기계공학 (Mechanical Engineering)

  정리 1. 함수 \(u,\,v\)가 같은 구간 에서 미분가능 하다고 하자. (1) \(f=u+v\) 이면 \(f'(x)=u'(x)+v'(x)\) (2) \(f=uv\) 이면 \(f'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)\) (3) \(\begin{align}f={1\over v}\end{align}\) 이면 \(f'(x)=-\dfrac{v'(x)}{v(x)^2}\) (단, \(v(x)\ne0\)) <증명> (1) \(\begin{split}f'(x)&=\lim_{h\to0}\frac{\{u(x+h)+v(x+h)\}-\{u(x)+v(x)\}}{h}\\&=\lim_{h\to0}\frac{u(x+h)-u(x)}{h}+\lim_{h\to0}\frac{v(x+h)-v(x)}{h}\\&=u'(x)+v'(x)\end{split}\) (2) \(\begin{split}f'(x)&=\lim_{h\to0}\frac{u(x+h)v(x+h)-u(x)v(x)}{h}\\&=\lim_{h\to0}\left\{\frac{u(x+h)-u(x)}{h}\cdot v(x+h)+u(x)\cdot\frac{v(x+h)-v(x)}{h}\right\}\\&=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)\end{split}\) (3) \(\begin{split}f'(x)&=\lim_{h\to0}{1\over h}\left\{\frac{1}{v(x+h)}-\frac{1}{v(x)}\right\}\\&=\lim_{h\to0}\left\{-\frac{v(x+h)-v(x)}{h}\right\}\cdot\lim_{h\to0}\frac{1}{v(x+h)v(x)}=-\frac{v'(x)}{v(x)^2}\end{split}\) --- under construction ---

미분방정식이 다음과 같이 주어 졌다고 하자. \[\frac{dy}{dt}=f(y,t)\qquad a\le t\le b\qquad y(a)=\alpha\] 구간 \([a,b]\)를 \(N\)개로 나누었을 때 각 점을 \[t_n=a+nh\ (n=0,1,2,\cdots,N)\] 이라 하자. 이 때 \(h={b-a\over N}=t_{n+1}-t_n\) 이다. 함수 \(f\)에 대한 테일러 급수를 전개하면 \[\begin{align}y(t_{n+1})&=y(t_n)+(t_{n+1}-t_n)y'(t_n)+\frac{(t_{n+1}-t_n)^2}{2!}y''(\xi)\\&=y(t_n)+hf(t_n,y(t_n))+R_2\end{align}\] 윗 식에서 \(a<\xi<b\) 이다. 오일러 방법은 \(y(t_{n+1})\)에 대한 근사치로 마지막 항 \(R_2\)를 없앤 값을 사용한다. \[y\approx y(t_n)+hf(t_n,y_n)\ (n=0,1,2,\cdots N-1)\] [예제] 다음 미분 방정식의 정해를 변수 분리법으로 구하고 오일러 방법으로 근사해를 구한 후 각 점에서의  오차를 계산하라. 단, \(h=0.1\)을 적용한다. \[\dot{y}=\frac{1}{1-y}\qquad0\le y\le0.5\qquad y(0)=0\] <풀이> \(\dot{y}=dy/dt\) 이므로 \((1-y)dy=dt\)로 쓸 수 있다. 양변을 적분하면 \[\begin{gather}\int{(1-y)}dy=\int dt\\y-\frac{y^2}{2}=t+C_1\end{gather}\] 여기서 \(C_1\)은 적분상수이고 새로운 적분상수 \(C_2=C_1+1\)를 도입하고 정리하면 \[\begin{gather}(y-1)^2=-2t+C_2\\y=1\pm\sqrt{C_2-2t}\end{gather}\] 초기조건에 의해 \(y(0)=1\pm\...

 underreport t. (소득ㆍ수입 등을) 적게 신고하다.

at the expense of sb/sth : ~을 희생하면서

 reformation n. <格> 개혁