기계공학 (Mechanical Engineering)

스프링 을 아래 그림과 같이 각각 직렬과 병렬로 연결했을 때 처짐량 계산을 위한 등가 스프링상수를 유도한다. 직 직렬 2개의 직렬 스프링을 평형상태에서 연결된 블락의 위치를 변화시키면, 각 스프링의 변위량은 \(\delta_1\)과 \(\delta_2\)이고 전체 변위량 \(\delta_1+\delta_2\)가 된다. 따라서 블락에 작용하는 힘 F에 대한 방정식은 다음과 같다. \[F=k_{eq}(\delta_1+\delta_2)\] 각 스프링에 작용하는 힘은 같아야 한다. 그렇지 않으면 스프링은 좌굴될 것이다. 더우기 이 힘은 블락에 작용하는 힘 F와 같으므로 \[F=F_1=k_1\delta_1=F_2=k_2\delta_2\] 위의 식을 \(\delta_1\)과 \(\delta_2\)에 대해서 풀면 \[\delta_1=\frac{F_1}{k_1},\qquad\delta_2=\frac{F_2}{k_2}\] 그리고 유사하게 전체 변위량에 대해서 위의 식을 대입하고, \(F=F_1=F_2\) 이므로 \[\delta_1+\delta_2=\frac{F}{k_{eq}}=\frac{F_1}{k_1}+\frac{F_2}{k_2}=F\left(\frac{1}{k_1}+\frac{1}{k_2}\right)\] 따라서 등가 스프링 상수는 다음과 같다. \[\frac{1}{k_{eq}}=\frac{1}{k_1}+\frac{1}{k_2},\qquad k_{eq}=\frac{k_1k_2}{k_1+k_2}\] 병렬 2개의 스프링이 블락에 접촉하고 있으므로 각 스프링의 변위는 동일하다. 그러므로 블락에 작용하는 하중 \(F\)는 \[F=k_{eq}\delta=F_1+F_2=k_1\delta+k_2\delta=(k_1+k_2)\delta\] 위의 식으로부터 등가 스프링상수는 \[k_{eq}=k_1+k_2\] 이다.

지수가 유리수인 경우의 성질을 이용하여 지수가 실수인 경우로 확장한다. \(3^{\sqrt{2}}\)를 정의해본다. \[\sqrt{2}=1.41421356\cdots\] 이므로 먼저 수열 \[x_1=1,\,x_2=1.4,\,x_3=1.41,\,x_4=1.414,\,\cdots\] 와 같이 \(\sqrt{2}\)에 수렴하는 유리수열 \(\left\{x_n\right\}\)을 생각한다. 이 각 항을 지수로 하는 수열 \[3^{x_1},\,3^{x_2},\,3^{x_3},\,\cdots,\,3^{x_n},\,\cdots\] 을 만든다. 수열 \(\{x_n\}\)은 증가수열이므로 유리수의 지수 계 2에 의하여 수열 \(\{3^{x_n}\}\)도 증가수열이다. 그런데 \(x_n<\sqrt{2}<2\) 이므로 \(3^{x_n}<3^2\). 따라서 수열 \(\{3^{x_n}\}\)은 유계 이다. 이 때 그 극한 을 \(3^{\sqrt{2}}\)로 정의한다. 곧, 유리수열 \(\{x_n\}\)에 대하여 \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}=\sqrt{2}\) 일 때 \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}3^{x_n}=3^{\sqrt{2}}\). 위의 개념을 일반화하여 지수 \(\alpha\)가 임의의 실수일 때 \[a^\alpha\ (\text{단},\,a>0)\] 을 정의할 수 있다. 유리수의 지수에서 \(\alpha\)가 유리수인 경우는 이미 정의했으므로 \(\alpha\)가 무리수인 경우를 생각해 본다. \(a>1\) 이고 \(\alpha\)는 무리수라고 하자. \(\alpha\)보다 작은 유리수를 \(r\)이라 하고, \(r\)이 유리수 값만을 취하면서 \(\alpha\)에 가까와질 때 \(a^r\)은 \(r\)이 증가함에 따라 증가하고(단조증가) \(s>\alpha\)인 유리수 \(s\)를 택하면 \(a^r<a^s\) (위로 유계) 이므로 \(a^r\)도 수렴한다. 그 극한을 ...

나사산 의 꼭지면을 봉우리(crest)라 하고, 나사 봉우리와 골을 연결하는 나사면을 플랭크(flank), 나사의 축선을 포함하는 단면에서 서로 이웃한 나사산에 대응하는 2점 사이의 축 방향 거리를 피치(pitch)라 한다. 나사에 사용되는 지름은 다음과 같다. (1) 바깥지름(major diameter) : 수나사의 축에 직각으로 측정한 최대지름 \(d\)를 말하고, 나사의 크기는 나사의 바깥지름으로 표시하며 공칭지름이라고 한다. (2) 골지름(minor diameter) : 수나사에서는 최소 지름이 되고 \(d_1\)으로 표시한다. 암나사에서는 최대 지름이 되고 \(D\)로 표시한다. (3) 안지름 : 암나사의 최소 지름 \(D_1\)을 말한다. (4) 유효지름 : 바깥지름 \(d\)와 골지름 \(d_1\)의 평균 지름 \((d+d_1)/2\)를 말하며 피치 지름 \(d_2\)이라고도 한다. 바깥지름 \(d\)와 골지름 \(d_1\)의 차의 1/2는 나사높이 \(h\)가 된다. 나사곡선과 그 위의 한 점을 통과하는 나사의 축에 평행한 직선과 이루는 각을 비틀림각  \(\lambda\)라 하며 리이드각 \(\alpha\)와는 다음 식이 성립한다. \[\lambda+\alpha=90^\circ\] 인접한 2개의 플랭크가 맺는 각을 나사산각이라 하며, 플랭크의 축선에 직각인 직선과 맺는 갓을 플랭크각(angle of flank)이라 하며, 3각나사에서는 나사산각 \(2\beta\)가 플랭크각 \(\beta\)의 2배가 된다.

임의의 정수 p에 대하여 함수 f를 \[f(x)=x^p,\ x>0\] 으로 정의한다. p=0 일 때는 f(x)=1 이므로 상수함수 p<0 일 때는 p'=-p라 두면 \(f(x)=x^p=x^{-p'}=1/x^{p'}\) 따라서 p≠0 일 때 f에 대하여 \(D_f=R_f=(0,\infty)\)이고, 연속 이며 p>0 이면 강한 의미의 단조등가함수 p<0 이면 강한 의미의 단조감소함수 임을 알 수 있다. 그러므로 p ≠0 일 때에는 f의 역함수 가 존재하고 이것을 g라 하면 \[g(x)=x^{1\over p}=\sqrt[p]{x}\] 로 나타낸다. g에 대해서도 역함수 정리 1에 의해서   \(D_f=R_f=(0,\infty)\)이고, 연속이며 p>0 이면 강한 의미의 단조등가함수 p<0 이면 강한 의미의 단조감소함수 임을 알 수 있다. 특히 양의 정수 q에 대하여 함수 h를 \[h(x)=x^{1\over q},\ x>0\] 로 정의하고, p가 0이 아닌 임의의 정수일 때 f와 h의 합성함수 F를 다음과 같이 정의한다. \[F(x)=(f\circ h)(x)=f\{h(x)\}=\left(x^{1\over q}\right)^p=x^{p\over q}=\sqrt[q]{x^p}\] F는 연속함수 f와 h의 합성함수이므로 연속함수이다. 따라서 정의역·치역은 모두  \(D_f=R_f=(0,\infty)\). 그런데 p=0 이면 p/q=0, \(x^0=1\) 이므로 p=0 인 경우도 포함하여 \(x^{p/q}\)를 정의할 수 있다. p가 임의의 정수이고, q가 양의 정수이면 p/q는 유리수이므로 임의의 유리수 r에 대하여 \[x^r\ \text{(x는 양의 실수)}\] 이 정의된다. 이들에 대한 내수적 계산은 다음 지수법칙을 활용한다. 지수법칙 (지수가 유리수인 경우) r, s를 임의의 유리수, a, b를 임의의 양수라 할 때 \[a^r\cdot a^s=a^{r+s},\qquad(a\cdot b)^r=a...

실수 상에서 관계식 \[f(x)=x\] 로 정의된 함수 f의 각 x에 대한 값은 x 자신이다. f는 항등함수이고 기호 I로 나타낸다. \[I(x)=x\] 따라서 임의의 함수 g에 대하여 \[I\circ g=g\circ I=g\] [ 예제 1 ] \(f(x)=x^3,\,g(x)=x^{1\over3}\) 일 때 합성함수 \(f\circ g,\,g\circ f\)를 구하여라. <풀이 > \(\begin{align}&(g\circ f)(x)=g\{f(x)\}=g(x^3)\ =(x^3)^{1\over3}=x\\&(f\circ g)(x)=f\{g(x)\}=f(x^{1\over3})=(x^{1\over3})^3=x\end{align}\) 따라서 \(g\circ f=f\circ g=I\) [예제 2 ] \(f(x)={1\over x}\) 일 때 합성함수 \(f\circ f\)를 구하여라. <풀이 > \(\begin{align}(f\circ f)(x)=f({1\over x})={1\over{1\over x}}=x\end{align}\). 따라서 \(f\circ f=I\). 정의 1. (역함수) 함수 f에 대하여 함수 g가 조건 \[g\circ f=f\circ g=I\] 를 만족할 때 g를 f의 역함수(逆函數) 라고 한다. 이 때 \[g=f^{-1}\] 로 나타낸다. 정의로부터 역함수의 역함수는 원함수이다. 곧, \[(f^{-1})^{-1}=f\] 이므로 \(f\)와 \(f^{-1}\)은 서로 다른 것의 역함수이다. 또한 \[{\rm D}_f={\rm R}_{f^{-1}},\qquad {\rm R}_f={\rm D}_{f^{-1}}\] 이다. g가 f의 역함수, \(g=f^{-1}\) 이면 f(x)=y 일 때 \[g(y)=g\{f(x)\}=(g\circ f)(x)=I(x)=x\] 이다. g도 함수이므로 y에 대하여 g(y)는 단 한 개 있다. 만약 \[f(x_1)=f(x_2)=y\] 이라고 하면 \[\beg...