전단응력 (Shear Stress)

전단응력은 상대운동을 하는 유체의 층 사이에서 발생하는 단위면적당의 마찰력이다. 고체의 경우는 전단응력이 전단변형률(shear strain)에 비례하지만, 유체 내부에서 발생되는 전단응력은 전단 변형률의 시간에 따른 변화율(rate of shear strain)에 비례한다. 그리고 이 전단변형률의 변화율은 각 방향 속도구배의 합과 같다.

위의 그림과 같이 유동장 내 모든 부분에서의 속도 u가 동일한 x방향을 향하는 유동의 경우에, y방향으로만 속도가 변화한다고 가정하면 전단변형률의 시간에 따른 변화율은 y방향의 속도구배와 같다. 따라서 전단응력 τ는 속도구배에 비례하므로 다음과 같이 표현한다.

\(\begin{align*}\tau=\mu\frac{du}{dy}\end{align*}\)

여기서 비례상수 μ는 점성계수(viscosity) 또는 절대점성계수(absolute viscosity)라고 한다. 절대점성계수는 힘×시간/면적의 차원을 가지며 SI단위계에서 \(\rm Pa\cdot s(\equiv N\cdot s/m^2)\)의 단위를 갖는다. 특히 다음과 같은 고유의 단위를 갖는다.

\(1\,\rm poise=10^{-1}\,Pa\cdot s=1\,dyne\cdot s/cm^2\)

여기서 poise는 포이슐(Poiseuille)의 업적을 기리기 위해 붙인 것이다. 영국단위계로는 \(\rm lbf\cdot s/ft^2\)이 단위로 사용된다.

대부분의 유체는 속도구배와 무관한 점성계수를 가지며, 이와 같은 유체를 뉴우톤 유체(Newtonian fluid)라 한다. 그러나 혈액이나 플라스틱(plastic), 타르(tar) 등과 같은 유체들은 점성계수가 속도구배의 함수가 되어 유동상태에 따라 다른 μ값을 갖는다(아래 그림). 이러한 유체들을 비뉴우톤유체(non-Newtonian fluid)라고 한다. 레올로지(rheology)라는 학문은 비뉴우톤유체의 유동과 변형을 다룬다.

출처 en.wikipedia.org

절대점성계수와 밀도의 비는 동점성계수(kinematic viscosity)라고 하며 다음과 같이 정의한다.

\(\begin{split}\nu={\mu\over\rho}\end{split}\)

동점성계수는 면적/시간의 차원을 가지며 SI단위계에서 \(\rm m^2/s\)의 단위를 갖는다. 이 역시 다음과 같은 고유의 단위를 갖는다.

\(\rm 1\,stoke=10^{-4}\,m^2/s=1\,cm^2/s\)

stoke는 스톡스(G. G. stokes)의 업적을 기리기 위한 것이다. 영국단위계로는 \(\rm ft^2/s\)가 단위로 사용된다.

여러가지 유체들의 점성계수(accessengineeringlibrary.com)

뉴우톤유체의 점성계수는 물성치로 취급되고 압력과 온도에 따라 변하게 된다. 그러나 압력의 효과는 보통 작으므로 온도의 영향이 중요하다. 점성계수의 온도에 따른 변화는 위의 그림과 같이 액체와 기체에 있어 그 경향이 상반되는데, 이는 근본적으로 분자간의 상호작용이 다르기 때문이다.

기체의 경우 분자간의 인력(cohesion)이 무시되므로, 움직이는 유체 층 사이의 전단응력은 분자들의 운동량 교환에 기인한다. 즉, 저속의 유체층을 떠난 분자들은 고속의 유체층내에서 다른 분자와 충돌하여 가속된다. 반면에 고속의 유체층을 떠난 분자들이 저속의 유체층내로 이동할 경우 이와 반대되는 효과가 나타난다. 이상과 같은 과정을 통해 분자의 운동은 기체의 점성을 유발하는 요인이 되고, 온도의 상승에 따라 분자의 운동을 활기를 띠므로 기체의 점성계수는 증가하게 된다.

그로나 액체의 경우 분자운동으로 인한 운동량 교환이 분자간 인력에 비해 작으므로, 액체의 점성계수는 이 인력의 크기에 가장 큰 영향을 받는다. 분자간 인력은 액체의 상대운동을 저해함으로써 점성의 효과를 나타낸다. 이 인력의 크기는 온도의 상승에 따라 급격히 감소하므로, 점성계수는 온도가 증가함에 따라 감소하게 된다.

[예제 1] 아래 그림과 같이 h의 거리를 두고 떨어져 있는 두 개의 평행한 평판들 사이에 일정한 점성계수 μ를 갖는 유체가 채워져 있다. 상판이 \(V_0\)의 속도로 움직이고 있고,  유동장내의 압력은 모든 곳에서 일정하다. 유동장내의 속도와 전단력의 분포를 결정하라.

<풀이> 위와 같이 미소요소의 자유물체도를 그린다. 유동장내의 압력변화가 없으므로 미소요소에 작용하는 힘은 전단력 밖에 없다. 미소요소의 힘의 평형을 고려하면 다음 조건이 만족되어야 한다.

\(\sum F_x=(\tau+d\tau)dx-\tau dx=0\)

즉, dτ=0 이다. 이 결과로부터 다음 관계를 얻는다.

\(\tau=\mu\dfrac{du}{dy}\equiv\)一定

따라서 이 미분방정식을 풀기 위해 y에 관하여 적분하면

\(u=\dfrac{\tau}{\mu}y+c\)

여기서 c는 적분상수이다. 이 식에서 상수 c와 τ값을 알기 위해서 두 개의 경계조건이 필요하다. 주어진 경계조건은 다음과 같이 두 벽면에서의 유체의 속도이다.

\(\begin{split}y&=0\ \text{에서}\ u=0\\y&=h\ \text{에서}\ u=V_0\end{split}\)

이 조건들은 고체벽과 접하는 유체의 속도는 고체벽과 같은 속도를 갖는다는 유체역학의 일반적인 가정(no-slip condition)을 전제로 한다. 따라서 다음 결과들이 얻어진다.

\(c=0,\quad\tau=\dfrac{\mu V_0}{h}\)

이 식들을 앞의 u에 관한 식에 대입하면 다음과 같은 직선적인 속도분포가 얻어진다.

\(u=\dfrac{
V_0}{h}y\)

[예제 2] 반경이 85mm 이고 길이가 0.6m 인 원통이 반경 90mm 인 동축의 정지된 원통내에서 회전하고 있다. 원통들 사이의 공간에는 글리세린(glycerin, μ=1.48 Paㆍs)이 채워져 있다. 정상상태에서 내부의 원통에 0.7 Nㆍm의 토오크(torque)가 가해진다고 할 때, 안쪽과 바깥쪽의 벽면에서의 속도구배를 각기 구하고, 안쪽 원통의 회전속도(r/min)와 유체의 저항으로 인해 소모되는 동력을 구하라.

<풀이> 원통좌표계에서 원주방향 속도성분만 존재하므로 \({\bf v}=(v_r, v_\theta)=(0, v_\theta)\) 이다. 따라서 속도구배 텐서는 다음과 같다. (유도과정은 링크를 참조한다.)

\(\nabla{\bf v}=\left[\begin{matrix}\dfrac{\partial v_r}{\partial r}&\dfrac{\partial v_r}{r\partial\theta}-\dfrac{v_\theta}{r}\\\dfrac{\partial v_\theta}{\partial r}&\dfrac{\partial v_\theta}{r\partial\theta}+\dfrac{v_r}{r}\end{matrix}\right]=\begin{bmatrix}0&-\dfrac{v_\theta}{r}\\\dfrac{dv_\theta}{dr}&0\end{bmatrix}\)

전단응력은 각 방향 속도구배 성분의 합에 비례하므로 다음과 같이 주어진다.

\(\tau=\mu\left(\dfrac{dv_\theta}{dr}-\dfrac{v_\theta}{r}\right)=\mu r\dfrac{d}{dr}\left(\dfrac{v_\theta}{r}\right)\)

토오크 T는 유체를 통해 내부원통으로부터 외부원통으로 전달된다. 따라서,

\(T=F\cdot r=-\tau(2\pi rl)r 이므로 \tau=-\dfrac{T}{2\pi r^2l}=\mu r\dfrac{d}{dr}\left(\dfrac{v_\theta}{r}\right)\)

위의 첫번째 식의 양변을 경계범위 구간에 따라 적분하면

\(\begin{align}\int_{\frac{V_0}{r_i}}^0d\left(\dfrac{v_\theta}{r}\right)=-\dfrac{T}{2\pi\mu l}\int_{r_o}^{r_i}\dfrac{dr}{r^3} 즉, -\dfrac{V_0}{r_i}=\dfrac{T}{4\pi\mu l}\left({1\over{r_o^2}}-{1\over{r_i^2}}\right)\end{align}\)

이다. 여기서 \(V_0\)는 내부원통 표면의 원주방향 속도이다.

\(\begin{align}V_0=\dfrac{-r_iT}{4\pi\mu l}\left({1\over{r_o^2}}-{1\over{r_i^2}}\right)=\dfrac{-0.085(0.7)}{4\pi(1.48)(0.6)}\left({1\over{0.09^2}}-{1\over{0.085^2}}\right)=0.08\,{\rm m/s}\end{align}\)

앞의 식에 위의 수치들을 대입하면 안쪽과 바깥쪽 벽면에서의 속도구배를 얻을 수 있다.

\(\begin{split}\left(\frac{dv_\theta}{dr}\right)_i&=-\frac{T}{2\pi\mu lr_i^2}+\frac{\left(v_\theta\right)_i}{r_i}=-\frac{0.7}{2\pi(1.48)(0.6)0.085^2}&+{0.08\over 0.085}&=-16.5\,{\rm m/(s\cdot m)}\\\left(\frac{dv_\theta}{dr}\right)_o&=-\frac{T}{2\pi\mu lr_o^2}+\frac{\left(v_\theta\right)_o}{r_o}=-\frac{0.7}{2\pi(1.48)(0.6)0.09^2}&+{0\over 0.09}&=-15.4\,{\rm m/(s\cdot m)}\end{split}\)

그리고 각속도를 단위시간당의 회전수(r/min)로 환산하면 다음과 같다.

\(\dfrac{\omega}{2\pi}(60)=\dfrac{V_0/r_i}{2\pi}(60)=\dfrac{0.08/0.085}{2\pi}(60)=9.0\,{\rm r/min}\)

동력 P는 토오크와 각속도의 곱으로부터 얻어진다.

\(P=T\cdot\omega=T\cdot(V_0/r_i)=(0.7)(0.08/0.085)=0.66\,{\rm W}\)

두 원통 사이의 간격이 반경에 비해 매주 작은 경우에는 근사적으로 예제 1과 같은 방법을 적용할 수도 있다.