실수의 지수

지수가 유리수인 경우의 성질을 이용하여 지수가 실수인 경우로 확장한다.

$3^{\sqrt{2}}$를 정의해본다.

$$\sqrt{2}=1.41421356\cdots$$

이므로 먼저 수열

$$x_1=1,x_2=1.4,x_3=1.41,x_4=1.414,\cdots$$

와 같이 $\sqrt{2}$에 수렴하는 유리수열 $\left\{x_n\right\}$을 생각한다. 이 각 항을 지수로 하는 수열

$$3^{x_1},3^{x_2},3^{x_3},\cdots ,3^{x_n},\cdots$$

을 만든다. 수열 $\{x_n\}$은 증가수열이므로 유리수의 지수 계 2에 의하여 수열 $\{3^{x_n}\}$도 증가수열이다. 그런데 $x_n<\sqrt{2}<2$ 이므로 $3^{x_n}<3^2$. 따라서 수열 $\{3^{x_n}\}$은 유계이다. 이 때 그 극한을 $3^{\sqrt{2}}$로 정의한다. 곧, 유리수열 $\{x_n\}$에 대하여 ${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}=\sqrt{2}}$ 일 때 ${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{3}^{x_n}=3^{\sqrt{2}}}$.

위의 개념을 일반화하여 지수 $\alpha$가 임의의 실수일 때

$$a^{\alpha }(\text{단},a>0)$$

을 정의할 수 있다.

유리수의 지수에서 $\alpha$가 유리수인 경우는 이미 정의했으므로 $\alpha$가 무리수인 경우를 생각해 본다. $a>1$ 이고 $\alpha$는 무리수라고 하자. $\alpha$보다 작은 유리수를 $r$이라 하고, $r$이 유리수 값만을 취하면서 $\alpha$에 가까와질 때 $a^r$은 $r$이 증가함에 따라 증가하고(단조증가) $s>\alpha$인 유리수 $s$를 택하면 $a^r<a^s$ (위로 유계) 이므로 $a^r$도 수렴한다. 그 극한을 $a^{\alpha }$이라 한다. 곧,

$$\underset{r\to \alpha -0}{lim}{a}^r=a^{\alpha }$$

같은 방법으로 ${\displaystyle \underset{s\to \alpha +0}{lim}}$은 $s$가 유리수 값만을 취하면서 큰 쪽에서 $\alpha$에 가까와질 때의 극한을 나타낸다.

[예제 1] $\alpha$는 무리수, $r,s$는 유리수이고, $r<\alpha <s$라 한다.

$$a>1\text{일 때}{a}^r<a^{\alpha }<a^s$$

임을 증명하여라.

<증명> $r$이 증가함에 따라 $a^r$도 증가하고, $\alpha <s$ 이므로 $\alpha <s^{\prime }<s$인 유리수 $s^{\prime }$를 택하면 다음 부등식이 성립하므로 증명되었다.
$$a^r<a^{\alpha }=\underset{r\to \alpha -0}{lim}{a}^r\le a^{s^{\prime }}<a^s.$$

[예제 2] $\alpha$는 무리수, $s$는 $\alpha$보다 큰 유리수라 한다. $a>1$ 이면 $s$가 $\alpha$보다 큰 유리수 값을 취하면서 $\alpha$에 수렴할 때

$$a^s\text{은 }{a}^{\alpha }\text{에 수렴한다. 곧, }\underset{r\to \alpha +0}{lim}{a}^s=a^{\alpha }.$$

<증명> $s\to \alpha +0$ 일 때 각각의 $s$에 대응하여 $r(<\alpha )$을 $\alpha$에 충분히 가깝게 택하면 $s-r\to 0$으로 되게 할 수 있다. 이 때

$$0<a^s-a^{\alpha }<a^s-a^r=a^r(a^{s-r}-1)$$

이고 가정에 의하여

$$\underset{r\to \alpha +0}{lim}(a^{s-r}-1)=0$$

이므로

$$\underset{r\to \alpha +0}{lim}(a^s-a^{\alpha })=0\therefore \underset{s\to \alpha +0}{lim}{a}^s=a^{\alpha }.$$

이제까지는 $a>1$인 경우만 생각하였으나 $0<a<1$인 경우에도 유리수 $r,s$에 대하여

$$r<\alpha <s\text{ 이면 }{a}^r<a^{\alpha }<a^s$$

이므로 $a>1$인 경우와 같은 방법으로

$$\underset{r\to \alpha -0}{lim}{a}^r=a^{\alpha }=\underset{s\to \alpha +0}{lim}{a}^s$$

이다.

이와 같이 $a>0$일 때 임의의 실수 $x$에 대하여 $a^x$이 정의된다.

지수법칙(지수가 실수인 경우)

$\lambda ,\mu$를 임의의 실수, $a,b$를 양의 실수라 할 때

$$a^{\lambda }\cdot a^{\mu }=a^{\lambda +\mu },(a\cdot b{)}^{\lambda }=a^{\lambda }\cdot b^{\lambda },(a^{\lambda }{)}^{\mu }=a^{\lambda \mu }$$

가 성립한다.

[예제 3] $\lambda ,\mu$는 실수이고, $\lambda <\mu$라 한다.

$$a>1\text{ 이면 }{a}^{\lambda }<a^{\mu },0<a<1\text{ 이면 }{a}^{\lambda }>a^{\mu }$$

임을 증명하여라.

<증명> $\lambda ,\mu$가 모두 유리수일 때는 유리수의 지수 계2에 의해서 성립하고, 한 쪽이 유리수이고 다른 것이 무리수일 때는 예제1과 예제2에 의해서 성립한다. 모두 무리수일 때는 $\lambda <t<\mu$인 유리수 t를 택하면 아래의 부등식에 의해서 성립한다.

$$a>1\text{ 이면 }{a}^{\lambda }<a^t<a^{\mu },0<a<1\text{ 이면 }{a}^{\lambda }>a^t>a^{\mu }$$

[예제 4] $0<|x|<\mathrm{\infty }$ 일 때

$$\underset{x\to \pm \mathrm{\infty }}{lim}{(1+\frac{1}{x})}^x=e$$

임을 증명하여라.

<증명> $x>0$ 일 때 적당한 양의 정수 $n$에 대하여 $n\le x<n+1$ 이므로

$$\begin{array}{rl}& \frac{1}{n}\ge \frac{1}{x}>\frac{1}{n+1}\\ & 1+\frac{1}{n}\ge 1+\frac{1}{x}>1+\frac{1}{n+1}\\ & \therefore {(1+\frac{1}{n})}^{n+1}>{(1+\frac{1}{x})}^x>{(1+\frac{1}{n+1})}^n\end{array}$$

실수의 완비성 예제 6에 의해서 $n$이 양의 정수일 때

$$\begin{array}{rl}& \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{(1+\frac{1}{n})}^{n+1}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{(1+\frac{1}{n})}^n\cdot (1+\frac{1}{n})=e,\\ & \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}(1+\frac{1}{n+1})=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{{(1+\frac{1}{n+1})}^{n+1}}{(1+\frac{1}{n+1})}=e\end{array}$$

실수의 완비성 정리 2에 의하여

$$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}{(1+\frac{1}{x})}^x=e$$

$x<0$ 일 때는 $h=-x(>0)$라고 놓으면

$$\begin{array}{rl}{(1+\frac{1}{x})}^x& ={(1-\frac{1}{h})}^{-h}={\left(\frac{h-1}{h}\right)}^{-h}={\left(\frac{h}{h-1}\right)}^h={(1+\frac{1}{h-1})}^h\\ & ={(1+\frac{1}{h-1})}^{h-1}\cdot (1+\frac{1}{h-1})\end{array}$$

이므로

$$\begin{array}{rl}& \underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}{(1+\frac{1}{x})}^x=\underset{h\to \mathrm{\infty }}{lim}{(1+\frac{1}{h-1})}^{h-1}\cdot (1+\frac{1}{h-1})=\underset{h\to \mathrm{\infty }}{lim}{(1+\frac{1}{h})}^h=e\\ & \therefore \underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}{(1+\frac{1}{x})}^x=e\end{array}$$

이상의 결과를 종합하면

$$\underset{x\to \pm \mathrm{\infty }}{lim}{(1+\frac{1}{x})}^x=e.$$