미분계수의 기하학적인 의미

함수 \(f\)의 방정식 \(y=f(x)\)로 정의되는 곡선을 \(\gamma\)라고 하자. 미분가능한 구간 내의 두 점 \(a,\,a+h\)를 잡고, \({\rm A}(a),\,{\rm A'}(a+h)\)라하여 \(\rm A\)와 \(\rm A'\)에서 \(x\)축에 수선(垂線)을 그어 \(\gamma\)와의 교점을 각각 \(\rm P,\,Q\)라 한다. 또한 \(\rm P\)를 지나 \(x\)축에 평행한 직선이 \(\rm A'Q\)와 만나는 점을 \(\rm R\)이라 하면

\[{\rm A'R=AP}=f(a),\,{\rm A'Q}=f(a+h),\,{\rm PR=AA'}=h\]

이다. 직선 \(\rm PQ\)와 \(x\)축의 양의 방향과의 교각을 \(\theta\)라 하면 직선 \(\rm PQ\)의 기울기는

\[\tan\theta=\frac{\rm RQ}{\rm PR}=\frac{\rm A'Q-A'R}{\rm PR}=\frac{f(a+h)-f(a)}{h}\]

이다. 곡선 \(\gamma\)를 따라 점 \(\rm Q\)가 \(\rm P\)에 한없이 \(0\)에 가까와 지고, \(|h|=\rm PR\le PQ\) 이므로

\[\lim_{\rm P\to Q}\overline{\rm PQ}=\lim_{h\to0}h=0\]

가 되어

\[\lim_{\rm P\to Q}\tan{\theta}=\lim_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}=f'(a)\]

이것은 \(\rm PQ\)의 기울기가 \(f'(a)\)에 수렴하는 것을 보여준다. 따라서 \(\rm P\)를 지나 기울기가 \(f'(a)\)인 직선 \(\rm PT\)를 그으면 점 \(\rm Q\)를 곡선 \(\gamma\)를 따라 점 \(\rm P\)에 한없이 접근시킬 때, 할선 \(\rm PQ\)는 정직선 \(\rm PT\)에 한없이 가까와 진다. 이 정직선 \(\rm PT\)를  \(\gamma\)의 점 \(\rm P\)에 대한 접선(接線)이라 한다.

「함수 \(f\)가 \(x=a\)에서 미분가능이면 \(y=f(x)\)로 정의되는 곡선 \(\gamma\)는 점\((a,\,f(a))\)에서 접선을 갖고 접선의 기울기는 \(f'(a)\)가 된다.」

곡선 \(\gamma\) 상의 점 \((a,\,f(a))\)에 대한 접선의 방정식은 다음과 같다.

\[y=f(a)+f'(x)(x-a)\]

점 \(\rm P\)를 지나, \(\rm P\)에 대한 접선에 수직인 직선 \(\rm PT'\)을 이 곡선의 \(\rm P\)에 대한 법선(法線)이라 한다. 점 \((a,\,f(a))\)에 대한 법선의 방정식은 다음과 같다.

\[y=f(a)-{1\over f'(x)}(x-a)\]

[예제] \(y=\sin{x}\) 일 때 점 \((\pi/3,\,\sqrt{3}/2)\)에서의 접선과 법선의 방정식을 구하여라.

<풀이> \(y'=\cos{x}\) 이므로 \((y')_{x=\pi/3}={1\over2}\).

접선의 방정식은 \(y={\sqrt{3}\over2}+{1\over2}\left(x-{\pi\over3}\right)\) 이고 법선의 방정식은 \(y={\sqrt{3}\over2}-2\left(x-{\pi\over3}\right)\) 이다.

《문     제》

1. \(f(x)=x^2-x\) 일 때 미분계수의 정의에 의해 \(f'(0),\,f'(2)\)를 구하여라.

<풀이>

\(\begin{align}&f'(0)=\lim_{x\to0}\frac{f(x)-f(0)}{x=0}=\lim_{x\to0}(x-1)=-1,\\&f'(2)=\lim_{x\to2}\frac{f(x)-f(2)}{x-2}=\lim_{x\to2}(x+1)=3.\end{align}\)

2. \(f(x)=|\sin{x}|\ (\text{단, }-2\pi<x<2\pi)\) 일 때, \(x=0,\,x=\pm\pi\)에서의 미분계수가 존재하지 않음을 보여라.

<풀이> \(\begin{Bmatrix}\lim_{h\to+0}\frac{|\sin{h}|}{h}=\ \ \ 1\\\lim_{h\to-0}\frac{|\sin{h}|}{h}=-1\end{Bmatrix}\) 이므로 \(f'(0)\)은 존재하지 않는다.

\(x=\pm\pi\)에서도 마찬가지이다.

3. \(f(x)=\sin|x|\) 일 때 미분계수가 존재하지 않는 점을 구하여라.

<풀이> \(\begin{Bmatrix}\lim_{h\to+0}\frac{\sin|h|}{h}=\ \ \ 1\\\lim_{h\to-0}\frac{\sin|h|}{h}=-1\end{Bmatrix}\) 이므로 \(x=0\)에서 미분계수는 존재하지 않는다.

4. \(f(x)=\tan{x}\) 일 때 정의에 따라 \(f'(x)\)를 구하라.

<풀이>

\(\begin{split}f'(x)&=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\lim_{h\to0}\frac{\tan(x+h)-\tan{x}}{h}\\&=\lim_{h\to0}\frac{\tan{h}}{h}{1+\tan(x+h)\tan{x}}=1+\tan^2x\\&=\sec^2x\end{split}\)

5. \(y=\tan{x}\)의 점 \((\pi/4,\,1)\)에서의 접선 및 법선의 방정식을 구하라.

<풀이> \(y'=\sec^2x\) 이므로 \((y')_{x=\pi/4}=2\).

접선의 방정식은 \(y=f\left({\pi\over4}\right)+f'\left({\pi\over4}\right)\left(x-{\pi\over4}\right)=1+2\left(x-{\pi\over4}\right)\) 이고

법선의 방정식은 \(y=f\left({\pi\over4}\right)-{1\over f'\left({\pi\over4}\right)}\left(x-{\pi\over4}\right)=1-{1\over2}\left(x-{\pi\over4}\right)\) 이다.

6. \(f(x)=\begin{cases}x^2\sin{1\over x}&(x\ne0)\\0&(x=0)\end{cases}\) 일 때 \(f'(0)=0\) 임을 보여라.

<풀이> \(f'(0)=\lim_{h\to0}\frac{f(h)-f(0)}{h}=\lim_{h\to0}h\sin{1\over h}=0.\ \left(\because\ \sin\left|{1\over h}\right|\le1\right)\)

7. \(f(x)=x^{2/3}\)는 \(x=0\)에서 미분불가능임을 보여라.

<풀이> \(\lim_{h\to0}\frac{h^{2/3}}{h}=\begin{cases}\lim_{h\to+0}{1\over h^{1/3}}=\infty\\\lim_{h\to-0}{1\over h^{1/3}}=-\infty\end{cases}\)

8. \(f(x)=\begin{cases}x^{3/2}\sin{1\over x}&(x\ne0)\\0&(x=0)\end{cases}\) 일 때 \(f\)는 \(x=0\)에서 미분가능함을 보여라.

<풀이> \(f'(0)=\lim_{x\to0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim_{x\to0}x^{1/2}\sin{1\over x}=0.\)