기계공학 (Mechanical Engineering)

재료역학에서 단순전단은 요소의 마주보는 두 변이 평행하게 일정 거리를 유지하면서 서로에 대해 상대적으로 이동하는 변형이다. 이 변형은 강체 회전이 존재한다는 점에서 순수전단 (pure shear)과는 다르다. 고무가 단순전단 변형을 할 때 응력-변형률 거동은 거의 선형관계가 된다. 봉의 비틀림 은 단순전단을 받는 실제적인 예이다. 위의 그림과 같은 단순전단의 변형 후 상사 방정식(mapping equation)은 다음과 같다. \[\begin{split}&x=X+\gamma Y\\&y=Y\end{split}\] 따라서 변형구배 (deformation gradient)는 정의에 따라 \[\bf F=\begin{bmatrix}\frac{\partial x}{\partial X}&\frac{\partial x}{\partial Y}\\\frac{\partial y}{\partial X}&\frac{\partial y}{\partial Y}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1&\gamma\\0&1\end{bmatrix}\] 강체회전이 존재하므로 위와 같이 변형구배는 비대칭 행열이 된다. 또한, 그림에서 요소가 변형하는 동안 고정되어 있는 밑변의 방향벡터  \({\bf e}_1\)이라 하고 \({\bf e}_1-{\bf e}_2\)면 상에서 변형이 일어난다고 하면 변형구배는 아래와 같이 쓸 수도 있다. \[{\bf F}={\bf I}+\gamma{\bf e}_1\otimes{\bf e}_2\] --- under construction ---

- 가환 : 연상의 순서를 바꾸어도 그 결과가 변하지 않는 일 - 공리(公理) : 증명할 필요가 없이 자명한 진리이자 다른 명제들을 증명하는데 전제가 되는 원리로서 기본적인 가정 - 공역복소수 : 복소수의 허수부에 덧셈 역원을 취하여 얻는 복소수 - 계(系) : 어떤 명제나 정리로부터 옳다는 것이 쉽게 밝혀지는 다른 명제나 정리 - 단사함수(injective function) : 정의역의 서로 다른 원소를 공역의 서로 다른 원소로 대응시키는 함수 - 대우 : 어떤 조건명제의 가정과 결론을 뒤바꾼 후 각각의 부정을 취한 명제 - 동치 : 두 문장이 논리적으로 같다는 것을 의미 - 명제(命題) : 참 또는 거짓을 검증할 수 있는 객관적 기준이 포함된 문장 - 상(商) : 몫 - 정리(定理) : 수학에서 가정으로부터 증명된 명제 - 직원주 : 직원기둥(축과 밑면이 직각으로 교차하는 원기둥) 직원주 - 필요충분조건 : 명제 'P이면 Q이다.'에서 Q는 P이기 위한 필요조건, P를 Q의 충분조건이라 함. 'P이면 Q이고, Q이면 P이다.'에서 P와 Q는 서로에 대해 필요충분조건

수열의 극한 은 양의 정수의 집합 위에서 정의된 실 함수 의 극한이라 할 수 있다. 극한의 개념은 실수의 임의의 구간 위의 모든 점에서 정의된 함수에서 특히 중요하다. 수열 \(\{a_n\}\)의 극한에서는 n이 한없이 커질 때 \(a_n\)이 어떤 값에 근접하는 가를 조사하였다. 연속변수 함수 f(x)의 극한에서는 x가 어떤 값 a에 가까와질 때 f(x)가 어떤 값에 근접하는 가를 조사한다. [예제 1] 다음 2개의 함수에서 x가 1에 가까와질 때 f(x)는 어떤 값에 가까와지는가를 조사하여라. \[(1)\ f(x)=x+1\qquad(2)\ f(x)=\frac{x^2-1}{x-1}\] <풀이> 아래 그래프에서 x가 1에 가까와질 때 함수 값은 모두 2에 한없이 가까와 진다.   정의 1 (함수의 극한)  함수 f는 a를 포함하는 구간 내의 모든 점에서 정의되어 있다(a에서는 정의되어 있지 않아도 된다). x가 a에 한없이 가까와질 때 가까와지는 방법에 무관하게 f(x)가 일정한 실수 α에 한없이 가까와지면 α를 x가 a에 가까와질 때의 f(x)의 극한 또는 극한값이라 하고, 기호로는 \[\lim_{x\to a}f(x)=\alpha\qquad\text{또는}\qquad x\to a\ \text{일 때}\ f(x)\to\alpha\] 로 나타낸다. \(\lim_{x\to a}f(x)=\alpha\) 일 때 다음 두 조건을 만족하는 수열 \(\{x_n\}\)을 생각한다. (1) \(x_n\in D_f,\,x_n\ne a,\,n=1,\,2,\,3,\,\cdots\) (2) \(\lim_{x\to\infty}x_n=a\) 이 때 수열 \(x_1,\,x_2,\,\cdots,\,x_n,\,\cdots\)에 대하여 함수 f값의 수열 \(f(x_1),\,f(x_2),\,\cdots,\,f(x_n),\,\cdots\)이 정해진다. 가정에 의하여 x→a 일 때 f(x)→α 이므로 정의 1과 (2)에 의하여 \(f(x_n)\)→α 이다. 그런데 x→a 일 때

n개의 원소를 가지는 집합에서 k개를 중복없이 골라 순서에 상관있게 나열하는 경우의 수 \[P(n,\,k)=n(n-1)\cdots(n-k+1)={n!\over(n-k)!}\] <예> 5개 중에서 2개를 뽑는 경우 \[P(5,\,2)=5\cdot(5-2+1)={5!\over(5-2)!}=20\] 모든 경우의 순열을 나타내면 \[1\begin{cases}2\\3\\4\\5\end{cases},\,2\begin{cases}1\\3\\4\\5\end{cases},\,3\begin{cases}1\\2\\4\\5\end{cases},\,4\begin{cases}1\\2\\3\\5\end{cases},\,5\begin{cases}1\\2\\3\\4\end{cases}\]

수열의 극한 이 존재한다는 정리를 증명하기 위해서는 실수의 완비성을 가정해야만 한다. 완비성 공리 S가 공집합이 아닌 실수의 집합일 때 (S≠ø  and S⊆ R ) S가 위로 유계 이면 상한 sup(S)는 단 한개 존재한다. S가 아래로 유계이면 하한 inf(S)는 단 한개 존재한다. [예제 1] 2보다 크고, 그 제곱이 6보다 작은 유리수 전체의 집합을 S라 할 때 sup(S), inf(S)를 구하여라. <풀이> S={x|x>2, x²<6, x는 유리수} 이므로 S의 원은 다음 식을 만족한다.\[2<x<\sqrt{6}\]분명히  S≠ø 이므로 sup(S)=√6, inf(S)=2 정리 1    유계인 단조수열 은 수렴한다. <증명> 수열 \(\{a_n\}\)이 유계인 단조증가수열이라 하자. S ≠ ø 이고 \(S=\{a_1,\,a_2,\,a_3,\,\cdots,\,a_n,\,\cdots\}\)라 놓으면 S는 유계이다. 상한을 sup(S)=a라 하면 다음과 같은 사실을 알 수 있다. (1) 모든 n에 대하여 \(a_n\le a\) (2) a 보다 작은 실수는 상계가 아니다. 따라서 임의의 ε>0에 대하여 이 수열 중에 \[a_N>a-\epsilon\] 을 만족하는 \(a_N\)이 존재한다. 또한 \(\{a_n\}\)은 단조증가이므로 \[n\ge N\ \text{이면}\ a_n\ge a_N\ \therefore\ a_n>a-\epsilon\] 위의 결과와 a는 상한이므로 \[n\ge N\ \text{이면}\ a-\epsilon<a_n\le a\] 곧, 임의의 ε>0에 대하여 \[n\ge N\ \text{이면}\ |a_n-a|<\epsilon\] 임을 알 수 있다. 따라서 \[\lim_{n\to\infty}a_n=a\] \(\{a_n\}\)이 단조감소이고 하한이 b라고 하면 같은 방법으로 다음을 증명할 수 있다. \[\lim_{n\to\infty}a