함수 \(f\)의 방정식 \(y=f(x)\)로 정의되는 곡선을 \(\gamma\)라고 하자. 미분가능 한 구간 내의 두 점 \(a,\,a+h\)를 잡고, \({\rm A}(a),\,{\rm A'}(a+h)\)라하여 \(\rm A\)와 \(\rm A'\)에서 \(x\)축에 수선(垂線)을 그어 \(\gamma\)와의 교점을 각각 \(\rm P,\,Q\)라 한다. 또한 \(\rm P\)를 지나 \(x\)축에 평행한 직선이 \(\rm A'Q\)와 만나는 점을 \(\rm R\)이라 하면 \[{\rm A'R=AP}=f(a),\,{\rm A'Q}=f(a+h),\,{\rm PR=AA'}=h\] 이다. 직선 \(\rm PQ\)와 \(x\)축의 양의 방향과의 교각을 \(\theta\)라 하면 직선 \(\rm PQ\)의 기울기는 \[\tan\theta=\frac{\rm RQ}{\rm PR}=\frac{\rm A'Q-A'R}{\rm PR}=\frac{f(a+h)-f(a)}{h}\] 이다. 곡선 \(\gamma\)를 따라 점 \(\rm Q\)가 \(\rm P\)에 한없이 \(0\)에 가까와 지고, \(|h|=\rm PR\le PQ\) 이므로 \[\lim_{\rm P\to Q}\overline{\rm PQ}=\lim_{h\to0}h=0\] 가 되어 \[\lim_{\rm P\to Q}\tan{\theta}=\lim_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}=f'(a)\] 이것은 \(\rm PQ\)의 기울기가 \(f'(a)\)에 수렴하는 것을 보여준다. 따라서 \(\rm P\)를 지나 기울기가 \(f'(a)\)인 직선 \(\rm PT\)를 그으면 점 \(\rm Q\)를 곡선 \(\gamma\)를 따라 점 \(\rm P\)에 한없이 접근시킬 때, 할선 \(\rm PQ\)는 정직선 \(\rm PT\)에 한없이 가까와 진다. 이 정직선 \(\rm PT\)를 \(\gamma\)의 점 \(\rm P...