함수와 그래프 (Function and Graph)

 함수라는 개념은 이공학에 있어서 매우 중요하다. 함수(函數)라는 단어의 한자를 보면 '상자함'자를 쓴 것을 알 수 있다. 초등학교 수학 시간에 상자그림이 있고 위의 구멍으로 숫자를 넣으면 상자의 규칙에 따라 아래로 다른 숫자가 나오는 것을 회상헤 본다. 이것이 내 인생에서 처음 접한 함수일 것이다.

현재의 값으로 미래를 예측할 수 있는 함수가 있다면 여러가지 문제들을 해결할 수 있을 것이다. 나도 그러한 일을 하고 있지만 문제는 정확한 함수(모형, 모델)을 만드는 것이 쉽지 않다.

실수 전체의 집합 또는 그 부분집합 X, Y에 대하여 X의 임의의 원에 Y의 원을 한 개씩 대응시키는 규칙이 주어지면 그것을 X에서 Y로의 함수라 하고 다음과 같이 나타낸다.

f : X→Y

f에 의한 a∈X에 대응하는 Y의 원이 b이면 f의 a에서의 값은 b 이고 b=f(a)로 나타낸다. 집합 X를 f의 정의역이라 하고 ${\mathrm{D}}_f$로 표시한다. 집합 Y는 f의 공변역이라 하고 특히 {y∈Y|y=f(x), x∈X}를 f의 치역이라 하고 ${\mathrm{R}}_f$로 나타낸다.

집합 X의 임의의 원을 나타내는 기호를 X 위의 변수라고 한다. 함수 f가 X위의 변수 x와 Y 위의 변수 y의 대응

y=f(x)

로 주어질 때 x를 독립변수, y를 종속변수라 한다. 독립변수와 관계없는 문자를 상수라 한다.

[예제 1]  함수 $y=a{x}^2(a>0)$에서 ${\mathrm{D}}_f=(-\mathrm{\infty },\mathrm{\infty })$, ${\mathrm{R}}_f=[0,\mathrm{\infty })$     ☞ 구간 표기법은 링크를 참조.

[예제 2]  함수

(1) $y=\sqrt{x}$에서 ${\mathrm{D}}_f=[0,\mathrm{\infty })$, ${\mathrm{R}}_f=[0,\mathrm{\infty })$
(2) $y=-\sqrt{x}$에서 ${\mathrm{D}}_f=[0,\mathrm{\infty })$, ${\mathrm{R}}_f=(-\mathrm{\infty },0]$

평면 상의 점 P의 좌표를 (x, y)라 할 때 함수 y=f(x)에 대한 점의 집합 $\{(x,y)|y=f(x),x\in {\mathrm{D}}_f\}$를 함수 f의 그래프라고 한다.

함수 f(x)의 값이 정의역 내의 모든 x에 대하여 일정하고 즉 f(x)=c(상수) 일 때, 즉 ${\mathrm{R}}_f=\left\{c\right\}$ 일 때 f를 상수함수라 한다.

함수 f가 X의 각 원에 Y의 n개의 원을 대응시킬 때 f를 n가 함수라고 한다. n≥2 인 경우를 다가함수(多價函數)라고 한다. 두 변수 x, y 사이에

$$x^2+y^2-1=0\cdots (1)$$

인 관계가 있을 때 식(1)을 y에 관하여 풀면

$$y=\pm \sqrt{1-x^2}\cdots (2)$$

만약 y의 값을 제한하면 x의 각 값에 대하여 y의 값이 두 개 정해지므로 함수

$$\begin{array}{rl}& y=f(x)=\sqrt{1-x^2}(y\ge 0)\cdots (3)\\ & y=g(x)=-\sqrt{1-x^2}(y\le 0)\cdots (4)\end{array}$$

가 정해진다. (3), (4)를 합하면 (1)이 되고 2가 함수이다.

이처럼 독립변수 x와 종속변수 y 사이의 대응이 F(x, y)=0으로 주어질 때 음함수라 한다. 이 때 적당한 구간을 정하면 각각 y는 x의 함수가 되고, 그 각각의 함수를 음함수의 분지라 한다. 요컨데, (1)의 음함수의 분지는 (3), (4) 이다. 한편 y=f(x)로 표시되는 함수 f를 양함수라 한다.

함수 y=f(x)가 정의역의 모든 x에 대하여 f(-x)=f(x) 이면 f를 우함수, f(-x)=-f(x) 이면 기함수라 한다.

[예제 3] (1) $y=x^2$, $y=\cos x$는 우함수이다.
            (2) $y=x^5+2x$, $y=\sin x$는 기함수이다.

정의역의 모든 x에 대하여 f(x+p)=f(x)인 양수 p가 존재할 때 f를 주기함수라 하면, p 중에서 최소인 것을 주기라 한다.

[예제 4]  y=sin x, y=cos(2x-3), y=tan(πx)는 주기함수이고 각각의 주기는 2π, π, 1 이다.

함수 f가 $x_1<x_2$ 인 임의의 $x_1,x_2$에 대하여 조건
      $f(x_1)\le f(x_2)$를 만족하면 증가함수

      $f(x_1)<f(x_2)$를 만족하면 강한 의미의 증가함수

      $f(x_1)\ge f(x_2)$를 만족하면 감소함수

      $f(x_1)>f(x_2)$를 만족하면 강한 의미의 감소함수

라 한다. 증가/감소함수를 단조함수라 한다.

《문      제》

1. 다음 각 함수의 정의역과 치역을 구하고 그래프를 그려라.
(1) f(x)=[x], [x] : x를 넘지않는 최대정수
(2) f(x)=|x|
(3) f(x)=2[x]-3

<풀이>
(1) ${\mathrm{D}}_f=(-\mathrm{\infty },\mathrm{\infty })$, ${\mathrm{R}}_f$: 정수 전체
(2) ${\mathrm{D}}_f=(-\mathrm{\infty },\mathrm{\infty })$, ${\mathrm{R}}_f=[0,\mathrm{\infty })$
(3) ${\mathrm{D}}_f=(-\mathrm{\infty },\mathrm{\infty })$, ${\mathrm{R}}_f$: 홀수 전체

2. 다음 각 식으로 정의된 함수 f 중에서 우함수ㆍ기함수ㆍ주기함수ㆍ증가함수ㆍ감소함수인 것을 각각 골라라.
(1) $f(x)=x$ : $f(-x)=-x=-f(x)$→기함수, $x_1<x_2$ 이면 $f(x_1)=x_1<f(x_2)=x_2$→증가함수
(2) $f(x)=x^4$ : $f(-x)=x^4=f(x)$→우함수
(3) $f(x)=\frac{1}{x-1}$
(4) $f(x)=\sin x$ : $f(-x)=\sin (-x)=-\sin x=-f(x)$→기함수, $f(x+2\pi )=f(x)$→주기함수
(5) $f(x)=\cos x$ : $f(-x)=\cos (-x)=\cos x=f(x)$→우함수, $f(x+2\pi )=f(x)$→주기함수
(6) $f(x)=\tan x$ : $f(-x)=\tan (-x)=\tan x=-f(x)$→기함수, $f(x+\pi )=f(x)$→주기함수
(7) $f(x)=-\sqrt{x}$ : $x_1<x_2$ 이면 $f(x_1)=-\sqrt{x_1}>f(x_2)=-\sqrt{x_2}$→감소함수
(8) $f(x)=[x]$ : $x_1<x_2$ 이면 $f(x_1)=x_1\le f(x_2)=x_2$→증가함수

3. 다음 각 식에서 매개변수 t를 소거하여라.
(1) $x=3t+1,y=t^2:t=\frac{x-1}{3},9y=(x-1{)}^2$
(2) $x=\frac{1-t}{t},y=t^2:t=\frac{1}{x+1},y=\frac{1}{(x+1{)}^2}$
(3) $x=t^2,y=t^3:x^3=t^6=y^2$
(4) $x=\frac{t}{1+t},y=\frac{t^2}{t+1}:t=\frac{x}{1-x},y=\frac{x^2}{1-x}$
(5) $x=\sqrt{t},y=t+\frac{1}{t}:x^2=t,y=x^2+\frac{1}{x^2}$
(6) $x=\frac{t^2-1}{t^2+1},y=\frac{2t}{t^2+1}:$
$t=\tan \theta ,x=\frac{{\tan }^2\theta -1}{{\tan }^2\theta +1}={\sin }^2\theta -{\cos }^2\theta =-\cos 2\theta ,y=\frac{2\tan \theta }{{\tan }^2\theta +1}=2\sin \theta \cos \theta =\sin 2\theta$
$\therefore x^2+y^2=1$