3차 방정식 근의 공식 (Cubic Formula)

2차 방정식과 같이 3차 방정식의 근의 공식을 유도해 본다. (여기서는 실근만 생각한다.)
3차 방정식의 일반식은 다음과 같다. (1)

$z^3+a_2z^2+a_1z+a_0=0\cdot\cdot\cdot(1)$

2차항을 소거하기 위하여 z를 식 (2)로 치환한다.

$z=x-\lambda\cdot\cdot\cdot(2)$

x에 관하여 정리하면 식(3)과 같다.

$x^3+(a_2-3\lambda)x^2+(a_1-2a_2\lambda+3\lambda^2)x+(a_0-a_1\lambda+a_2\lambda^2-\lambda^3)=0\cdot\cdot\cdot(3)$

$x^2$항을 소거하기 위해 $\lambda$를 식(4)와 같이 치환하고 정리하면 식(5)가 된다.

$\lambda=a_2/3\cdot\cdot\cdot(4)$
$\begin{align}x_3+\left(a_1-\frac{{a_2}^2}{3}\right)x-\left(\frac{a_1a_2}{3}-\frac{2}{27}{a_2}^3-a_0\right)=0\cdot\cdot\cdot(5)\end{align}$

수식을 간단히 하기 위해 계수를 p, q로 치환한다. (6)

$\begin{align}p=\frac{3a_1-{a_2}^2}{3},\ q=\frac{9a_1a_2-27a_0-2{a_2}^3}{27},\ x^3+px=q\cdot\cdot\cdot(6)\end{align}$

쌍곡선과 삼각함수의 항등식을 등가하기 위하여 미지수 x를 다음과 같이 조작한다. (7)

$\begin{align}x=\sqrt{\frac{4|p|}{3}}y\cdot\cdot\cdot(7)\end{align}$

정리하면 식(8)과 같이 표현할 수 있다. (여기서 sgn(x) 함수는 x의 부호를 반환한다.)

$\begin{align}4y^3+3{\rm sgn}(p)y=\frac{q}{2}{\left(\frac{3}{|p|}\right)}^{3/2}=c\cdot\cdot\cdot(8)\end{align}$

이제 각 계수 p, c의 범위에 따라서 쌍곡선 함수와 삼각 함수의 항등식을 등가하여 근을 구한다.

$p>0$ 일 때 $\rm sinh(3\alpha)=4sinh^3\alpha+3sinh\alpha\cdot\cdot\cdot(9)$

y를 $\rm sinh\alpha$로 두면 근 y는 식(10)과 같이 역함수를 이용하여 구할 수 있다.

$\begin{align}y=\rm sinh\left(\frac{1}{3}Sinh^{-1}c\right)\end{align}\cdot\cdot\cdot(10)$

같은 방법으로 나머지 범위의 계수에 대하여 근을 구할 수 있다.

$p<0$ 이고 $|c|≥0$ 일 때 $\rm cosh(3\alpha)=4cos^3\alpha-3cos\alpha\cdot\cdot\cdot(13)$

이 경우는 3개의 실근을 갖는다. (14)

$\begin{align}y=\rm cos\left(\frac{1}{3}Cos^{-1}c\right)\cdot\cdot\cdot(14)\end{align}$

최종적으로 원래 방정식의 근은 식(2), (4), (7)에 의하여 식 (15)와 같이 구한다.

$\begin{align}z_i=2\sqrt{\frac{|p|}{3}}y_i-\frac{a_2}{3}\cdot\cdot\cdot(15)\end{align}$

특히, 3개의 실근을 갖는 경우는 다음과 같이 공식화하여 활용할 수 있다.

R=q/2, Q=p/3 이면 $\begin{align}\rm 3\alpha=Cos^{-1}c=Cos^{-1}\left(\frac{R}{\sqrt{-Q^3}}\right)=\theta,\ \theta+2\pi,\ \theta+4\pi\cdot\cdot\cdot(16)\end{align}$

여기서 $0<\alpha<2\pi$ 이므로 $0<3\alpha<6\pi$ 이며 $\theta$의 $2\pi$ 위상차를 가지는 세 개의 값으로 나타난다. (16)
마지막으로 식(15)에 (14), (16)을 대입하면 실근의 공식이 유도된다. (17)

$\begin{align}z_i=2\sqrt{{\rm-Q}}{\rm cos}\left(\frac{\theta+2(i-1)\pi}{3}\right)-\frac{a_2}{3},\ (i=1,2,3)\cdot\cdot\cdot(17)\end{align}$