원통좌표계에서 벡터의 구배 유도하기(How to derive gradient of vector in cylindrical coordinates)
벡터의 구배(gradient of vector)는 텐서(tensor)를 반환한다. 직교좌표계에서는 벡터의 각 성분별로 좌표계 방향별 편미분을 취하면 되므로 쉽게 유도할 수 있다. 하지만 원통좌표계에서는 직관적이지 않으므로 구배를 구하기 위하여 다음과 같이 유도한다.
직교좌표계에서 벡터→v→v의 기울기 텐서(gradient tensor) 항은 다음 과정으로 유도된다. 여기서 ∇i는 델 연산자의 i 성분만 취한 것이다.
→v=uˆi+vˆj+wˆk
∇→vxx=∇x→v⋅ˆi=∂→v∂x⋅ˆi=∂∂x(uˆi+vˆj+wˆk)⋅ˆi=∂u∂x
∇→vxy=∇y→v⋅ˆi=∂→v∂y⋅ˆi=∂∂y(uˆi+vˆj+wˆk)⋅ˆi=∂u∂y
...
∇→v=[∇→vxx∇→vxy∇→vxz∇→vyx∇→vyy∇→vyz∇→vzx∇→vzy∇→vzz]=[∂u∂x∂u∂y∂u∂z∂v∂x∂v∂y∂v∂z∂w∂x∂w∂y∂w∂z]
동일한 방법으로 원통좌표계에서의 벡터의 구배 텐서항을 유도한다.
→v=vrˆr+vθˆθ+vzˆz
좌표계 각 방향 r,θ,z에 대한 벡터→v의 편미분을 취한다. 먼저 r 방향 편미분은
∂→v∂r=∂vr∂rˆr+∂vθ∂rˆθ+∂vz∂rˆz
θ에 대한 미분은 적(積)의 미분법을 적용하여 유도 한다.
∂→v∂θ=∂(vrˆr)∂θ+∂(vθˆθ)∂θ+∂(vzˆz)∂θ=∂vr∂θˆr+vrˆθ+∂vθ∂θˆθ−vθˆr+∂vz∂θˆz
여기서 각 항의 편미분은 다음과 같다. 단위벡터의 좌표계 미분은 링크를 참조한다.
∂(vrˆr)∂θ=∂vr∂θˆr+vr∂ˆr∂θ=∂vr∂θˆr+vrˆθ
∂(vθˆθ)∂θ=∂vθ∂θˆθ+vθ∂ˆθ∂θ=∂vθ∂θˆθ−vθˆr
∂(vzˆz)∂θ=∂vz∂θˆz+vz∂ˆz∂θ=∂vz∂θˆz
마지막으로 z 방향 편미분은 직교좌표계와 유사하다.
∂→v∂z=∂vr∂zˆr+∂vθ∂zˆθ+∂vz∂zˆz
직교좌표계와 상이한 텐서항만 유도해 본다.
∇→vrθ=∇θ→v⋅ˆr=∂→vr∂θ⋅ˆr=1r(∂vr∂θˆr+vrˆθ+∂vθ∂θˆθ−vθˆr+∂vz∂θˆz)⋅ˆr=∂vrr∂θ−vθr
∇→vθθ=∇θ→v⋅ˆθ=∂→vr∂θ⋅ˆθ=1r(∂vr∂θˆr+vrˆθ+∂vθ∂θˆθ−vθˆr+∂vz∂θˆz)⋅ˆθ=∂vθr∂θ+vrr
∇→vzθ=∇θ→v⋅ˆz=∂→vr∂θ⋅ˆz=1r(∂vr∂θˆr+vrˆθ+∂vθ∂θˆθ−vθˆr+∂vz∂θˆz)⋅ˆz=∂vzr∂θ
최종적으로 각 항들을 행열로 나타내면 다음과 같다.
∇→v=[∇→vrr∇→vrθ∇→vrz∇→vθr∇→vθθ∇→vθz∇→vzr∇→vzθ∇→vzz]=[∂vr∂r∂vrr∂θ−vθr∂vr∂z∂vθ∂r∂vθr∂θ+vrr∂vθ∂z∂vz∂r∂vzr∂θ∂vz∂z]
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