지수함수ㆍ대수함수

정의 1. (지수함수)   $a$를 양의 실수라 할 때

$$f(x)=a^x$$

으로 정의된 함수 $f$를 $a$를 밑으로 하는 지수함수라고 한다.

실수의 지수 예제 3에 의해서

$a=1$ 일 때에는 $f(x)=1$ 인 상수함수,

$a>1$ 일 때에는 강한 의미의 증가함수,

$0<a<1$ 일 때에는 강한 의미의 감소함수

이다.

임의의 실수 $x_0$에 대하여$$\underset{r\to x_0}{lim}{a}^r=a^{x_0}(r\text{은 유리수})$$이고, $a^x$는 단조함수이므로 실수 $x$에 대해서도$$\underset{x\to x_0}{lim}{a}^x=a^{x_0}$$이다. 따라서 지수함수 $f$는 $D_f=(-\mathrm{\infty },\mathrm{\infty }),R_f=(0,\mathrm{\infty })$인 연속함수이다.지수함수는 밑이 1이 아닐 때는 강한 의미의 단조함수이므로 그 역함수가 존재한다.

정의 2. (대수함수)   지수함수

$$f(x)=a^x(a>0,a\ne 1)$$

의 역함수 $g$를 밑으로 하는 대수함수라 하고,

$$g(x)={\log }_{a}x(a>0,a\ne 1)$$

로 나타낸다.

지수함수의 성질로부터 대수함수 $g$는 연속이고, $D_g=(0,\mathrm{\infty }),R_g=(-\mathrm{\infty },\mathrm{\infty })$

$a>1$ 이면 강한 의미의 증가함수

$0<a<1$ 이면 강한 의미의 감소함수

이다. 또,

$a>1$ 일 때에는 ${\displaystyle \underset{x\to +0}{lim}{\log }_{a}x=-\mathrm{\infty },\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}{\log }_{a}x=\mathrm{\infty }}$

$0<a<1$ 일 때에는 ${\displaystyle \underset{x\to +0}{lim}{\log }_{a}x=\mathrm{\infty },\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}{\log }_{a}x=-\mathrm{\infty }}$

이다. 정의에 의하여

$$y=a^x\iff {\log }_{a}y=x$$

이므로

지수법칙에 의하여 다음 공식을 얻는다.

$$\begin{array}{rl}& {\log }_{a}xy={\log }_{a}x+lo{g}_{a}y{\log }_a\frac{x}{y}={\log }_{a}x-{\log }_{a}y\\ & {\log }_a{x}^{\lambda }=\lambda {\log }_{a}x{\log }_{a}b=\frac{{\log }_{c}b}{{\log }_{c}a}\end{array}$$

지수함수, 대수함수에서 특히 중요한 것은 밑이 e 인 경우이다.
$e$를 밑으로 하는 대수함수 ${\log }_{e}x$를 자연대수라하고 밑 $e$를 생략하여 $\log x$ 또는 $\ln x$로 쓴다.

지수를 고정하고 밑을 변수로 보아

$$y=h(x)=x^{\lambda },x>0,-\mathrm{\infty }<\lambda <\mathrm{\infty }$$

에 의해서 정해진 함수 $h$를 멱함수라고 한다. 멱함수의 정의역은 $(0,\mathrm{\infty })$ 이다.

멱함수에 대하여 실수 $a(a>0,a\ne 1)$를 택하고 $a$를 밑으로 하는 대수를 취하면

$${\log }_{a}y={\log }_a{x}^{\lambda }=\lambda {\log }_{a}x$$

따라서 지수함수와 대수함수의 관계에서

$$y=h(x)=(a^{\lambda }{)}^{{\log }_{a}x}$$

으로 쓸 수 있으므로 멱함수는 지수함수와 대수함수의 합성함수이다. 곧, 멱함수는 연속함수이다.

일반으로 밑도 지수도 $x$의 함수인 함수 $F$는 두 함수 $f,g$를 사용하여 멱함수와 같은 방법으로

$$F(x)={f(x)}^{g(x)}=a^{g(x){\log }_{a}f(x)}(a>0,a\ne 1)$$

으로 나타낼 수 있다. 따라서 $f,g$가 연속이면 $F$도 연속이다.

[예제 1]   ${\displaystyle \underset{x\to 0}{lim}\frac{\ln (1+x)}{x}=1}$ 임을 증명하여라.

<증명>   실수의 지수 예제 4에 의해서 ${\displaystyle \underset{h\to \pm \mathrm{\infty }}{lim}{(1+\frac{1}{h})}^h=e}$ 이므로 $x=\frac{1}{h}$로 치환하면 ${\displaystyle \underset{x\to 0}{lim}(1+x{)}^{\frac{1}{x}}=e}$ 이다. 따라서 ${\displaystyle \underset{x\to 0}{lim}\frac{\ln (1+x)}{x}=\underset{x\to 0}{lim}\ln (1+x{)}^{\frac{1}{x}}=\ln e=1.}$

[예제 2]   ${\displaystyle \underset{x\to 0}{lim}\frac{a^x-1}{x}=\ln a(\text{단, a>0})}$ 임을 증명하여라.

<증명>   예제 1에 의해서 ${\displaystyle \underset{z\to 0}{lim}\frac{\ln (1+z)}{z}=1}$ 이므로 $z=a^x-1$로 치환하면 
${\displaystyle \underset{z\to 0}{lim}\frac{\ln (1+z)}{z}=\underset{x\to 0}{lim}\frac{\ln a^x}{a^x-1}=\underset{x\to 0}{lim}\frac{x\ln a}{a^x-1}}$
곧, ${\displaystyle 1=\left(\underset{x\to 0}{lim}\frac{x}{a^x-1}\right)\ln a\therefore \underset{x\to 0}{lim}\frac{a^x-1}{x}=\ln a.}$