실수의 지수
지수가 유리수인 경우의 성질을 이용하여 지수가 실수인 경우로 확장한다. \(3^{\sqrt{2}}\)를 정의해본다. \[\sqrt{2}=1.41421356\cdots\] 이므로 먼저 수열 \[x_1=1,\,x_2=1.4,\,x_3=1.41,\,x_4=1.414,\,\cdots\] 와 같이 \(\sqrt{2}\)에 수렴하는 유리수열 \(\left\{x_n\right\}\)을 생각한다. 이 각 항을 지수로 하는 수열 \[3^{x_1},\,3^{x_2},\,3^{x^3},\,\cdots,\,3^{x_n},\,\cdots\] 을 만든다. 수열 \(\{x_n\}\)은 증가수열이므로 유리수의 지수 계 2에 의하여 수열 \(\{3^{x_n}\}\)도 증가수열이다. 그런데 \(x_n<\sqrt{2}<2\) 이므로 \(3^{x_n}<3^2\). 따라서 수열 \(\{3^{x_n}\}\)은 유계 이다. 이 때 그 극한 을 \(3^{\sqrt{2}}\)로 정의한다. 곧, 유리수열 \(\{x_n\}\)에 대하여 \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}=\sqrt{2}\) 일 때 \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}3^{x_n}=3^{sqrt{2}}\). 위의 개념을 일반화하여 지수 \(\alpha\)가 임의의 실수일 때 \[a^\alpha\ (\text{단},\,a>0)\] 을 정의할 수 있다. 유리수의 지수에서 \(\alpha\)가 유리수인 경우는 이미 정의했으므로 \(\alpha\)가 무리수인 경우를 생각해 본다. \(a>1\) 이고 \(\alpha\)는 무리수라고 하자. \(\alpha\)보다 작은 유리수를 \(r\)이라 하고, \(r\)이 유리수 값만을 취하면서 \(\alpha\)에 가까와질 때 \(a^r\)은 \(r\)이 증가함에 따라 증가하고(단조증가) \(s>\alpha\)인 유리수 \(s\)를 택하면 \(a^r<a^s\) (위로 유계) 이므로 \(a^r\)도 수렴한다. 그 극한을 \...