[연습문제] 편미분

1. 다음 함수의 정의역을 구하여라.

(1) $f(x,y)=\sqrt{\frac{x-y}{x+y}}$     (2) $f(x,y)=\frac{xy}{x^2-y^2}$

<풀이>
(1) (i) $x=y$ 이면 $f(x,y)=0$, (ii) $x+y\ne 0$ 이므로 $x\ne -y$, (iii) $x-y>0$ 이면 $x+y>0$, (iv) $x-y<0$ 이면 $x+y<0$
(i), (ii), (iii), (iv)로부터 정의역은 $x^2>y^2$와 $x=y$인 점 $(x,y)$들의 집합
(2) $x^2\ne y^2$ 이므로 정의역은 $x=\pm y$인 점을 제외한 모든 평면상의 점 $(x,y)$

2. 다음 함수의 $(x,y)\to (0,0)$일 때의 극한을 구하여라.
(1) $f(x,y)=\sqrt{\frac{|xy|}{x^2+y^2}}$     (2) $f(x,y)=\frac{3x^2+5y^2}{\sqrt{x^2+y^2}}$

<풀이>
(1) $y=mx$를 따라 접근시키면
$$\sqrt{\frac{|m|}{1+m^2}}$$$m$은 임의의 실수이므로 극한치는 없다.
(2) $x=r\cos \theta ,y=r\sin \theta$라 놓으면 $r\to 0$은 $(x,y)\to (0,0)$와 동치이다.
그리고 $f(x,y)=z$라 하면 $z=r(3{\cos }^2\theta +5{\sin }^2\theta )$.
$$\therefore \underset{(x,y)\to (0,0)}{lim}z=\underset{r\to 0}{lim}r(3{\cos }^2\theta +5{\sin }^2\theta )=0$$

3. 다음 함수의 연속성을 조사하여라.
(1) $f(x,y)=\{\begin{array}{ll}\frac{xy}{\sqrt{x^2+y^2}}& (x,y)\ne (0,0)\\ 0& (x,y)=(0,0)\end{array}$
(2) $f(x,y)=\{\begin{array}{ll}{x}^2+2y& (x,y)\ne (1,2)\\ 2& (x,y)=(1,2)\end{array}$

<풀이>

(1) 원점이외에서는 ${\displaystyle \underset{(x,y)\to (a,b)}{lim}f(x,y)=f(a,b)}$ 이므로 연속.

원점에서는 임의의 $ϵ>0$에 대하여 $r=\sqrt{x^2+y^2}<ϵ$인 $(x,y)$를 잡아 $x=r\cos \theta ,y=r\sin \theta$라 하면

$$|f(x,y)|=|r\sin \theta \cos \theta |\le |r|<ϵ$$

따라서 ${\displaystyle \underset{(x,y)\to (1,2)}{lim}f(x,y)=5\ne 2=f(1,2)}$ 이므로 불연속.

4. 다음 함수를 편미분하여라.
(1) $f(x,y)=\frac{x-y}{x+y}$     (2) $f(x,y)={\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{t}}^{-1}\frac{y}{x}$
(3) $f(x,y)=x\sin (y-x)-x\cos (y-x)$
(4) $f(x,y)=y\ln \sin x$

<풀이>

(1) $\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{2y}{(x+y{)}^2},\frac{\partial f}{\partial y}=\frac{-2x}{(x+y{)}^2}$     (2) $\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{y}{x^2+y^2},\frac{\partial f}{\partial y}=\frac{-x}{x^2+y^2}$

(3) $\frac{\partial f}{\partial x}=(1-x)\sin (y-x)-(x+1)\cos (y-x),\frac{\partial f}{\partial y}=x\cos (y-x)+x\sin (y-x)$

(4) $\frac{\partial f}{\partial x}=y\cot x,\frac{\partial f}{\partial y}=\ln \sin x$

5. 다음 문제에서 dz/dt를 구하여라.
(1) $z=x^2-2xy+y^2,x=(t+1{)}^2,y=(t-1{)}^2$
(2) $z=x\sin y,x=1/t,y={\mathrm{T}\mathrm{a}\mathrm{n}}^{-1}t$

<풀이>

(1) $\frac{\partial z}{\partial x}=2(x-y)=8t,\frac{\partial z}{\partial y}=-2(x-y)=-8t,\frac{dx}{dt}=2(t+1),\frac{dy}{dt}=2(t-1)$

$\frac{dz}{dt}=\frac{\partial z}{\partial x}\frac{dx}{dt}+\frac{\partial z}{\partial y}\frac{dy}{dt}=32t$

(2) $\frac{\partial z}{\partial x}=\sin y=\frac{t}{\sqrt{1+t^2}},\frac{\partial z}{\partial y}=x\cos y=\frac{1}{t\sqrt{1+t^2}},\frac{dx}{dt}=-\frac{1}{t^2},\frac{dy}{dt}=\frac{1}{1+t^2}$

$\frac{dz}{dt}=\frac{\partial z}{\partial x}\frac{dx}{dt}+\frac{\partial z}{\partial y}\frac{dy}{dt}=-\frac{t}{(1+t^2{)}^{3/2}}$

6. $z=\frac{x^2{y}^2}{x+y}$일 때 $x\frac{\partial z}{\partial x}+y\frac{\partial z}{\partial y}=3z$임을 보여라.

<풀이> $x\frac{\partial z}{\partial x}+y\frac{\partial z}{\partial y}=x\left\{\frac{x{y}^2(x+2y)}{(x+y{)}^2}\right\}+y\left\{\frac{x{y}^2(2x+2)}{(x+y{)}^2}\right\}=\frac{3x^2{y}^2}{x+y}=3z$

7. $z=xf(ax+by)+yg(ax+by)$일 때

$b^2{z}_{xx}-2ab{z}_{xy}+a^2{z}_{yy}=0$

임을 증명하여라.

<풀이> $ax+by=t$라 하면

$\begin{array}{rl}{b}^2{z}_{xx}-2ab{z}_{xy}+a^2{z}_{yy}& ={(b\frac{\partial }{\partial x}-a\frac{\partial }{\partial y})}^{2}z={(b\frac{\partial }{\partial x}-a\frac{\partial }{\partial y})}^2(xf+yg)\\ & =(b\frac{\partial }{\partial x}-a\frac{\partial }{\partial y})(bf+bx{f}_x-ax{f}_y+by{g}_x-ag-ay{g}_y)\\ & =(b\frac{\partial }{\partial x}-a\frac{\partial }{\partial y})(bf-ag)=b^2{f}_x-ab{f}_y-ab{g}_x+a^2{g}_y=0\end{array}$

8. $f(x,t)=\phi (x+ct)+\psi (x-ct)$($c$는 상수)일 때, $\phi (u),\psi (v)$가 $u,v$에 관해 2차편도함수를 가지면

$\frac{{\partial }^{2}f}{\partial t^2}=c^2\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^2}=c^2\{{\phi }^{″}(u)+{\psi }^{″}(v)\}$

임을 증명하여라.

<증명> $u=x+xt,v=x-ct$라 하면
$\begin{array}{rl}\frac{{\partial }^{2}f}{\partial t^2}& =\frac{\partial }{\partial t}(\frac{\partial f}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial t}+\frac{\partial f}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial t})=c\frac{\partial }{\partial t}\{{\phi }^{\prime }(u)-{\psi }^{\prime }(v)\}=c\{\frac{\partial {\phi }^{\prime }(u)}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial t}-\frac{\partial {\psi }^{\prime }(v)}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial t}\}\\ & =c^2\{{\phi }^{″}(u)+{\psi }^{″}(v)\}\\ \frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^2}& =\frac{\partial }{\partial x}(\frac{\partial f}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial f}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial x})=\frac{\partial }{\partial x}\{{\phi }^{\prime }(u)+{\psi }^{\prime }(v)\}=\frac{\partial {\phi }^{\prime }(u)}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial {\psi }^{\prime }(v)}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial x}\\ & ={\phi }^{″}(u)+{\psi }^{″}(v)\end{array}$

9. 곡면 $A{x}^2+B{y}^2+C{z}^2=1$ 상의 점 $(x_0,y_0,z_0)$에 대한 접평면의 방정식은$A{x}_{0}x+B{y}_{0}y+C{z}_{0}z=1$ 임을 증명하여라.

<증명> $z=f(x,y)$라 하면 $A{x}^2+B{y}^2+C{f}^2(x,y)=1$.

이 식의 양변을 $x$로 편미분하면

$Ax+Cf(x,y)f_x(x,y)=0$

$y$로 편미분하면

$B_y+Cf(x,y)f_y(x,y)=0$

$z_0=f(x_0,y_0)$ 이므로

$f_x(x_0,y_0)=-\frac{A{x}_0}{C{z}_0},f_y(x_0,y_0)=-\frac{A{y}_0}{C{z}_0}$

따라서, 점 $(x_0,y_0,z_0)$에 대한 접평면의 방정식은

$-\frac{A{x}_0}{C{z}_0}(x-x_0)-\frac{B{y}_0}{C{z}_0}(y-y_0)-(z-z_0)=0$

즉, $A{x}_{0}x+B{y}_{0}y+C{z}_{0}z=1$

10. 함수 $F(x,y)=a{x}^2+2hxy+b{y}^2+2gx+2fy+c$의 극치를 구하여라. 단, $a,b,c,f,g,h$는 상수이고, $h^2-ab\ne 0$라 한다.

<풀이> $F$가 극치를 갖는 점은 방정식 $F_x=2ax+2hy+2g=0,F_y=2hx+2by+2f=0$의 근이다. 이 연립방정식의 근은 $h^2-ab\ne 0$ 이므로 다음과 같다.

$x=\frac{bg-fh}{h^2-ab},y=\frac{af-gh}{h^2-ab}$

또한, $F_{xx}=2a,F_{xy}=2h,F_{yy}=2b$ 이므로 $D=F_{xy}^2-F_{xx}{F}_{yy}=4(h^2-ab)$ 이다. 따라서 $D<0$, 곧 $h^2<ab$ 일 때 극치를 갖고, a>0 일 때 $F_{xx}>0$ 이므로 극소치, $a>0$ 일 때 $F_{xx}>0$ 이므로 극대치를 갖는다.

극치는 위의 방정식 근에서의 함수 $F$의 값이므로

$F(\frac{bg-fh}{h^2-ab},\frac{af-gh}{h^2-ab})=a{\left(\frac{bg-fh}{h^2-ab}\right)}^2+2h\left(\frac{bg-fh}{h^2-ab}\right)\left(\frac{af-gh}{h^2-ab}\right)+b{\left(\frac{af-gh}{h^2-ab}\right)}^2$

$+2g\left(\frac{bg-fh}{h^2-ab}\right)+2f(\frac{af-gh}{h^2-ab})+c=\frac{a{f}^2+b{g}^2+c{h}^2-abc-2fgh}{h^2-ab}$

이다.