원통좌표계에서 벡터의 구배 유도하기(How to derive gradient of vector in cylindrical coordinates)

벡터의 구배(gradient of vector)는 텐서(tensor)를 반환한다. 직교좌표계에서는 벡터의 각 성분별로 좌표계 방향별 편미분을 취하면 되므로 쉽게 유도할 수 있다. 하지만 원통좌표계에서는 직관적이지 않으므로 구배를 구하기 위하여 다음과 같이 유도한다.

직교좌표계에서 벡터\(\overrightarrow{v}\)의 기울기 텐서(gradient tensor) 항은 다음 과정으로 유도된다. 여기서 \(∇_i\)는 델 연산자의 \(i\) 성분만 취한 것이다.

\(\overrightarrow{v}=u\hat{i}+v\hat{j}+w\hat{k}\)

\({∇\overrightarrow{v}_{xx}}=∇_x\overrightarrow{v}\cdot\hat{i}=\frac{\partial\overrightarrow{v}}{\partial x}\cdot\hat{i}=\frac{\partial}{\partial x}\left(u\hat{i}+v\hat{j}+w\hat{k}\right)\cdot\hat{i}=\frac{\partial u}{\partial x}\)
\({∇\overrightarrow{v}_{xy}}=∇_y\overrightarrow{v}\cdot\hat{i}=\frac{\partial\overrightarrow{v}}{\partial y}\cdot\hat{i}=\frac{\partial}{\partial y}\left(u\hat{i}+v\hat{j}+w\hat{k}\right)\cdot\hat{i}=\frac{\partial u}{\partial y}\)
...

\({∇\overrightarrow{v}}=\begin{bmatrix}∇\overrightarrow{v}_{xx}&∇\overrightarrow{v}_{xy}&∇\overrightarrow{v}_{xz}\\∇\overrightarrow{v}_{yx}&∇\overrightarrow{v}_{yy}&∇\overrightarrow{v}_{yz}\\∇\overrightarrow{v}_{zx}&∇\overrightarrow{v}_{zy}&∇\overrightarrow{v}_{zz}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\frac{\partial u}{\partial x}&\frac{\partial u}{\partial y}&\frac{\partial u}{\partial z}\\\frac{\partial v}{\partial x}&\frac{\partial v}{\partial y}&\frac{\partial v}{\partial z}\\\frac{\partial w}{\partial x}&\frac{\partial w}{\partial y}&\frac{\partial w}{\partial z}\end{bmatrix}\)

동일한 방법으로 원통좌표계에서의 벡터의 구배 텐서항을 유도한다.

원통좌표계 벡터 표시는

\(\overrightarrow{v}={v}_r\hat{r}+{v}_\theta\hat\theta+{v}_z\hat{z}\)

좌표계 각 방향 r,θ,z에 대한 벡터\(\overrightarrow{v}\)의 편미분을 취한다. 먼저 r 방향 편미분은

\(\frac{\partial \overrightarrow{v}}{\partial r}=\frac{\partial {v}_r}{\partial r}\hat{r}+\frac{\partial {v}_\theta}{\partial r}\hat{\theta}+\frac{\partial {v}_z}{\partial r}\hat{z}\)

θ에 대한 미분은 적(積)의 미분법을 적용하여 유도 한다.

\(\frac{\partial \overrightarrow{v}}{\partial \theta}=\frac{\partial \left({v}_r\hat{r}\right)}{\partial \theta }+\frac{\partial \left({v}_\theta\hat{\theta }\right)}{\partial \theta}+\frac{\partial \left({v}_z\hat{z}\right)}{\partial \theta}=\frac{\partial {v}_r}{\partial \theta}\hat{r}+{v}_r\hat{\theta}+\frac{\partial {v}_\theta}{\partial \theta}\hat{\theta}-{v}_{\theta}\hat{r}+\frac{\partial {v}_z}{\partial \theta}\hat{z}\)

여기서 각 항의 편미분은 다음과 같다.  단위벡터의 좌표계 미분은 링크를 참조한다.

\(\frac{\partial \left({v}_r\hat{r}\right)}{\partial \theta}=\frac{\partial {v}_r}{\partial \theta}\hat{r}+{v}_r\frac{\partial \hat{r}}{\partial \theta}=\frac{\partial {v}_r}{\partial \theta}\hat{r}+{v}_r\hat{\theta}\)
\(\frac{\partial \left({v}_{\theta}\hat{\theta}\right)}{\partial \theta}=\frac{\partial {v}_{\theta}}{\partial \theta}\hat{\theta}+{v}_{\theta}\frac{\partial \hat{\theta}}{\partial \theta}=\frac{\partial {v}_{\theta}}{\partial \theta}\hat{\theta}-{v}_{\theta}\hat{r}\)
\(\frac{\partial \left({v}_z\hat{z}\right)}{\partial \theta}=\frac{\partial {v}_z}{\partial \theta}\hat{z}+{v}_z\frac{\partial \hat{z}}{\partial \theta}=\frac{\partial {v}_z}{\partial \theta}\hat{z}\)

마지막으로 z 방향 편미분은 직교좌표계와 유사하다.

\(\frac{\partial \overrightarrow{v}}{\partial z}=\frac{\partial {v}_r}{\partial z}\hat{r}+\frac{\partial {v}_{\theta}}{\partial z}\hat{\theta}+\frac{\partial {v}_z}{\partial z}\hat{z}\)

직교좌표계와 상이한 텐서항만 유도해 본다.

\(∇\overrightarrow{v}_{r\theta}=∇_{\theta}\overrightarrow{v}\cdot\hat{r}=\frac{\partial \overrightarrow{v}}{r\partial \theta}\cdot\hat{r}=\frac{1}{r}\left(\frac{\partial {v}_r}{\partial \theta}\hat{r}+{v}_r\hat{\theta}+\frac{\partial {v}_{\theta}}{\partial \theta}\hat{\theta}-{v}_{\theta}\hat{r}+\frac{\partial {v}_z}{\partial \theta}\hat{z}\right)\cdot\hat{r}=\frac{\partial {v}_r}{r\partial \theta}-\frac{{v}_{\theta}}{r}\)
\(∇\overrightarrow{v}_{\theta\theta}=∇_{\theta}\overrightarrow{v}\cdot\hat{\theta}=\frac{\partial \overrightarrow{v}}{r\partial \theta}\cdot\hat{\theta}=\frac{1}{r}\left(\frac{\partial {v}_r}{\partial \theta}\hat{r}+{v}_r\hat{\theta}+\frac{\partial {v}_{\theta}}{\partial \theta}\hat{\theta}-{v}_{\theta}\hat{r}+\frac{\partial {v}_z}{\partial \theta}\hat{z}\right)\cdot\hat{\theta}=\frac{\partial {v}_{\theta }}{r\partial \theta}+\frac{{v}_r}{r}\)
\(∇\overrightarrow{v}_{z\theta}=∇_{\theta}\overrightarrow{v}\cdot\hat{z}=\frac{\partial \overrightarrow{v}}{r\partial \theta}\cdot\hat{z}=\frac{1}{r}\left(\frac{\partial {v}_r}{\partial \theta}\hat{r}+{v}_r\hat{\theta}+\frac{\partial {v}_{\theta}}{\partial \theta}\hat{\theta}-{v}_{\theta}\hat{r}+\frac{\partial {v}_z}{\partial \theta}\hat{z}\right)\cdot\hat{z}=\frac{\partial {v}_z}{r\partial \theta}\)

최종적으로 각 항들을 행열로 나타내면 다음과 같다.

\(∇\overrightarrow{v}=\begin{bmatrix}∇\overrightarrow{v}_{rr}&∇\overrightarrow{v}_{r\theta}&∇\overrightarrow{v}_{rz}\\∇\overrightarrow{v}_{\theta r}&∇\overrightarrow{v}_{\theta\theta}&∇\overrightarrow{v}_{\theta z}\\∇\overrightarrow{v}_{zr}&∇\overrightarrow{v}_{z\theta}&∇\overrightarrow{v}_{zz}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\frac{\partial {v}_r}{\partial r}&\frac{\partial {v}_r}{r\partial \theta}-\frac{{v}_{\theta}}{r}&\frac{\partial {v}_r}{\partial z}\\\frac{\partial {v}_{\theta}}{\partial r}&\frac{\partial {v}_{\theta}}{r\partial \theta}+\frac{{v}_r}{r}&\frac{\partial {v}_{\theta}}{\partial z}\\\frac{\partial {v}_z}{\partial r}&\frac{\partial {v}_z}{r\partial \theta}&\frac{\partial {v}_z}{\partial z}\end{bmatrix}\)