기계공학 (Mechanical Engineering)

1. 다음 함수의 정의역을 구하여라. (1) \(f(x,y)=\sqrt{\frac{x-y}{x+y}}\)     (2) \(f(x,y)=\frac{xy}{x^2-y^2}\) <풀이> (1) (i) \(x=y\) 이면 \(f(x,y)=0\), (ii) \(x+y\ne0\) 이므로 \(x\ne-y\), (iii) \(x-y>0\) 이면 \(x+y>0\), (iv) \(x-y<0\) 이면 \(x+y<0\) (i), (ii), (iii), (iv)로부터 정의역은 \(x^2>y^2\)와 \(x=y\)인 점 \((x,y)\)들의 집합 (2) \(x^2\ne y^2\) 이므로 정의역은 \(x=\pm y\)인 점을 제외한 모든 평면상의 점 \((x,y)\) 2. 다음 함수의 \((x,y)\rightarrow(0,0)\)일 때의 극한을 구하여라. (1) \(f(x,y)=\sqrt{\frac{|xy|}{x^2+y^2}}\)     (2) \(f(x,y)=\frac{3x^2+5y^2}{\sqrt{x^2+y^2}}\) <풀이> (1) \(y=mx\)를 따라 접근시키면 \[\sqrt{\frac{|m|}{1+m^2}}\] \(m\)은 임의의 실수이므로 극한치는 없다. (2) \(x=r\cos\theta,\,y=r\sin\theta\)라 놓으면 \(r\rightarrow0\)은 \((x,y)\rightarrow(0,0)\)와 동치 이다. 그리고 \(f(x,y)=z\)라 하면 \(z=r(3\cos^2\theta+5\sin^2\theta)\). \[\therefore\ \lim_{(x,y)\to(0,0)}z=\lim_{r\to0}r(3\cos^2\theta+5\sin^2\theta)=0\] 3. 다음 함수의 연속성을 조사하여라. (1) \(f(x,y)=\begin{cases}\frac{xy}{\sqrt{x^2+y^2}}&(x,y)\ne(0,0)\\\quad\ 0...

정의 1. (지수함수)     \(a\)를 양의 실수라 할 때 \[f(x)=a^x\] 으로 정의된 함수 \(f\)를 \(a\)를 밑으로 하는 지수함수 라고 한다. 실수의 지수 예제 3에 의해서 \(a=1\) 일 때에는 \(f(x)=1\) 인 상수함수, \(a>1\) 일 때에는 강한 의미의 증가함수, \(0<a<1\) 일 때에는 강한 의미의 감소함수 이다. 임의의 실수 \(x_0\)에 대하여 \[\lim_{r\to x_0}a^r=a^{x_0}\ (r\text{은 유리수})\] 이고, \(a^x\)는 단조함수이므로 실수 \(x\)에 대해서도 \[\lim_{x\to x_0}a^x=a^{x_0}\] 이다. 따라서 지수함수 \(f\)는 \(D_f=(-\infty,\infty),\,R_f=(0,\infty)\)인 연속함수 이다. 지수함수는 밑이 1이 아닐 때는 강한 의미의 단조함수이므로 그 역함수 가 존재한다. 정의 2. (대수함수)    지수함수 \[f(x)=a^x\ (a>0,\,a\ne1)\] 의 역함수 \(g\)를 밑으로 하는 대수함수라 하고, \[g(x)=\log_ax\ (a>0,\,a\ne1)\] 로 나타낸다. 지수함수의 성질로부터 대수함수 \(g\)는 연속이고, \(D_g=(0,\infty),\,R_g=(-\infty,\infty)\) \(a>1\) 이면 강한 의미의 증가함수 \(0<a<1\) 이면 강한 의미의 감소함수 이다. 또, \(a>1\) 일 때에는 \(\displaystyle\lim_{x\to+0}\log_ax=-\infty,\,\lim_{x\to\infty}\log_ax=\infty\) \(0<a<1\) 일 때에는 \(\displaystyle\lim_{x\to+0}\log_ax=\infty,\,\lim_{x\to\infty}\log_ax=-\infty\) 이다. 정의에 의하여 \[y=a^x\Leftrightarrow\log_ay=x\] 이므로 지수...