전단응력 (Shear Stress)
\(\begin{align*}\tau=\mu\frac{du}{dy}\end{align*}\)
여기서 비례상수 μ는 점성계수(viscosity) 또는 절대점성계수(absolute viscosity)라고 한다. 절대점성계수는 힘×시간/면적의 차원을 가지며 SI단위계에서 \(\rm Pa\cdot s(\equiv N\cdot s/m^2)\)의 단위를 갖는다. 특히 다음과 같은 고유의 단위를 갖는다.
\(1\,\rm poise=10^{-1}\,Pa\cdot s=1\,dyne\cdot s/cm^2\)
여기서 poise는 포이슐(Poiseuille)의 업적을 기리기 위해 붙인 것이다. 영국단위계로는 \(\rm lbf\cdot s/ft^2\)이 단위로 사용된다.
대부분의 유체는 속도구배와 무관한 점성계수를 가지며, 이와 같은 유체를 뉴우톤 유체(Newtonian fluid)라 한다. 그러나 혈액이나 플라스틱(plastic), 타르(tar) 등과 같은 유체들은 점성계수가 속도구배의 함수가 되어 유동상태에 따라 다른 μ값을 갖는다(아래 그림). 이러한 유체들을 비뉴우톤유체(non-Newtonian fluid)라고 한다. 레올로지(rheology)라는 학문은 비뉴우톤유체의 유동과 변형을 다룬다.
\(\begin{split}\nu={\mu\over\rho}\end{split}\)
동점성계수는 면적/시간의 차원을 가지며 SI단위계에서 \(\rm m^2/s\)의 단위를 갖는다. 이 역시 다음과 같은 고유의 단위를 갖는다.\(\rm 1\,stoke=10^{-4}\,m^2/s=1\,cm^2/s\)
기체의 경우 분자간의 인력(cohesion)이 무시되므로, 움직이는 유체 층 사이의 전단응력은 분자들의 운동량 교환에 기인한다. 즉, 저속의 유체층을 떠난 분자들은 고속의 유체층내에서 다른 분자와 충돌하여 가속된다. 반면에 고속의 유체층을 떠난 분자들이 저속의 유체층내로 이동할 경우 이와 반대되는 효과가 나타난다. 이상과 같은 과정을 통해 분자의 운동은 기체의 점성을 유발하는 요인이 되고, 온도의 상승에 따라 분자의 운동을 활기를 띠므로 기체의 점성계수는 증가하게 된다.
[예제 1] 아래 그림과 같이 h의 거리를 두고 떨어져 있는 두 개의 평행한 평판들 사이에 일정한 점성계수 μ를 갖는 유체가 채워져 있다. 상판이 \(V_0\)의 속도로 움직이고 있고, 유동장내의 압력은 모든 곳에서 일정하다. 유동장내의 속도와 전단력의 분포를 결정하라.
\(\sum F_x=(\tau+d\tau)dx-\tau dx=0\)
\(\tau=\mu\dfrac{du}{dy}\equiv\)一定
따라서 이 미분방정식을 풀기 위해 y에 관하여 적분하면
\(u=\dfrac{\tau}{\mu}y+c\)
여기서 c는 적분상수이다. 이 식에서 상수 c와 τ값을 알기 위해서 두 개의 경계조건이 필요하다. 주어진 경계조건은 다음과 같이 두 벽면에서의 유체의 속도이다.
\(\begin{split}y&=0\ \text{에서}\ u=0\\y&=h\ \text{에서}\ u=V_0\end{split}\)
\(c=0,\quad\tau=\dfrac{\mu V_0}{h}\)
\(u=\dfrac{
V_0}{h}y\)
\(\nabla{\bf v}=\left[\begin{matrix}\dfrac{\partial v_r}{\partial r}&\dfrac{\partial v_r}{r\partial\theta}-\dfrac{v_\theta}{r}\\\dfrac{\partial v_\theta}{\partial r}&\dfrac{\partial v_\theta}{r\partial\theta}+\dfrac{v_r}{r}\end{matrix}\right]=\begin{bmatrix}0&-\dfrac{v_\theta}{r}\\\dfrac{dv_\theta}{dr}&0\end{bmatrix}\)
\(\tau=\mu\left(\dfrac{dv_\theta}{dr}-\dfrac{v_\theta}{r}\right)=\mu r\dfrac{d}{dr}\left(\dfrac{v_\theta}{r}\right)\)
토오크 T는 유체를 통해 내부원통으로부터 외부원통으로 전달된다. 따라서,
\(T=F\cdot r=-\tau(2\pi rl)r 이므로 \tau=-\dfrac{T}{2\pi r^2l}=\mu r\dfrac{d}{dr}\left(\dfrac{v_\theta}{r}\right)\)
\(\begin{align}\int_{\frac{V_0}{r_i}}^0d\left(\dfrac{v_\theta}{r}\right)=-\dfrac{T}{2\pi\mu l}\int_{r_o}^{r_i}\dfrac{dr}{r^3} 즉, -\dfrac{V_0}{r_i}=\dfrac{T}{4\pi\mu l}\left({1\over{r_o^2}}-{1\over{r_i^2}}\right)\end{align}\)
\(\begin{align}V_0=\dfrac{-r_iT}{4\pi\mu l}\left({1\over{r_o^2}}-{1\over{r_i^2}}\right)=\dfrac{-0.085(0.7)}{4\pi(1.48)(0.6)}\left({1\over{0.09^2}}-{1\over{0.085^2}}\right)=0.08\,{\rm m/s}\end{align}\)
앞의 식에 위의 수치들을 대입하면 안쪽과 바깥쪽 벽면에서의 속도구배를 얻을 수 있다.
\(\begin{split}\left(\frac{dv_\theta}{dr}\right)_i&=-\frac{T}{2\pi\mu lr_i^2}+\frac{\left(v_\theta\right)_i}{r_i}=-\frac{0.7}{2\pi(1.48)(0.6)0.085^2}&+{0.08\over 0.085}&=-16.5\,{\rm m/(s\cdot m)}\\\left(\frac{dv_\theta}{dr}\right)_o&=-\frac{T}{2\pi\mu lr_o^2}+\frac{\left(v_\theta\right)_o}{r_o}=-\frac{0.7}{2\pi(1.48)(0.6)0.09^2}&+{0\over 0.09}&=-15.4\,{\rm m/(s\cdot m)}\end{split}\)
그리고 각속도를 단위시간당의 회전수(r/min)로 환산하면 다음과 같다.
\(\dfrac{\omega}{2\pi}(60)=\dfrac{V_0/r_i}{2\pi}(60)=\dfrac{0.08/0.085}{2\pi}(60)=9.0\,{\rm r/min}\)
동력 P는 토오크와 각속도의 곱으로부터 얻어진다.
\(P=T\cdot\omega=T\cdot(V_0/r_i)=(0.7)(0.08/0.085)=0.66\,{\rm W}\)
두 원통 사이의 간격이 반경에 비해 매주 작은 경우에는 근사적으로 예제 1과 같은 방법을 적용할 수도 있다.
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