x^3,g(x)=x^{1/3}$ 일 때 g는 f의 역함수이고, x=2 이면 f(2)=8 이다. g는 x=8에서 연속임을 보여라.

<풀이> 가정에 의해서 g(8)=2. 또한
$$\underset{x\to 8}{lim}g(x)=\underset{x\to 8}{lim}{x}^{\frac{1}{3}}=8^{\frac{1}{3}}=2=g(8).$$ 따라서 g는 x=8에서 연속이다.

2. 다음 함수의 역함수를 구하고, 그 정의역을 밝혀라.
$\begin{array}{rl}& (1)f(x)=2x-3,-\mathrm{\infty }<x<\mathrm{\infty }\\ & (2)f(x)=2x-3,-1\le x\le 1\\ & (3)f(x)=x^2,0\le x\le 2\\ & (4)f(x)=\frac{1}{1+x},x\ne 1\\ & (5)f(x)=x^2+2x-3,x\le -1\\ & (6)f(x)=\frac{1}{\sqrt{x}},x>0\end{array}$

<풀이>
$\begin{array}{rl}& (1)y=2x-3,x=\frac{1}{2}(y+3)\text{이므로}{f}^{-1}(x)=\frac{1}{2}(x+3),{\mathrm{D}}_{f^{-1}}={\mathrm{R}}_f=(-\mathrm{\infty },\mathrm{\infty })\\ & (2)f^{-1}(x)=\frac{1}{2}(x+3),{\mathrm{D}}_{f^{-1}}={\mathrm{R}}_f=[-5,-1]\\ & (3)y=x^2,x=\sqrt{y}\text{이므로}{f}^{-1}(x)=\sqrt{x},{\mathrm{D}}_{f^{-1}}={\mathrm{R}}_f=[0,4]\\ & (4)y=\frac{1}{1+x},x=\frac{1}{y}-1\text{이므로}{f}^{-1}(x)=P\frac{1}{x}-1,{\mathrm{D}}_{f^{-1}}={\mathrm{R}}_f=\{x|x\ne 0\text{인 실수}\}\\ & (5)y=x^2+2x-3=(x+1{)}^2-4,x=-1-\sqrt{y+4}(\because x+1\le 0)\text{이므로}\\ & f^{-1}(x)=-1-\sqrt{x+4},{\mathrm{D}}_{f^{-1}}=R_f=[-4,\mathrm{\infty })\\ & (6)y=\frac{1}{\sqrt{x}},x=\frac{1}{y^2}\text{이므로}{f}^{-1}(x)=\frac{1}{x^2},{\mathrm{D}}_{f^{-1}}={\mathrm{R}}_f=(0,\mathrm{\infty })\end{array}$