지수함수ㆍ대수함수
정의 1. (지수함수) \(a\)를 양의 실수라 할 때 \[f(x)=a^x\] 으로 정의된 함수 \(f\)를 \(a\)를 밑으로 하는 지수함수 라고 한다. 실수의 지수 예제 3에 의해서 \(a=1\) 일 때에는 \(f(x)=1\) 인 상수함수, \(a>1\) 일 때에는 강한 의미의 증가함수, \(0<a<1\) 일 때에는 강한 의미의 감소함수 이다. 임의의 실수 \(x_0\)에 대하여 \[\lim_{r\to x_0}a^r=a^{x_0}\ (r\text{은 유리수})\] 이고, \(a^x\)는 단조함수이므로 실수 \(x\)에 대해서도 \[\lim_{x\to x_0}a^x=a^{x_0}\] 이다. 따라서 지수함수 \(f\)는 \(D_f=(-\infty,\infty),\,R_f=(0,\infty)\)인 연속함수 이다. 지수함수는 밑이 1이 아닐 때는 강한 의미의 단조함수이므로 그 역함수 가 존재한다. 정의 2. (대수함수) 지수함수 \[f(x)=a^x\ (a>0,\,a\ne1)\] 의 역함수 \(g\)를 밑으로 하는 대수함수라 하고, \[g(x)=\log_ax\ (a>0,\,a\ne1)\] 로 나타낸다. 지수함수의 성질로부터 대수함수 \(g\)는 연속이고, \(D_g=(0,\infty),\,R_g=(-\infty,\infty)\) \(a>1\) 이면 강한 의미의 증가함수 \(0<a<1\) 이면 강한 의미의 감소함수 이다. 또, \(a>1\) 일 때에는 \(\displaystyle\lim_{x\to+0}\log_ax=-\infty,\,\lim_{x\to\infty}\log_ax=\infty\) \(0<a<1\) 일 때에는 \(\displaystyle\lim_{x\to+0}\log_ax=\infty,\,\lim_{x\to\infty}\log_ax=-\infty\) 이다. 정의에 의하여 \[y=a^x\Leftrightarrow\log_ay=x\] 이므로 지수...