기계공학 (Mechanical Engineering)

무차원 변수의 정의 후 지배 방정식에 대입하는 과정으로 유체 유동을 나타내는  무차원 수 를 유도한다. 먼저 비압축성 유체의 나비어-스톡스 방정식 은 \[\rho\left(\frac{\partial{\bf v}}{\partial t}+{\bf v}\cdot\nabla{\bf v}\right)=-\nabla{p}+\mu\nabla^2{\bf v}+\rho{\bf f}\] 정상상태를 가정하고 체적력을 무시하면 다음과 같이 간략화된다. \[\rho v\frac{\partial v}{\partial x}=-\frac{\partial p}{\partial x}+\mu\frac{\partial^2v}{\partial x^2}\] 다음과 같은 무차원 변수를 정의한다. \[\rho^*=\rho/{\rm R}\qquad v^*=v/{\rm V}\qquad x^*=x/{\rm L}\qquad p^*=p/{\rm P}\qquad\mu^*=\mu/{\rm M}\] 위의 방정식에 대입하면 \[\rho^*{\rm R}v^*{\rm V}\frac{\partial(v^*{\rm V})}{\partial(x^*{\rm L})}=-\frac{\partial(p^*{\rm P})}{\partial(x^*{\rm L})}+\mu^*{\rm M}\frac{\partial^2(v^*{\rm V})}{\partial(x^*{\rm L})^2}\] 정리하면 \[\left(\frac{\rm RV^2}{\rm L}\right)\rho^*v^*\frac{\partial v^*}{\partial x^*}=-\left(\frac{\rm P}{\rm L}\right)\frac{\partial p^*}{\partial x^*}+\left(\frac{\rm MV}{\rm L^2}\right)\mu^*\frac{\partial^2v^*}{\partial x^{*2}}\] 양변을 \(\rm RV^2/L\)로 나누면 \[\rho^*v^*\frac{\partial v^*}{\partial x^*}=-\lef...

방정식 \[x^2y-x+y=0\qquad(1)\] 이 주어졌다고 하면 \(y\)는 \(x\)의 함수 라고 생각한다. 이 식을 \(y\)에 대해 풀면 \[y=f(x)=\frac{x}{x^2+1}\qquad(2)\] 가 되고, \(y=f(x)\)는 미분가능 이다. 그리고 (1)의 방정식의 항 \(x^2y,\,x,\,y\)는 모두 미분가능하므로 양변을 \(x\)로 미분하면 \[\begin{split}&2xy+x^2y'-1+y'=0\\&y'(x^2+1)=1-2xy\\&y'=\frac{1-2xy}{x^2+1}\end{split}\] 가 된다. 이와 같이 계산하면 (2)식과 같이 고쳐서 \(y'\)을 계산하는 것보다 용이하다. 또한 (1)은 (2)식과 같이 변형하기가 간단하나, 일반적인 음함수 \[F(x,\,y)=0\qquad(3)\] 이 주어질 때 간단히 \(y=f(x)\) 형으로 반드시 구해진다고 할 수 없다. 그러나, (3)이 함수 \(y=f(x)\)를 \(x\)의 적당한 구간 내에서 정의하여, \(f\)가 미분가능하다고 하면 (3)을 직접 \(x\)로 미분하여 \(y'\)을 구할 수 있다. [예제] \(x^2-6x+y^2-2y=15\) 일 때 점 (-1, 4) 및 (6, 5)에서의 \(dy/dx\)를 계산하여라. <풀이> 양변을 \(x\)로 미분하면 \[\begin{align}&2x-6+2yy'-2y'=0\\&y'=\frac{3-x}{y-1}\end{align}\] 따라서, \(x=-1,\,y=4\) 이면 \(y'=4/3\). \(x=6,\,y=5\) 이면 \(y'=-3/4\).

2개의 확률변수의 상관정도를 나타내는 값으로 확률변수 \(X\)와 \(Y\)의 기대값(평균)이 각각 \(\mu,\,\nu\)라고 하면 \[E(X)={1\over n}\sum_{i=1}^nx_i=\mu,\,E(Y)={1\over n}\sum_{i=1}^ny_i=\nu\] 공분산(covariance)는 다음과 같다. \[{\rm Cov}(X,\,Y)=E\{(X-\mu)(Y-\nu)\}={1\over n}\sum_{i=1}^n(x_i-\mu)(y_i-\nu)\] 즉, 각 확률변수 \(X,\,Y\) 편차의 곱의 평균을 의미한다. 확률변수 \(X,\,Y\)가 각각 \(m,\,n\)차의 열벡터를 가질 때는 \(m\times n\) 공분산 행렬로 나타낼 수 있다. \[X=\begin{pmatrix}x_1&x_2&\cdots&x_m\end{pmatrix},\,Y=\begin{pmatrix}y_1&y_2&\cdots&y_n\end{pmatrix}\] \[{\rm Cov}(X,\,Y)=E\{(X-\mu)(Y-\nu)^T\}=\{{\rm Cov}(X,\,Y)\}^T\] [예제] 위의 확률변수 \(X\)와 \(Y\)의 공분산 \({\rm Cov}(X,\,Y)\)는 다음과 같이 나타낼 수 있음을 증명하여라. \[{\rm Cov}(X,\,Y)=E(X,\,Y)-\mu\nu\] <증명> 기대값의 선형성과 평균의 정의\((\mu=E(X),\,\nu=E(Y))\)를 이용한다. \[\begin{split}{\rm Cov}(X,\,Y)&=E\{(X-\mu)(Y-\nu)\}=E(XY-X\nu-Y\mu+\mu\nu)\\&=E(XY)-E(X\nu)-E(Y\mu)+E(\mu\nu)=E(XY)-\nu E(X)-\mu E(Y)+\mu\nu\\&=E(XY)-\nu\mu-\mu\nu+\mu\nu=E(XY)-\mu\nu\end{split}\]

이공학의 많은 분야에서 나타는 쌍곡선 함수와 그 적분 에 대해서 알아 보자. 먼저 쌍곡선 함수를 정의한다. \[\sinh{x}=\frac{e^x-e^{-x}}{2},\qquad\cosh{x}=\frac{e^x+e^{-x}}{2}\] 라 주고, 이들을 각각 쌍곡선 사인과 쌍곡선 코사인이라 한다. 위의 정의로부터 다음 항등식이 성립함을 알 수 있다. \[\cosh^2x-\sinh^x=1\] 또한 \[\begin{split}\tanh2x=\frac{\sinh{x}}{\cosh{x}},\qquad\coth{x}=\frac{\cosh{x}}{\sinh{x}}\\{\rm sech}\,{x}=\frac{1}{\cosh{x}},\qquad{\rm csch}\,{x}=\frac{1}{\sinh{x}}\end{split}\] 로 정의하고 함수 \(\sinh{x},\,\cosh{x},\,\tanh{x},\,\coth{x},\,{\rm sech}\,x\) 및 \({\rm csch}\,x\)를 총칭해서 쌍곡선 함수라 한다. 쌍곡선 함수는 삼각함수 와 비슷한 성질을 가지고 있으나, 그의 기하학적 의미를 생각하는 것보다, 형식적으로 위의 정의식에 의해서 도입된 함수라고 알고 있는 것이 좋다. 맨 앞의 두 식을 미분 하면 바로 \[(\sinh{x})'=\cosh{x}\qquad(\cosh{x})'=\sinh{x}\] 가 성립함을 알 수 있다. 따라서 다음 공식 \[\int\sinh{x}dx=\cosh{x},\qquad\int\cosh{x}dx=\sinh{x}\] 을 얻는다. 또한 두번째 정의식의 처음 두 식을 미분하면 \[(\tanh{x})'={\rm sech}^2x,\qquad(\coth{x})'=-{\rm csch}^2x\] 을 얻는다. 따라서 다음 공식을 얻는다. \[\int{\rm sech}^2xdx=\tanh{x}\qquad\int{\rm csch}^2x-=-\coth{x}\]  

2개의 변수 \(x,\,y\)가 동시에 다른 한 개의 변수 \(t\)의 함수 가 되어 \[x=f(t),\,y=g(t)\] 로 표현되는 경우, 일반적으로 \(y\)는 \(t\)를 매개로 하는 \(x\)의 함수라고 생각할 수 있다. \(x=f(t),\,y=g(t)\)가 미분가능 하며 \(x=f(t)\)의 역함수 \(t=h(x)\)가 존재하고 미분가능하면 \[y=g(t)=g(h(t))=(g\circ h)(x)\] 또한 \(f'(t)=\frac{dx}{dy}\ne0\) 이면 \(h'(x)=\frac{1}{dx\over dt}\) 이므로  합성함수의 미분법 에 의해 \[\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{dt}\frac{dt}{dx}=\frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}=\frac{g'(t)}{f'(t)}\] [예제 1] \(x=r\cos\alpha t,\,y=r\sin\alpha t(\alpha\ne0)\) 일 때 \(dy/dx\)를 구하여라. (단, \(r,\,\alpha\)는 정수이다.) <풀이> \(\frac{dx}{dt}=-\alpha\sin\alpha t,\,\frac{dy}{dt}=\alpha r\cos\alpha t\) \(\frac{dx}{dt}\ne0\)이기 위해서는 \(t\ne\frac{n\pi}{\alpha}\)이면 된다. 따라서 \(t=\frac{n\pi}{\alpha}\) 이면 \(\frac{dy}{dx}=\frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}=\frac{\alpha r\cos\alpha t}{-\alpha r\sin\alpha t}=-\cot\alpha t.\)