1. 다음 함수의 정의역을 구하여라.(1) \(f(x,y)=\sqrt{\frac{x-y}{x+y}}\) (2) \(f(x,y)=\frac{xy}{x^2-y^2}\)
<풀이>
(1) (i) \(x=y\) 이면 \(f(x,y)=0\), (ii) \(x+y\ne0\) 이므로 \(x\ne-y\), (iii) \(x-y>0\) 이면 \(x+y>0\), (iv) \(x-y<0\) 이면 \(x+y<0\)
(i), (ii), (iii), (iv)로부터 정의역은 \(x^2>y^2\)와 \(x=y\)인 점 \((x,y)\)들의 집합
(2) \(x^2\ne y^2\) 이므로 정의역은 \(x=\pm y\)인 점을 제외한 모든 평면상의 점 \((x,y)\)
2. 다음 함수의 \((x,y)\rightarrow(0,0)\)일 때의 극한을 구하여라.
(1) \(f(x,y)=\sqrt{\frac{|xy|}{x^2+y^2}}\) (2) \(f(x,y)=\frac{3x^2+5y^2}{\sqrt{x^2+y^2}}\)
<풀이>
(1) \(y=mx\)를 따라 접근시키면
\[\sqrt{\frac{|m|}{1+m^2}}\]\(m\)은 임의의 실수이므로 극한치는 없다.
(2) \(x=r\cos\theta,\,y=r\sin\theta\)라 놓으면 \(r\rightarrow0\)은 \((x,y)\rightarrow(0,0)\)와 동치이다.
그리고 \(f(x,y)=z\)라 하면 \(z=r(3\cos^2\theta+5\sin^2\theta)\).
\[\therefore\ \lim_{(x,y)\to(0,0)}z=\lim_{r\to0}r(3\cos^2\theta+5\sin^2\theta)=0\]
3. 다음 함수의 연속성을 조사하여라.
(1) \(f(x,y)=\begin{cases}\frac{xy}{\sqrt{x^2+y^2}}&(x,y)\ne(0,0)\\\quad\ 0&(x,y)=(0,0)\end{cases}\)
(2) \(f(x,y)=\begin{cases}x^2+2y&(x,y)\ne(1,2)\\\quad\ 2&(x,y)=(1,2)\end{cases}\)
<풀이>
(1) 원점이외에서는 \(\displaystyle\lim_{(x,y)\to(a,b)}f(x,y)=f(a,b)\) 이므로 연속.
원점에서는 임의의 \(\epsilon>0\)에 대하여 \(r=\sqrt{x^2+y^2}<\epsilon\)인 \((x,y)\)를 잡아 \(x=r\cos\theta,\,y=r\sin\theta\)라 하면
\[|f(x,y)|=|r\sin\theta\cos\theta|\le|r|<\epsilon\]
따라서 \(\displaystyle\lim_{(x,y)\to(1,2)}f(x,y)=5\ne2=f(1,2)\) 이므로 불연속.
4. 다음 함수를 편미분하여라.
(1) \(f(x,y)=\frac{x-y}{x+y}\) (2) \(f(x,y)={\rm Cot}^{-1}{y\over x}\)
(3) \(f(x,y)=x\sin(y-x)-x\cos(y-x)\)
(4) \(f(x,y)=y\ln\sin{x}\)
<풀이>
(1) \(\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{2y}{(x+y)^2},\,\frac{\partial f}{\partial y}=\frac{-2x}{(x+y)^2}\) (2) \(\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{y}{x^2+y^2},\,\frac{\partial f}{\partial y}=\frac{-x}{x^2+y^2}\)
(3) \(\frac{\partial f}{\partial x}=(1-x)\sin(y-x)-(x+1)\cos(y-x),\,\frac{\partial f}{\partial y}=x\cos(y-x)+x\sin(y-x)\)
(4) \(\frac{\partial f}{\partial x}=y\cot{x},\,\frac{\partial f}{\partial y}=\ln\sin{x}\)
5. 다음 문제에서 dz/dt를 구하여라.
(1) \(z=x^2-2xy+y^2,\,x=(t+1)^2,\,y=(t-1)^2\)
(2) \(z=x\sin{y},\,x=1/t,\,y={\rm Tan}^{-1}t\)
<풀이>
(1) \(\frac{\partial z}{\partial x}=2(x-y)=8t,\,\frac{\partial z}{\partial y}=-2(x-y)=-8t,\,\frac{dx}{dt}=2(t+1),\,\frac{dy}{dt}=2(t-1)\)
\(\frac{dz}{dt}=\frac{\partial z}{\partial x}\frac{dx}{dt}+\frac{\partial z}{\partial y}\frac{dy}{dt}=32t\)
(2) \(\frac{\partial z}{\partial x}=\sin{y}=\frac{t}{\sqrt{1+t^2}},\,\frac{\partial z}{\partial y}=x\cos{y}=\frac{1}{t\sqrt{1+t^2}},\,\frac{dx}{dt}=-{1\over t^2},\,\frac{dy}{dt}={1\over1+t^2}\)
\(\frac{dz}{dt}=\frac{\partial z}{\partial x}\frac{dx}{dt}+\frac{\partial z}{\partial y}\frac{dy}{dt}=-\frac{t}{(1+t^2)^{3/2}}\)
6. \(z=\frac{x^2y^2}{x+y}\)일 때 \(x\frac{\partial z}{\partial x}+y\frac{\partial z}{\partial y}=3z\)임을 보여라.
<풀이> \(x\frac{\partial z}{\partial x}+y\frac{\partial z}{\partial y}=x\left\{\frac{xy^2(x+2y)}{(x+y)^2}\right\}+y\left\{\frac{xy^2(2x+2)}{(x+y)^2}\right\}=\frac{3x^2y^2}{x+y}=3z\)
7. \(z=xf(ax+by)+yg(ax+by)\)일 때
\(b^2z_{xx}-2abz_{xy}+a^2z_{yy}=0\)
임을 증명하여라.
<풀이> \(ax+by=t\)라 하면
\(\begin{align}b^2z_{xx}-2abz_{xy}+a^2z_{yy}&=\left(b\frac{\partial}{\partial x}-a\frac{\partial}{\partial y}\right)^2z=\left(b\frac{\partial}{\partial x}-a\frac{\partial}{\partial y}\right)^2(xf+yg)\\&=\left(b\frac{\partial}{\partial x}-a\frac{\partial}{\partial y}\right)(bf+bxf_x-axf_y+byg_x-ag-ayg_y)\\&=\left(b\frac{\partial}{\partial x}-a\frac{\partial}{\partial y}\right)(bf-ag)=b^2f_x-abf_y-abg_x+a^2g_y=0\end{align}\)
8. \(f(x,t)=\varphi(x+ct)+\psi(x-ct)\)(\(c\)는 상수)일 때, \(\varphi(u),\,\psi(v)\)가 \(u,\,v\)에 관해 2차편도함수를 가지면
\(\frac{\partial^2f}{\partial t^2}=c^2\frac{\partial^2f}{\partial x^2}=c^2\left\{\varphi''(u)+\psi''(v)\right\}\)
임을 증명하여라.
<증명> \(u=x+xt,\,v=x-ct\)라 하면
\(\begin{align}\frac{\partial^2f}{\partial t^2}&=\frac{\partial}{\partial t}\left(\frac{\partial f}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial t}+\frac{\partial f}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial t}\right)=c\frac{\partial}{\partial t}\left\{\varphi'(u)-\psi'(v)\right\}=c\left\{\frac{\partial\varphi'(u)}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial t}-\frac{\partial\psi'(v)}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial t}\right\}\\&=c^2\left\{\varphi''(u)+\psi''(v)\right\}\\\frac{\partial^2f}{\partial x^2}&=\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial f}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial f}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial x}\right)=\frac{\partial}{\partial x}\left\{\varphi'(u)+\psi'(v)\right\}=\frac{\partial\varphi'(u)}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial\psi'(v)}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial x}\\&=\varphi''(u)+\psi''(v)\end{align}\)
9. 곡면 \(Ax^2+By^2+Cz^2=1\) 상의 점 \((x_0,y_0,z_0)\)에 대한 접평면의 방정식은\(Ax_0x+By_0y+Cz_0z=1\) 임을 증명하여라.
<증명> \(z=f(x,y)\)라 하면 \(Ax^2+By^2+Cf^2(x,y)=1\).
이 식의 양변을 \(x\)로 편미분하면
\(Ax+Cf(x,y)f_x(x,y)=0\)
\(y\)로 편미분하면\(B_y+Cf(x,y)f_y(x,y)=0\)
\(z_0=f(x_0,y_0)\) 이므로\(f_x(x_0,y_0)=-\frac{Ax_0}{Cz_0},\quad f_y(x_0,y_0)=-\frac{Ay_0}{Cz_0}\)
따라서, 점 \((x_0,y_0,z_0)\)에 대한 접평면의 방정식은
\(-\frac{Ax_0}{Cz_0}(x-x_0)-\frac{By_0}{Cz_0}(y-y_0)-(z-z_0)=0\)
즉, \(Ax_0x+By_0y+Cz_0z=1\)
10. 함수 \(F(x,y)=ax^2+2hxy+by^2+2gx+2fy+c\)의 극치를 구하여라. 단, \(a,b,c,f,g,h\)는 상수이고, \(h^2-ab\ne0\)라 한다.
<풀이> \(F\)가 극치를 갖는 점은 방정식 \(F_x=2ax+2hy+2g=0,\,F_y=2hx+2by+2f=0\)의 근이다. 이 연립방정식의 근은 \(h^2-ab\ne0\) 이므로 다음과 같다.
\(x=\frac{bg-fh}{h^2-ab},\qquad y=\frac{af-gh}{h^2-ab}\)
또한, \(F_{xx}=2a,\,F_{xy}=2h,\,F_{yy}=2b\) 이므로 \(D=F_{xy}^2-F_{xx}F_{yy}=4(h^2-ab)\) 이다. 따라서 \(D<0\), 곧 \(h^2<ab\) 일 때 극치를 갖고, a>0 일 때 \(F_{xx}>0\) 이므로 극소치, \(a>0\) 일 때 \(F_{xx}>0\) 이므로 극대치를 갖는다.
극치는 위의 방정식 근에서의 함수 \(F\)의 값이므로
\(F\left(\frac{bg-fh}{h^2-ab},\frac{af-gh}{h^2-ab}\right)=a\left(\frac{bg-fh}{h^2-ab}\right)^2+2h\left(\frac{bg-fh}{h^2-ab}\right)\left(\frac{af-gh}{h^2-ab}\right)+b\left(\frac{af-gh}{h^2-ab}\right)^2\)
\(+2g\left(\frac{bg-fh}{h^2-ab}\right)+2f(\frac{af-gh}{h^2-ab})+c=\frac{af^2+bg^2+ch^2-abc-2fgh}{h^2-ab}\)
이다.
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