기계공학 (Mechanical Engineering)

공학설계 에 있어서 중요한 고려사항은 하중을 지지하고 전달하도록 설계된 물체의 용량이다. 하중을 견디는 물체는 건물구조, 기계, 항공기, 차량, 선박 및 그 밖에 인류가 만든 수많은 것들을 포함한다. 단순화하여 이러한  모든 물체들은 구조물(structures) 이라고 할 것이다; 따라서 구조물이란 하중을 지지하고 전달해야 하는 어떤 물체를 말한다. 구조적 파손을 피하려고 한다면 구조물이 실제로 지지할 수 있는 하중이 작동 중 요구되는 하중보다 커야만 한다. 하중에 저항하는 구조물의 능력을 강도(strength) 라 부른다면, 앞의 요건은 다음과 같이 다시 말할 수 있다: 구조물의 실제 강도는 요구되는 강도를 초과해야만 한다. 요구강도에 대한 실제강도의 비(比)를 안전율(factor of safety) \(n\)이라 부른다. \[n=\frac{\rm 실제강도}{\rm 요구강도}\] 물론, 파손을 피해야 한다면 안전율은 1.0 보다 커야만 한다. 환경에 따라 안전율은 1.0 보다 약간 큰 값부터 10 정도까지 사용된다. 강도와 파손 모두 많은 다른 의미를 가지기 때문에 설계에 안전율을 포함하는 것은 간단한 문제는 아니다. 파손(failure) 이란 구조물의 파단이나 완전한 붕괴를 의미하거나, 변형이 어떤 한계를 초과하여 구조물이 더 이상 의도한 기능을 수행하지 못하는 것을 의미할 수도 있다. 후자의 파손 종류는 실제 붕괴의 원인이 되는 하중보다 휠씬 적은 하중에도 발생할 수 있다. 안전율의 결정은 또한 다음 사항들이 고려되야 한다: 구조물의 돌발적인 과부하 확률; 하중의 종류(정하중, 동하중 또는 반복하중)와 얼마나 정확히 알고 있는지; 피로파괴의 가능성; 건설 시 부정확성; 기술의 정도; 재료 물성 산포; 부식이나 환경 영향에 의한 악화; 분석방법의 정확성; 점진적 (충분한 경고) 또는 점진적 (경고 없음) 파손인자; 파손의 결과(미소한 손상 또는 대형 참사); 그리고 이러한 다른 고려 사항들리 있다. 안전율이 너무 낮다면 파손 가능성이 높아 ...

코시-리만 방정식은 많은 다른 형태의 복소함수 도함수 간의 관계이다. 이들은 \({\bf Z}={\bf Z}(z)\)이고 \(z=x+iy\) 일 때 다음과 같다. \[\begin{split}&{\rm Re}\frac{d{\bf Z}}{dz}=\frac{\partial{\rm Re}{\bf Z}}{\partial x}=\ \ \ \frac{\partial{\rm Im}{\bf Z}}{\partial y}\\&{\rm Im}\frac{d{\bf Z}}{dz}=\frac{\partial{\rm Im}{\bf Z}}{\partial x}=-\frac{\partial{\rm Re}{\bf Z}}{\partial y}\end{split}\] 이 방정식들은 도함수들 간의, 직관적이진 않지만, 흥미로운 관계를 보여준다. 예를 들면, 임의의 복소함수 \({\bf Z}(z)\)는 실수부와 허수부로 \({\bf Z}(z)={\rm Re}{\bf Z}+i{\rm Im}{\bf Z}\)와 같이 분해할 수 있다. 따라서 다음과 같이 코시-리만 방정식을 사용하여 도함수를 표현할 수 있다. \[\frac{d{\bf Z}}{dz}={\rm Re}\frac{d{\bf Z}}{dz}+i{\rm Im}\frac{d{\bf Z}}{dz}=\frac{\partial{\rm Re}{\bf Z}}{\partial x}+i\frac{\partial{\rm Im}{\bf Z}}{\partial x}=\frac{\partial{\rm Im}{\bf Z}}{\partial y}-i\frac{\partial{\rm Re{\bf Z}}}{\partial y}\] 해석함수(解析函數, Analytic Function) 위의 관계는 \({\bf Z}(z)\) 일 때만 성립한다는 점에 유의해야 한다. 이러한 경우, \(\bf Z\)는 해석적(analytic) 이라 한다. \(x\)와 \(y\)는 \(z\) 인수 안에 포함되어 있고 외연적으로는 함수 에 드러나지 않는다....

두 행열의 이중내적(double dot product)는 스칼라값을 결과로 내며 다음과 같다. \[\begin{split}&{\bf A}:{\bf B}=A_{ij}B_{ij}\\&{\bf A}=\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{bmatrix},\ {\bf B}=\begin{bmatrix}b_{11}&b_{12}&b_{13}\\b_{21}&b_{22}&b_{23}\\b_{31}&b_{32}&b_{33}\end{bmatrix}\ \text{이면}\\&{\bf A}:{\bf B}=a_{11}b_{11}+a_{12}b_{12}+a_{13}b_{13}+\\&\qquad\quad\ \ \ \, a_{21}b_{21}+a_{22}b_{22}+a_{23}b_{23}+\\&\qquad\quad\ \ \ \,a_{31}b_{31}+a_{32}b_{32}+a_{33}b_{33}\end{split}\] [예제] 응력텐서 \(\boldsymbol\sigma\)와 회전텐서 \(\bf W\)의 이중내적은 \(\boldsymbol\sigma:{\bf W}=0\) 임을 증명하시오. \[\begin{align}&\boldsymbol\sigma=\begin{bmatrix}\sigma_{11}&\sigma_{12}&\sigma_{13}\\\sigma_{12}&\sigma_{22}&\sigma_{23}\\\sigma_{13}&\sigma_{23}&\sigma_{33}\end{bmatrix},\,{\bf W}=\begin{bmatrix}0&-\omega_3&\omega_2\\\omega_3&0&-\omega_1\\-\omega_2&\omega_1&0\end{bma...

정의 1. (미분계수, 미분가능) 함수 \(f\)가 \(a\)의 근방  \(|x-a|<r\)에서 정의되어 있다고 한다. 만일 유한인 극한 \[\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}\] 이 존재하면 \(f\)는 \(x=a\)에서 미분가능(微分可能) 하다고 하며 이 극한을 \(f'(a)\)로 표시하고 \(f\)의 \(x=a\)에 있어서의 미분계수(微分係數) 라 한다. 이 때 \(x-a=h\)라 두면 \(x=a+h\) 이므로 \[\frac{f(x)-f(a)}{x-a}=\frac{f(a+h)-f(a)}{h}\] 따라서 \[\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}=\lim_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}=f'(a)\] 이다. 정의 2. 도함수(導函數) 함수 \(f\)가 개구간 \(D\)에서 정의되어 있을 때 \(D\) 내의 각 점에서 미분가능이면 \(f\)는 \(D\)에서 미분가능하다고 한다. 이 경우 \(D\)의 각 점(点) \(x\)에 있어서의 미분계수 \(f'(x)\)를 대응시키는 함수 \[f':x\to f'(x)\] 를 함수 \(f\)의 도함수 라 한다. 종속변수 \(y\)를 사용하여 함수 \(f\)를 \(y=f(x)\)라 표시할 때 도함수를 \(y'\)로 나타내기도 한다. 함수 \(f\)의 도함수를 구하는 것을, \(f\)를 미분한다 고 한다. \(f\)의 \(a\)에 있어서의 미분계수 \(f'(a)\)는, 도함수 \(f'\)의 점 \(a\)에 있어서의 함수값이다, 함수 \(f\)가 어느 개구간에서 미분가능하다고 하는 것은 그의 구간내의 임의의 점 \(x\)에서 미분계수 \(f'(x)\)를 구할 수 있다는 사실, 즉, 임의의 점 \(x\)에서 극한 \[f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\] 가 존재하는 것이므로 이것을 \(f'(x)\)라 씀으로서 함수의 미분가능성과 함...

인장하중을 받는 균일단면봉(prismatic bar)에서 축방향 늘음(axial elongation)은 (하중 방향에 수직한) 측면 수축(lateral contraction) 을 동반한다. 이 형상 변화가 아래 그림에 도시되어 있다. 여기서 점선은 하중 인가 전, 실선은 부하 후를 나타낸다. 인장을 받는 봉의 축방향 늘음과 측면 수축 이 측면 변형률 (lateral strain)은 선형탄성(linear elastic) 구간에서 재료가 균일하고 정방성이라면 축방향 변형률(axial strain)에 비례한다. 재료가 균일(homogeneous) 하다는 것은 물체 전체에 걸쳐서 동일한 조성으로 이루어져 있다는 것이다. 따라서 물체의 모든 점에서 동일한 선형 특성을 가진다. 하지만 균일한 재료이기 위해서는 모든 방향의 특성이 동일한 필요는 없다. 예를 들면, 축과 횡방향의 탄성계수 가 다를 수도 있다. 정방성(isotropic) 재료는 모든 방향에 대하여 동일한 선형 특성을 가진다. 그러므로 인장을 받는 봉의 모든 점에서 동일한 측방향 변형률을 갖기 위해서는 재료가 균일함과 동시에 정방성이어야 한다. 많은 구조재들은 이 요건들은 만족한다. 이 축방향 변형률에 대한 측방향 변형률의 비(比)는 포아송 비(Poisson's ratio)로 알려져 있으며 그리스 문자 \(\nu\)로 표기한다. \[\nu=-\frac{\epsilon_{\rm lateral}}{\epsilon_{\rm axial}}\] 인장 상태 봉의 경우 측방향 변형률은 폭의 감소(음의 변형률)이고 축방향 변형률은 늘음(양의 변형률)을 나타낸다. 압축 상태는 반대의 상황이 되어 봉의 단축(음의 축방향 변형률)되고 넓어 진다(양의 측방향 변형률). 그러므로 포아송 비는 대부분 재료에서 양의 값을 가진다. 포아송 비는 저명한 수학자 Simeon Denis Poisson(1781-1840)의 이름을 딴 것이다. 그는 재료의 분자이론을 이용하여 정방성인 경우 이 비율을 \(\nu=1/4\)로 계산하였...