실수의 지수

지수가 유리수인 경우의 성질을 이용하여 지수가 실수인 경우로 확장한다. \(3^{\sqrt{2}}\)를 정의해본다. \[\sqrt{2}=1.41421356\cdots\] 이므로 먼저 수열 \[x_1=1,\,x_2=1.4,\,x_3=1.41,\,x_4=1.414,\,\cdots\] 와 같이 \(\sqrt{2}\)에 수렴하는 유리수열 \(\left\{x_n\right\}\)을 생각한다. 이 각 항을 지수로 하는 수열 \[3^{x_1},\,3^{x_2},\,3^{x^3},\,\cdots,\,3^{x_n},\,\cdots\] 을 만든다. 수열 \(\{x_n\}\)은 증가수열이므로 유리수의 지수 계 2에 의하여 수열 \(\{3^{x_n}\}\)도 증가수열이다. 그런데 \(x_n<\sqrt{2}<2\) 이므로 \(3^{x_n}<3^2\). 따라서 수열 \(\{3^{x_n}\}\)은 유계 이다. 이 때 그 극한 을 \(3^{\sqrt{2}}\)로 정의한다. 곧, 유리수열 \(\{x_n\}\)에 대하여 \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}=\sqrt{2}\) 일 때 \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}3^{x_n}=3^{sqrt{2}}\). 위의 개념을 일반화하여 지수 \(\alpha\)가 임의의 실수일 때 \[a^\alpha\ (\text{단},\,a>0)\] 을 정의할 수 있다. 유리수의 지수에서 \(\alpha\)가 유리수인 경우는 이미 정의했으므로 \(\alpha\)가 무리수인 경우를 생각해 본다. \(a>1\) 이고 \(\alpha\)는 무리수라고 하자. \(\alpha\)보다 작은 유리수를 \(r\)이라 하고, \(r\)이 유리수 값만을 취하면서 \(\alpha\)에 가까와질 때 \(a^r\)은 \(r\)이 증가함에 따라 증가하고(단조증가) \(s>\alpha\)인 유리수 \(s\)를 택하면 \(a^r<a^s\) (위로 유계) 이므로 \(a^r\)도 수렴한다. 그 극한을 \...

나사의 명칭

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나사산 의 꼭지면을 봉우리(crest)라 하고, 나사 봉우리와 골을 연결하는 나사면을 플랭크(flank), 나사의 축선을 포함하는 단면에서 서로 이웃한 나사산에 대응하는 2점 사이의 축 방향 거리를 피치(pitch)라 한다. 나사에 사용되는 지름은 다음과 같다. (1) 바깥지름(major diameter) : 수나사의 축에 직각으로 측정한 최대지름 \(d\)를 말하고, 나사의 크기는 나사의 바깥지름으로 표시하며 공칭지름이라고 한다. (2) 골지름(minor diameter) : 수나사에서는 최소 지름이 되고 \(d_1\)으로 표시한다. 암나사에서는 최대 지름이 되고 \(D\)로 표시한다. (3) 안지름 : 암나사의 최소 지름 \(D_1\)을 말한다. (4) 유효지름 : 바깥지름 \(d\)와 골지름 \(d_1\)의 평균 지름 \((d+d_1)/2\)를 말하며 피치 지름 \(d_2\)이라고도 한다. 바깥지름 \(d\)와 골지름 \(d_1\)의 차의 1/2는 나사높이 \(h\)가 된다. 나사곡선과 그 위의 한 점을 통과하는 나사의 축에 평행한 직선과 이루는 각을 비틀림각  \(\lambda\)라 하며 리이드각 \(\alpha\)와는 다음 식이 성립한다. \[\lambda+\alpha=90^\circ\] 인접한 2개의 플랭크가 맺는 각을 나사산각이라 하며, 플랭크의 축선에 직각인 직선과 맺는 갓을 플랭크각(angle of flank)이라 하며, 3각나사에서는 나사산각 \(2\beta\)가 플랭크각 \(\beta\)의 2배가 된다.

유리수의 지수

임의의 정수 p에 대하여 함수 f를 \[f(x)=x^p,\ x>0\] 으로 정의한다. p=0 일 때는 f(x)=1 이므로 상수함수 p<0 일 때는 p'=-p라 두면 \(f(x)=x^p=x^{-p'}=1/x^{p'}\) 따라서 p≠0 일 때 f에 대하여 \(D_f=R_f=(0,\infty)\)이고, 연속 이며 p>0 이면 강한 의미의 단조등가함수 p<0 이면 강한 의미의 단조감소함수 임을 알 수 있다. 그러므로 p ≠0 일 때에는 f의 역함수 가 존재하고 이것을 g라 하면 \[g(x)=x^{1\over p}=\sqrt[p]{x}\] 로 나타낸다. g에 대해서도 역함수 정리 1에 의해서   \(D_f=R_f=(0,\infty)\)이고, 연속이며 p>0 이면 강한 의미의 단조등가함수 p<0 이면 강한 의미의 단조감소함수 임을 알 수 있다. 특히 양의 정수 q에 대하여 함수 h를 \[h(x)=x^{1\over q},\ x>0\] 로 정의하고, p가 0이 아닌 임의의 정수일 때 f와 h의 합성함수 F를 다음과 같이 정의한다. \[F(x)=(f\circ h)(x)=f\{h(x)\}=\left(x^{1\over q}\right)^p=x^{p\over q}=\sqrt[q]{x^p}\] F는 연속함수 f와 h의 합성함수이므로 연속함수이다. 따라서 정의역·치역은 모두  \(D_f=R_f=(0,\infty)\). 그런데 p=0 이면 p/q=0, \(x^0=1\) 이므로 p=0 인 경우도 포함하여 \(x^{p/q}\)를 정의할 수 있다. p가 임의의 정수이고, q가 양의 정수이면 p/q는 유리수이므로 임의의 유리수 r에 대하여 \[x^r\ \text{(x는 양의 실수)}\] 이 정의된다. 이들에 대한 내수적 계산은 다음 지수법칙을 활용한다. 지수법칙 (지수가 유리수인 경우) r, s를 임의의 유리수, a, b를 임의의 양수라 할 때 \[a^r\cdot a^s=a^{r+s},\qquad(a\cdot b)^r=a...

역함수

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실수 상에서 관계식 \[f(x)=x\] 로 정의된 함수 f의 각 x에 대한 값은 x 자신이다. f는 항등함수이고 기호 I로 나타낸다. \[I(x)=x\] 따라서 임의의 함수 g에 대하여 \[I\circ g=g\circ I=g\] [ 예제 1 ] \(f(x)=x^3,\,g(x)=x^{1\over3}\) 일 때 합성함수 \(f\circ g,\,g\circ f\)를 구하여라. <풀이 > \(\begin{align}&(g\circ f)(x)=g\{f(x)\}=g(x^3)\ =(x^3)^{1\over3}=x\\&(f\circ g)(x)=f\{g(x)\}=f(x^{1\over3})=(x^{1\over3})^3=x\end{align}\) 따라서 \(g\circ f=f\circ g=I\) [예제 2 ] \(f(x)={1\over x}\) 일 때 합성함수 \(f\circ f\)를 구하여라. <풀이 > \(\begin{align}(f\circ f)(x)=f({1\over x})={1\over{1\over x}}=x\end{align}\). 따라서 \(f\circ f=I\). 정의 1. (역함수) 함수 f에 대하여 함수 g가 조건 \[g\circ f=f\circ g=I\] 를 만족할 때 g를 f의 역함수(逆函數) 라고 한다. 이 때 \[g=f^{-1}\] 로 나타낸다. 정의로부터 역함수의 역함수는 원함수이다. 곧, \[(f^{-1})^{-1}=f\] 이므로 \(f\)와 \(f^{-1}\)은 서로 다른 것의 역함수이다. 또한 \[{\rm D}_f={\rm R}_{f^{-1}},\qquad {\rm R}_f={\rm D}_{f^{-1}}\] 이다. g가 f의 역함수, \(g=f^{-1}\) 이면 f(x)=y 일 때 \[g(y)=g\{f(x)\}=(g\circ f)(x)=I(x)=x\] 이다. g도 함수이므로 y에 대하여 g(y)는 단 한 개 있다. 만약 \[f(x_1)=f(x_2)=y\] 이라고 하면 \[\beg...

[Shell] for 반복문 다중 변수 사용

배열(array)을 활용하면 for 반복문에서도 여러개의 변수를 사용할 수 있다. 다음과 같은 문자열을 for loop를 사용하여 출력하고자 한다. a : w b : x c : y d : z 한 쌍의 각 문자 배열로 변수를 정의한 후 배열 수 만큼 for loop를 반복한다. #!/bin/bash # Define the arrays array1=("a" "b" "c" "d") array2=("w" "x" "y" "z") # Get the length of the arrays length=${#array1[@]} # Do the loop for ((i=0;i<$length;i++)); do echo "${array1[$i] : ${array2[$i]}" done