지수함수ㆍ대수함수

정의 1. (지수함수)   \(a\)를 양의 실수라 할 때

\[f(x)=a^x\]

으로 정의된 함수 \(f\)를 \(a\)를 밑으로 하는 지수함수라고 한다.

실수의 지수 예제 3에 의해서

\(a=1\) 일 때에는 \(f(x)=1\) 인 상수함수,

\(a>1\) 일 때에는 강한 의미의 증가함수,

\(0<a<1\) 일 때에는 강한 의미의 감소함수

이다.

임의의 실수 \(x_0\)에 대하여\[\lim_{r\to x_0}a^r=a^{x_0}\ (r\text{은 유리수})\]이고, \(a^x\)는 단조함수이므로 실수 \(x\)에 대해서도\[\lim_{x\to x_0}a^x=a^{x_0}\]이다. 따라서 지수함수 \(f\)는 \(D_f=(-\infty,\infty),\,R_f=(0,\infty)\)인 연속함수이다.지수함수는 밑이 1이 아닐 때는 강한 의미의 단조함수이므로 그 역함수가 존재한다.

정의 2. (대수함수)   지수함수

\[f(x)=a^x\ (a>0,\,a\ne1)\]

의 역함수 \(g\)를 밑으로 하는 대수함수라 하고,

\[g(x)=\log_ax\ (a>0,\,a\ne1)\]

로 나타낸다.

지수함수의 성질로부터 대수함수 \(g\)는 연속이고, \(D_g=(0,\infty),\,R_g=(-\infty,\infty)\)

\(a>1\) 이면 강한 의미의 증가함수

\(0<a<1\) 이면 강한 의미의 감소함수

이다. 또,

\(a>1\) 일 때에는 \(\displaystyle\lim_{x\to+0}\log_ax=-\infty,\,\lim_{x\to\infty}\log_ax=\infty\)

\(0<a<1\) 일 때에는 \(\displaystyle\lim_{x\to+0}\log_ax=\infty,\,\lim_{x\to\infty}\log_ax=-\infty\)

이다. 정의에 의하여

\[y=a^x\Leftrightarrow\log_ay=x\]

이므로

지수법칙에 의하여 다음 공식을 얻는다.

\[\begin{align}&\log_axy=\log_ax+log_ay\qquad\log_a{x\over y}=\log_ax-\log_ay\\&\log_ax^\lambda=\lambda\log_ax\qquad\qquad\ \ \log_ab=\frac{\log_cb}{\log_ca}\end{align}\]

지수함수, 대수함수에서 특히 중요한 것은 밑이 e 인 경우이다.
\(e\)를 밑으로 하는 대수함수 \(\log_ex\)를 자연대수라하고 밑 \(e\)를 생략하여 \(\log x\) 또는 \(\ln x\)로 쓴다.

지수를 고정하고 밑을 변수로 보아

\[y=h(x)=x^\lambda,\,x>0,\,-\infty<\lambda<\infty\]

에 의해서 정해진 함수 \(h\)를 멱함수라고 한다. 멱함수의 정의역은 \((0,\infty)\) 이다.

멱함수에 대하여 실수 \(a(a>0,\,a\ne1)\)를 택하고 \(a\)를 밑으로 하는 대수를 취하면

\[\log_ay=\log_ax^\lambda=\lambda\log_ax\]

따라서 지수함수와 대수함수의 관계에서

\[y=h(x)=(a^\lambda)^{\log_ax}\]

으로 쓸 수 있으므로 멱함수는 지수함수와 대수함수의 합성함수이다. 곧, 멱함수는 연속함수이다.

일반으로 밑도 지수도 \(x\)의 함수인 함수 \(F\)는 두 함수 \(f,\,g\)를 사용하여 멱함수와 같은 방법으로

\[F(x)={f(x)}^{g(x)}=a^{g(x)\log_af(x)}(a>0,\,a\ne1)\]

으로 나타낼 수 있다. 따라서 \(f,\,g\)가 연속이면 \(F\)도 연속이다.

[예제 1]   \(\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\ln(1+x)}{x}=1\) 임을 증명하여라.

<증명>   실수의 지수 예제 4에 의해서 \(\displaystyle\lim_{h\to\pm\infty}\left(1+{1\over h}\right)^h=e\) 이므로 \(x={1\over h}\)로 치환하면 \(\displaystyle\lim_{x\to0}(1+x)^{1\over x}=e\) 이다. 따라서 \(\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\ln(1+x)}{x}=\lim_{x\to0}\ln(1+x)^{1\over x}=\ln e=1.\)

[예제 2]   \(\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{a^x-1}{x}=\ln a\ (\text{단, a>0})\) 임을 증명하여라.

<증명>   예제 1에 의해서 \(\displaystyle\lim_{z\to0}\frac{\ln(1+z)}{z}=1\) 이므로 \(z=a^x-1\)로 치환하면 
\(\displaystyle\lim_{z\to0}\frac{\ln(1+z)}{z}=\lim_{x\to0}\frac{\ln a^x}{a^x-1}=\lim_{x\to0}\frac{x\ln a}{a^x-1}\)
곧, \(\displaystyle1=\left(\lim_{x\to0}\frac{x}{a^x-1}\right)\ln a\qquad\therefore\ \lim_{x\to0}\frac{a^x-1}{x}=\ln a.\)