기계공학 (Mechanical Engineering)

1. 다음의 극한값 을 구하여라. (1) \(\displaystyle\lim_{x\to2}\frac{x^3+2x^2-3x-4}{x+2}=\frac{2^3+(2)2^2-(3)(2)-4}{2+2}={3\over2}\) (2) \(\displaystyle\lim_{x\to-2}\frac{x+2}{x^2-4x-12}=\lim_{x\to-2}{1\over x-6}=-{1\over8}\) (3) \(\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{2x^2-x}{x^2-3x}=\lim_{x\to0}\frac{2x-1}{x-3}={1\over3}\) (4) \(\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{x}{\tan2x}=\lim_{x\to0}\frac{2x}{2\tan2x}={1\over2}\) (5) \(\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{1-\cos x}{\sin^2x}=\lim_{x\to0}\frac{1}{1+\cos x}={1\over2}\) (6) \(\displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{4x^3-5x^2+1}{x-x^2-7x^3}=\lim_{x\to\infty}\frac{4-{5\over x}+{1\over x^2}}{{1\over x^2}-{1\over x}-7}=-{4\over7}\) (7) \(\displaystyle\lim_{x\to1}\frac{x^n-1}{x-1}\text{(n은 자연수)}=\lim_{x\to1}(1+x+x^2+\cdots+x^{n-1})=n\) 위의 문제는 등비수열 을 참조한다. (8) \(\displaystyle\lim_{x\to\infty}\left(\sqrt{x+1}-\sqrt{x}\right)=\lim_{x\to\infty}\frac{1}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}}=0\) (9) \(\displaystyle\lim_{x\to\infty}x\left(x-\sqrt{x^2-a^2}\right)=\lim_{x\to\infty}\frac{a^2x}{

정적 부정정 구조(statically indeterminate structure) 해석을 위한 강성법(stiffness method)는 미지수로 변위(하중 대신)를 취한다는 점에서 유성법 (flexibility method)과 다르다. 이러한 이유로 이 방법은 변위법(displacement method)으로도 불리운다. 이 미지수들은 강성  형태의 계수를 포함한 평형 (equilibrium) 방정식(양립성(compatibility) 방정식 대신)들을 풀어서 얻게 된다. 이 강성법은 꽤 일반적이며 여러 다양한 구조에 이용할 수 있다. 하지만, 유성법 처럼 선형 탄성 거동을 보이는 구조물에 한정된다. 그림 1 정적 부정정 봉 (강성법 해석) 강성법을 설명하게 위해 강체 지지부 사이의 균일단면 봉을 해석해 본다(그림 1a). Ra와 Rb는 지지부 반력들을 의미한다. 이 방법에서는 봉의 두 부분 연결부 C점의 수직변위 δc를 미지수로 취한다. 봉의 상하부 수직력 Ra와 Rb는 다음과 같이 δc의 항으로 표현할 수 있다. \[R_a={EA\over a}\delta_c\qquad R_b={EA\over b}\delta_c\qquad\cdots(1)\] 이 방정식들에서 δc는 아래방향이 양으로 가정하여, 봉의 상부는 인장 그리고 하부는 압축을 받도록 하였다. 그 다음 봉의 C점을 자유물체(free body)로 떼어낸다(그림 1b). 이 자유물체에는 아래방향으로 하중 P, 상부에는 인장력 Ra 및 하부에는 압축력 Rb가 작용한다. 정적 평형으로부터 식 (1)을 대입하면 \[R_a+R_b={EA\over a}\delta_c+{EA\over b}\delta_c=P\] 이 식으로부터 \[\delta_c={Pab\over EAL}\] (a+b=L 이므로). δc를 알게 되었으므로, 이제 식 (1)로부터 Ra와 Rb를 구할 수 있다. \[R_a={Pb\over L}\qquad R_b={Pa\over L}\] 이 결과들은 당연히 하중법(유성법)으로 유도한 것들과 동일하다. 그

축하중을 받는 봉 (axially loaded member)이 자유물체도(free body diagram)와 평형 방정식에 의해서 축하중과 지지부의 반력들을 구할 수 있는 경우 정정(statically determinate) 구조로 분류된다. 하지만 많은 구조에서 정적 평형만으로는 축하중과 반력들을 구하는데 불충분하다. 이 구조들은 부정정(statically indeterminate)으로 불린다. 이 경우 변위를 포함한 방정식을 추가하여 평형 방정식을 보완한다. 부정정 구조를 분석하기 위한 일반적인 2개의 방법으로 하중법(force method)과 변위법(displacement method)이 있으며, 여기서는 연성법(flexibility method)으로도 불리우는 하중법을 다룬다. 하중법을 설명하기 위해 아래 그림 1과 같은 부정정 봉을 분석해 본다. 균일단면 봉AB가 양단에 강제 지지되어 있고 그 사이 C점에 축하중 P를 받고 있다. 그림 1 부정정 봉 (하중법 분석) 결과적으로 반력 Ra와 Rb가 봉의 양단에 발생한다. 이 반력들은 다음과 같이 단 하나의 독립적인 정적평형 방정식만이 존재하므로 정적으로만 구할 수 없다. \[R_a+R_b=P\] 이 방정식은 두 개의 미지수를 가지고 있으므로 이들을 계산하기에 불충분하다. 봉의 늘음으로부터 두번째 방정식을 얻어야만 한다. 이 예제에서는 Ra를 정적 잉여(statical redundant)로 잡아 본다. 미지의 반력 Ra가 구조에서 제거되면 그림 b에서 나타난 바와 같이 지지부 A가 해제된다. 이제 이 제거구조의 하중 P로 인한 A점에서의 변위를 생각한다. 이 변위는 \[\delta_P={Pb\over EA}\] 이며 아래 방향이다. 다음, 잉여 Ra로 인한 A점의 변위를 생각한다(그림 c). Ra로 인한 상방향 변위는 \[\delta_R={R_aL\over EA}\] 이다. P와 Ra가 동시에 작용하는 A점의 최종 변위는 \(\delta_P\)와 \(\delta_R\)를 조합하여 구한다. 아래를

개요 (Introduction) 웨이블릿(wavelets) 은 데이터의 노이즈 제거와 데이터 스트림(data streams) 및 영상(image) 압축에 뛰어난 신호처리도구(signal processing toolkit)이다. 양호한 계측을 위해 푸리에 변환(Fourier transforms)의 많은 장점을 극대화할 수 있는 이동평균법(moving average) 이다. 사실 , FBI는 웨이블릿 데이터 압축 기술을 데이터베이스에 지문 이미지의 파일 크기를 줄이기 위해 사용한다. 웨이블릿의 역사는 알프레드 하르(Alfred Haar)가 처음 '하르 변환(Haar transform)을 제안한 1909년으로부터 시작된다. 하지만 그 전에 1987년 인그리드 다우베치즈(Ingrid Daubechies)가 일반적인 웨이블릿 변환(general wavelet trasforms)을 제시하였고, 하르 변환은 그것의 특별한 경우이며, 사실 이것은 디지털 신호처리에 매우 유용한 것이었다. 이 시점이 웨이블릿 분석의 시작이었다. 하르 변환 (Haar Transform) 다음과 같이 계단형 신호 특성을 가진 8개 데이터 점을 생각한다. 8개의 원 데이터 값은 \[\text{Original 8 values}\ \to\ (y_1,y_2,y_3,y_4,y_5,y_6,y_7,y_8)=(5,5,5,2,2,2,7,7)\] 이제 다음을 수행한다: (i) 8개 데이터 점을 각각 2점씩 짝을 이루어 4개의 그룹으로 만들고, (ii) 각 짝을 이루는 값들의 합과 차를 아래와 같이 계산한다. \(\begin{matrix}\rm{Sum_1}=y_1+y_2=10&\rm{Sum_2}=y_3+y_4=7&\rm{Sum_3}=y_5+y_6=4&\rm{Sum_4}=y_7+y_8=14\\\rm{Diff_1}=y_1-y_2=0&\rm{Diff_2}=y_3-y_4=3&\rm{Diff_3}=y_5-y_6=0&\rm{Diff_4}=y_7-y_8=0\end{matr

정의 1 .   (x→∞일 때의 극한 ) f는 무한구간 (a, ∞)에서 정의된 함수 이다. 임의의 ε>0에 대하여 적당한 실수 M을 택할 때 x>M인 모든 x에 대하여 |f(x)-α|<ε 이면 x→ ∞ 일 때 f(x) → α 또는 \[\lim_{x\to\infty}f(x)=\alpha\] 로 쓰고, α를 x가 무한히 커질 때의 f(x)의 극한값이라 한다.  정리 1 .   무한구간 (a, ∞)에서 정의된 함수 f, g에 대하여 \[\lim_{x\to\infty}f(x)=\alpha,\,\lim_{x\to\infty}g(x)=\beta\]이면 \((1)\ \displaystyle\lim_{x\to\infty}\{f(x)+g(x)\}=\alpha+\beta,\) \((2)\ \displaystyle\lim_{x\to\infty}f(x)g(x)=\alpha\beta,\) \((3)\ \displaystyle\lim_{x\to\infty}\{f(x)-g(x)\}=\alpha-\beta,\) \((4)\ \displaystyle\lim_{x\to\infty}{f(x)\over{g(x)}}={\alpha\over\beta}(\text{단},\ \beta\ne0).\) 무한구간(-∞, a)에서 정의된 함수 f에 대하여 위와 같은 방법으로 \[\lim_{x\to-\infty}f(x)=\alpha\] 를 정의할 수 있고, 위의 같은 정리가 성립한다. 정의 2 . (극한 ∞, -∞) 함수 f는 0<|x-a|<r 인 x의 집합에서 정의되어 있다. 임의의 양수 M에 대하여 적당한 양수 δ가 존재하여 0<|x-a|<δ 인 모든 x에 대하여 f(x)>M 이면 x→a 일 때의 f(x)의 극한은 양의 무한대 라하고 기호로 \[\lim_{x\to a}f(x)=\infty\] 로 나타낸다. 또한, 0<|x-a|< δ 인 모든 x에 대하여 f(x)<-M 이면 x →a 일 때의 f(x)의 극한은 음의 무한대