기계공학 (Mechanical Engineering)

1. 다음 함수의 정의역을 구하여라. (1) \(f(x,y)=\sqrt{\frac{x-y}{x+y}}\)     (2) \(f(x,y)=\frac{xy}{x^2-y^2}\) <풀이> (1) (i) \(x=y\) 이면 \(f(x,y)=0\), (ii) \(x+y\ne0\) 이므로 \(x\ne-y\), (iii) \(x-y>0\) 이면 \(x+y>0\), (iv) \(x-y<0\) 이면 \(x+y<0\) (i), (ii), (iii), (iv)로부터 정의역은 \(x^2>y^2\)와 \(x=y\)인 점 \((x,y)\)들의 집합 (2) \(x^2\ne y^2\) 이므로 정의역은 \(x=\pm y\)인 점을 제외한 모든 평면상의 점 \((x,y)\) 2. 다음 함수의 \((x,y)\rightarrow(0,0)\)일 때의 극한을 구하여라. (1) \(f(x,y)=\sqrt{\frac{|xy|}{x^2+y^2}}\)     (2) \(f(x,y)=\frac{3x^2+5y^2}{\sqrt{x^2+y^2}}\) <풀이> (1) \(y=mx\)를 따라 접근시키면 \[\sqrt{\frac{|m|}{1+m^2}}\] \(m\)은 임의의 실수이므로 극한치는 없다. (2) \(x=r\cos\theta,\,y=r\sin\theta\)라 놓으면 \(r\rightarrow0\)은 \((x,y)\rightarrow(0,0)\)와 동치 이다. 그리고 \(f(x,y)=z\)라 하면 \(z=r(3\cos^2\theta+5\sin^2\theta)\). \[\therefore\ \lim_{(x,y)\to(0,0)}z=\lim_{r\to0}r(3\cos^2\theta+5\sin^2\theta)=0\] 3. 다음 함수의 연속성을 조사하여라. (1) \(f(x,y)=\begin{cases}\frac{xy}{\sqrt{x^2+y^2}}&(x,y)\ne(0,0)\\\quad\ 0...

정의 1. (지수함수)     \(a\)를 양의 실수라 할 때 \[f(x)=a^x\] 으로 정의된 함수 \(f\)를 \(a\)를 밑으로 하는 지수함수 라고 한다. 실수의 지수 예제 3에 의해서 \(a=1\) 일 때에는 \(f(x)=1\) 인 상수함수, \(a>1\) 일 때에는 강한 의미의 증가함수, \(0<a<1\) 일 때에는 강한 의미의 감소함수 이다. 임의의 실수 \(x_0\)에 대하여 \[\lim_{r\to x_0}a^r=a^{x_0}\ (r\text{은 유리수})\] 이고, \(a^x\)는 단조함수이므로 실수 \(x\)에 대해서도 \[\lim_{x\to x_0}a^x=a^{x_0}\] 이다. 따라서 지수함수 \(f\)는 \(D_f=(-\infty,\infty),\,R_f=(0,\infty)\)인 연속함수 이다. 지수함수는 밑이 1이 아닐 때는 강한 의미의 단조함수이므로 그 역함수 가 존재한다. 정의 2. (대수함수)    지수함수 \[f(x)=a^x\ (a>0,\,a\ne1)\] 의 역함수 \(g\)를 밑으로 하는 대수함수라 하고, \[g(x)=\log_ax\ (a>0,\,a\ne1)\] 로 나타낸다. 지수함수의 성질로부터 대수함수 \(g\)는 연속이고, \(D_g=(0,\infty),\,R_g=(-\infty,\infty)\) \(a>1\) 이면 강한 의미의 증가함수 \(0<a<1\) 이면 강한 의미의 감소함수 이다. 또, \(a>1\) 일 때에는 \(\displaystyle\lim_{x\to+0}\log_ax=-\infty,\,\lim_{x\to\infty}\log_ax=\infty\) \(0<a<1\) 일 때에는 \(\displaystyle\lim_{x\to+0}\log_ax=\infty,\,\lim_{x\to\infty}\log_ax=-\infty\) 이다. 정의에 의하여 \[y=a^x\Leftrightarrow\log_ay=x\] 이므로 지수...

The Navier-Stokes equations are derived in cylindrical coordinates . Since the strain rate tensor \({\bf D}=({\bf L}+{\bf L}^T)/2\), if \({\bf V}=v_r{\bf e_r}+v_\theta{\bf v_\theta}+v_z{\bf e_z}\) (where \(L=\nabla{V}\) is the gradient tensor of velocity vector ), the strain rate and stress tensors are \[\begin{split}&{\bf D}=\begin{bmatrix}\dfrac{\partial v_r}{\partial r}&\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{\partial v_r}{r\partial\theta}-\dfrac{v_\theta}{r}+\dfrac{\partial v_\theta}{\partial r}\right)&\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{\partial v_r}{\partial z}+\dfrac{\partial v_z}{\partial r}\right)\\\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{\partial v_r}{r\partial\theta}-\dfrac{v_\theta}{r}+\dfrac{\partial v_\theta}{\partial r}\right)&\dfrac{\partial v_\theta}{r\partial\theta}+\dfrac{v_r}{r}&\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{\partial v_\theta}{\partial z}+\dfrac{\partial v_z}{r\partial\theta}\right)\\\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{\partial v_r}{\partial z}+\dfrac{\partial v_z}{\partial r}\right)&\dfrac{1}{...

스프링 을 아래 그림과 같이 각각 직렬과 병렬로 연결했을 때 처짐량 계산을 위한 등가 스프링상수를 유도한다. 직 직렬 2개의 직렬 스프링을 평형상태에서 연결된 블락의 위치를 변화시키면, 각 스프링의 변위량은 \(\delta_1\)과 \(\delta_2\)이고 전체 변위량 \(\delta_1+\delta_2\)가 된다. 따라서 블락에 작용하는 힘 F에 대한 방정식은 다음과 같다. \[F=k_{eq}(\delta_1+\delta_2)\] 각 스프링에 작용하는 힘은 같아야 한다. 그렇지 않으면 스프링은 좌굴될 것이다. 더우기 이 힘은 블락에 작용하는 힘 F와 같으므로 \[F=F_1=k_1\delta_1=F_2=k_2\delta_2\] 위의 식을 \(\delta_1\)과 \(\delta_2\)에 대해서 풀면 \[\delta_1=\frac{F_1}{k_1},\qquad\delta_2=\frac{F_2}{k_2}\] 그리고 유사하게 전체 변위량에 대해서 위의 식을 대입하고, \(F=F_1=F_2\) 이므로 \[\delta_1+\delta_2=\frac{F}{k_{eq}}=\frac{F_1}{k_1}+\frac{F_2}{k_2}=F\left(\frac{1}{k_1}+\frac{1}{k_2}\right)\] 따라서 등가 스프링 상수는 다음과 같다. \[\frac{1}{k_{eq}}=\frac{1}{k_1}+\frac{1}{k_2},\qquad k_{eq}=\frac{k_1k_2}{k_1+k_2}\] 병렬 2개의 스프링이 블락에 접촉하고 있으므로 각 스프링의 변위는 동일하다. 그러므로 블락에 작용하는 하중 \(F\)는 \[F=k_{eq}\delta=F_1+F_2=k_1\delta+k_2\delta=(k_1+k_2)\delta\] 위의 식으로부터 등가 스프링상수는 \[k_{eq}=k_1+k_2\] 이다.

지수가 유리수인 경우의 성질을 이용하여 지수가 실수인 경우로 확장한다. \(3^{\sqrt{2}}\)를 정의해본다. \[\sqrt{2}=1.41421356\cdots\] 이므로 먼저 수열 \[x_1=1,\,x_2=1.4,\,x_3=1.41,\,x_4=1.414,\,\cdots\] 와 같이 \(\sqrt{2}\)에 수렴하는 유리수열 \(\left\{x_n\right\}\)을 생각한다. 이 각 항을 지수로 하는 수열 \[3^{x_1},\,3^{x_2},\,3^{x_3},\,\cdots,\,3^{x_n},\,\cdots\] 을 만든다. 수열 \(\{x_n\}\)은 증가수열이므로 유리수의 지수 계 2에 의하여 수열 \(\{3^{x_n}\}\)도 증가수열이다. 그런데 \(x_n<\sqrt{2}<2\) 이므로 \(3^{x_n}<3^2\). 따라서 수열 \(\{3^{x_n}\}\)은 유계 이다. 이 때 그 극한 을 \(3^{\sqrt{2}}\)로 정의한다. 곧, 유리수열 \(\{x_n\}\)에 대하여 \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}=\sqrt{2}\) 일 때 \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}3^{x_n}=3^{\sqrt{2}}\). 위의 개념을 일반화하여 지수 \(\alpha\)가 임의의 실수일 때 \[a^\alpha\ (\text{단},\,a>0)\] 을 정의할 수 있다. 유리수의 지수에서 \(\alpha\)가 유리수인 경우는 이미 정의했으므로 \(\alpha\)가 무리수인 경우를 생각해 본다. \(a>1\) 이고 \(\alpha\)는 무리수라고 하자. \(\alpha\)보다 작은 유리수를 \(r\)이라 하고, \(r\)이 유리수 값만을 취하면서 \(\alpha\)에 가까와질 때 \(a^r\)은 \(r\)이 증가함에 따라 증가하고(단조증가) \(s>\alpha\)인 유리수 \(s\)를 택하면 \(a^r<a^s\) (위로 유계) 이므로 \(a^r\)도 수렴한다. 그 극한을 ...