실수의 지수

지수가 유리수인 경우의 성질을 이용하여 지수가 실수인 경우로 확장한다.

\(3^{\sqrt{2}}\)를 정의해본다.

\[\sqrt{2}=1.41421356\cdots\]

이므로 먼저 수열

\[x_1=1,\,x_2=1.4,\,x_3=1.41,\,x_4=1.414,\,\cdots\]

와 같이 \(\sqrt{2}\)에 수렴하는 유리수열 \(\left\{x_n\right\}\)을 생각한다. 이 각 항을 지수로 하는 수열

\[3^{x_1},\,3^{x_2},\,3^{x_3},\,\cdots,\,3^{x_n},\,\cdots\]

을 만든다. 수열 \(\{x_n\}\)은 증가수열이므로 유리수의 지수 계 2에 의하여 수열 \(\{3^{x_n}\}\)도 증가수열이다. 그런데 \(x_n<\sqrt{2}<2\) 이므로 \(3^{x_n}<3^2\). 따라서 수열 \(\{3^{x_n}\}\)은 유계이다. 이 때 그 극한을 \(3^{\sqrt{2}}\)로 정의한다. 곧, 유리수열 \(\{x_n\}\)에 대하여 \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}=\sqrt{2}\) 일 때 \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}3^{x_n}=3^{\sqrt{2}}\).

위의 개념을 일반화하여 지수 \(\alpha\)가 임의의 실수일 때

\[a^\alpha\ (\text{단},\,a>0)\]

을 정의할 수 있다.

유리수의 지수에서 \(\alpha\)가 유리수인 경우는 이미 정의했으므로 \(\alpha\)가 무리수인 경우를 생각해 본다. \(a>1\) 이고 \(\alpha\)는 무리수라고 하자. \(\alpha\)보다 작은 유리수를 \(r\)이라 하고, \(r\)이 유리수 값만을 취하면서 \(\alpha\)에 가까와질 때 \(a^r\)은 \(r\)이 증가함에 따라 증가하고(단조증가) \(s>\alpha\)인 유리수 \(s\)를 택하면 \(a^r<a^s\) (위로 유계) 이므로 \(a^r\)도 수렴한다. 그 극한을 \(a^\alpha\)이라 한다. 곧,

\[\lim_{r\to\alpha-0}a^r=a^\alpha\]

같은 방법으로 \(\displaystyle\lim_{s\to\alpha+0}\)은 \(s\)가 유리수 값만을 취하면서 큰 쪽에서 \(\alpha\)에 가까와질 때의 극한을 나타낸다.

[예제 1] \(\alpha\)는 무리수, \(r,\,s\)는 유리수이고, \(r<\alpha<s\)라 한다.

\[a>1\ \text{일 때}\ a^r<a^\alpha<a^s\]

임을 증명하여라.

<증명> \(r\)이 증가함에 따라 \(a^r\)도 증가하고, \(\alpha<s\) 이므로 \(\alpha<s'<s\)인 유리수 \(s'\)를 택하면 다음 부등식이 성립하므로 증명되었다.
\[a^r<a^\alpha=\lim_{r\to\alpha-0}a^r\le a^{s'}<a^s.\]

[예제 2] \(\alpha\)는 무리수, \(s\)는 \(\alpha\)보다 큰 유리수라 한다. \(a>1\) 이면 \(s\)가 \(\alpha\)보다 큰 유리수 값을 취하면서 \(\alpha\)에 수렴할 때

\[a^s\text{은 }a^\alpha\text{에 수렴한다. 곧, }\lim_{r\to \alpha+0}a^s=a^\alpha.\]

<증명> \(s\to\alpha+0\) 일 때 각각의 \(s\)에 대응하여 \(r(<\alpha)\)을 \(\alpha\)에 충분히 가깝게 택하면 \(s-r\to0\)으로 되게 할 수 있다. 이 때

\[0<a^s-a^\alpha<a^s-a^r=a^r(a^{s-r}-1)\]

이고 가정에 의하여

\[\lim_{r\to\alpha+0}(a^{s-r}-1)=0\]

이므로

\[\lim_{r\to\alpha+0}(a^s-a^\alpha)=0\ \therefore\ \lim_{s\to\alpha+0}a^s=a^\alpha.\]

이제까지는 \(a>1\)인 경우만 생각하였으나 \(0<a<1\)인 경우에도 유리수 \(r,\,s\)에 대하여

\[r<\alpha<s\text{ 이면 }a^r<a^\alpha<a^s\]

이므로 \(a>1\)인 경우와 같은 방법으로

\[\lim_{r\to\alpha-0}a^r=a^\alpha=\lim_{s\to\alpha+0}a^s\]

이다.

이와 같이 \(a>0\)일 때 임의의 실수 \(x\)에 대하여 \(a^x\)이 정의된다.

지수법칙(지수가 실수인 경우)

\(\lambda,\,\mu\)를 임의의 실수, \(a,\,b\)를 양의 실수라 할 때

\[a^\lambda\cdot a^\mu=a^{\lambda+\mu},\,(a\cdot b)^\lambda=a^\lambda\cdot b^\lambda,\,(a^\lambda)^\mu=a^{\lambda\mu}\]

가 성립한다.

[예제 3] \(\lambda,\,\mu\)는 실수이고, \(\lambda<\mu\)라 한다.

\[a>1\text{ 이면 }a^\lambda<a^\mu,\,0<a<1\text{ 이면 }a^\lambda>a^\mu\]

임을 증명하여라.

<증명> \(\lambda,\,\mu\)가 모두 유리수일 때는 유리수의 지수 계2에 의해서 성립하고, 한 쪽이 유리수이고 다른 것이 무리수일 때는 예제1과 예제2에 의해서 성립한다. 모두 무리수일 때는 \(\lambda<t<\mu\)인 유리수 t를 택하면 아래의 부등식에 의해서 성립한다.

\[a>1\text{ 이면 }a^\lambda<a^t<a^\mu,\,\,0<a<1\text{ 이면 }a^\lambda>a^t>a^\mu\]

[예제 4] \(0<|x|<\infty\) 일 때

\[\lim_{x\to\pm\infty}\left(1+{1\over x}\right)^x=e\]

임을 증명하여라.

<증명> \(x>0\) 일 때 적당한 양의 정수 \(n\)에 대하여 \(n\le x<n+1\) 이므로

\[\begin{align}&{1\over n}\ge{1\over x}>{1\over n+1}\\&1+{1\over n}\ge1+{1\over x}>1+{1\over n+1}\\&\therefore\ \left(1+{1\over n}\right)^{n+1}>\left(1+{1\over x}\right)^x>\left(1+{1\over n+1}\right)^n\end{align}\]

실수의 완비성 예제 6에 의해서 \(n\)이 양의 정수일 때

\[\begin{align}&\lim_{n\to\infty}\left(1+{1\over n}\right)^{n+1}=\lim_{n\to\infty}\left(1+{1\over n}\right)^n\cdot\left(1+{1\over n}\right)=e,\\&\lim_{n\to\infty}\left(1+{1\over n+1}\right)=\lim_{n\to\infty}\frac{\left(1+{1\over n+1}\right)^{n+1}}{\left(1+{1\over n+1}\right)}=e\end{align}\]

실수의 완비성 정리 2에 의하여

\[\lim_{x\to\infty}\left(1+{1\over x}\right)^x=e\]

\(x<0\) 일 때는 \(h=-x(>0)\)라고 놓으면

\[\begin{align}\left(1+{1\over x}\right)^x&=\left(1-{1\over h}\right)^{-h}=\left(h-1\over h\right)^{-h}=\left(h\over h-1\right)^h=\left(1+{1\over h-1}\right)^h\\&=\left(1+{1\over h-1}\right)^{h-1}\cdot\left(1+{1\over h-1}\right)\end{align}\]

이므로

\[\begin{align}&\lim_{x\to-\infty}\left(1+{1\over x}\right)^x=\lim_{h\to\infty}\left(1+{1\over h-1}\right)^{h-1}\cdot\left(1+{1\over h-1}\right)=\lim_{h\to\infty}\left(1+{1\over h}\right)^h=e\\&\therefore\ \lim_{x\to-\infty}\left(1+{1\over x}\right)^x=e\end{align}\]

이상의 결과를 종합하면

\[\lim_{x\to\pm\infty}\left(1+{1\over x}\right)^x=e.\]