삼각함수 항등식 (Trigonometric Identity)

피타고라스 정리

${\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta =1$

${\tan }^2\theta +1={\sec }^2\theta$

${\cot }^2\theta +1={\csc }^2\theta$

<증명>

반경이 1 인 단위원을 그려서 파타고라스의 정리를 적용한다.

덧셈정리

$\sin (\alpha \pm \beta )=\sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta$

$\cos (\alpha \pm \beta )=\cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta$

$\tan (\alpha \pm \beta )={\displaystyle \frac{\tan \alpha \pm \tan \beta }{1\mp \tan \alpha \tan \beta }}$

<증명>

한 각이 β 인 직각삼각형을 각도 α로 직사각형에 내접시킨다. 각 변의 길이를 삼각함수로 나타내고 직사각형의 대변의 길이는 같으므로 등식이 증명된다. (sin/cos은 직각삼각형의 빗변의 길이가 '1', tan는 직사각형 밑변의 길이 '1'을 적용한다.)

2배각의 공식

$\sin 2\theta =2\sin \theta \cos \theta$

$\cos 2\theta ={\cos }^2\theta -{\sin }^2\theta =2{\cos }^2\theta -1=1-2{\sin }^2\theta ={\displaystyle \frac{1-{\tan }^2\theta }{1+{\tan }^2\theta }}$

$\tan 2\theta ={\displaystyle \frac{2\tan \theta }{1-{\tan }^2\theta }}$

<증명>

$\sin 2\theta =\sin (\theta +\theta )=\sin \theta \cos \theta +\cos \theta \sin \theta =2\sin \theta \cos \theta$

$\begin{array}{rl}\cos 2\theta & =\cos (\theta +\theta )=\cos \theta \cos \theta -\sin \theta \sin \theta ={\cos }^2\theta -{\sin }^2\theta ={\cos }^2\theta -(1-{\cos }^2\theta )\\ & =2{\cos }^2\theta -1=(1-{\sin }^2\theta )-{\sin }^2\theta =1-2{\sin }^2\theta \\ & =\frac{{\cos }^2\theta -{\sin }^2\theta }{{\cos }^2\theta +{\sin }^2\theta }=\frac{1-\frac{{\sin }^2\theta }{{\cos }^2\theta }}{1+\frac{{\sin }^2\theta }{{\cos }^2\theta }}=\frac{1-{\tan }^2\theta }{1+{\tan }^2\theta }\end{array}$

$\tan 2\theta ={\displaystyle \frac{\tan \theta +\tan \theta }{1-\tan \theta \tan \theta }}={\displaystyle \frac{2\tan \theta }{1-{\tan }^2\theta }}$

3배각의 공식

$\sin 3\theta =-4{\sin }^3\theta +3\sin \theta$

$\cos 3\theta =4{\cos }^3\theta -3\cos \theta$

<증명>

$\begin{array}{rl}\sin 3\theta & =\sin (\theta +2\theta )=\sin \theta \cos 2\theta +\cos \theta \sin 2\theta =\sin \theta (1-2{\sin }^2\theta )+2(1-{\sin }^2\theta )\sin \theta \\ & =-4{\sin }^3\theta +3\sin \theta \end{array}$

$\begin{array}{rl}\cos 3\theta & =\cos (\theta +2\theta )=\cos \theta \cos 2\theta -\sin \theta \sin 2\theta =\cos \theta (2{\cos }^2\theta -1)-2(1-{\cos }^2\theta )\cos \theta \\ & =4{\cos }^3\theta -3\cos \theta \end{array}$

곱을 합으로 바꾸는 공식

$\sin x\sin y={\displaystyle \frac{\cos (x-y)-\cos (x+y)}{2}}$

$\sin x\cos y={\displaystyle \frac{\sin (x+y)+\sin (x-y)}{2}}$

$\cos x\sin y={\displaystyle \frac{\sin (x+y)-\sin (x-y)}{2}}$

$\cos x\cos y={\displaystyle \frac{\cos (x-y)+\cos (x+y)}{2}}$

<증명>

우변을 덧셈정리로 전개한다.