굽힘모멘트 적분에 의한 보의 처짐 (Deflections by Bending-Moment Integration)

굽힘모멘트 항으로 나타낸 처짐곡선(deflection curve)의 방정식은 x의 함수로 v를 구하기 위해 적분할 수 있다. 2차 미분방정식이므로 두번의 적분이 요구된다. 그 해법의 첫번째 단계는 자유물체도(free-body diagram)와 정적평형(static equilibrium)을 이용하여 굽힘모멘트의 방정식을 쓰는 것이다. 만약 보의 차중이 축을 따라 급격히 변하면, 이러한 변화가 발생하는 보의 지점들 사이의 각 구간마다 별도의 모멘트 방정식이 존재한다. 이들 각 구간에 대해서 M의 표현식을 미분방정식에 대입한다. 그 다음 이 방정식은 v'을 얻기 위해 적분할 수 있고, 이 과정에서 적분상수가 생기게 된다. 두번째 적분을 통해 처짐 v를 구할 수 있고, 또 다른 적분상수가 생긴다. 결과적으로 보의 각 구간마다 두개의 적분상수가 존재하게 된다. 이들 상수들은 보의 지지부와 적분구간이 만나는 점에서 v와 v'의 경계조건을 통하여 구할 수 있다. 이러한 각 조건들은 하나 또는 그 이상의 적분상수를 포함한 방정식을 준다. 이 조건들은 개수와 상수의 숫자들은 항상 짝을 이루기 때문에, 상수들을 구하기 위해 이 방정식들을 풀 수 있다. 이렇게 구한 상수들을 다시 v에 대한 표현식에 대입하면 최종적으로 처짐곡선의 방정식을 구하게 된다.

예제 1

균일 분포하중(uniform load of intensity) q를 지지하는 단순보(simple beam) AB의 처짐곡선의 방정식을 결정하라. 또한 보의 중단에서의 최대 처짐 δ와 지지부의 회전각 ${\theta }_a$와 ${\theta }_b$를 결정하라.

균일 분포하중을 받는 단순보의 처짐

좌단 지지부를 좌표계 원점으로 잡으면 아래 자유물체도의 모멘트 평형으로부터 굽힘모멘트의 방정식은

자유물체도

$M={\displaystyle \frac{qLx}{2}}-{\displaystyle \frac{q{x}^2}{2}}$

따라서 2차 미분방정식은 다음과 같다.

$EI{v}^{″}=-{\displaystyle \frac{qLx}{2}}+{\displaystyle \frac{q{x}^2}{2}}$

양변에 dx를 곱하고 적분하면 다음식을 얻는다.

$EI{v}^{\prime }=-{\displaystyle \frac{qL{x}^2}{4}}+{\displaystyle \frac{q{x}^3}{6}}+C_1$

여기서 $C_1$은 적분상수이다. 이 상수를 구하기 위해 대칭성으로부터 처짐곡선 중단의 기울기 v'은 0이 된다. 그러므로 이것은 v'(L/2)=0으로 표현될 수 있다. 이 조건으로부터

$C_1={\displaystyle \frac{q{L}^3}{24}}$

그리고 앞의 식은 다음과 같이 된다.

$EI{v}^{\prime }=-{\displaystyle \frac{qL{x}^2}{4}}+{\displaystyle \frac{q{x}^3}{6}}+{\displaystyle \frac{q{L}^3}{24}}$

다시 이 방정식의 양변에 dx를 곱하고 적분하면

$EIv=-{\displaystyle \frac{qL{x}^3}{12}}+{\displaystyle \frac{q{x}^4}{24}}+{\displaystyle \frac{q{L}^{3}x}{24}}+C_2$

적분상수 $C_2$는 조건 v(0)=0로부터 구해질 수 있다. 이 조건을 위의 식에 적용하면 $C_2=0$이 된다. 따라서, 처짐곡선의 방정식은

$v={\displaystyle \frac{qx}{24EI}}(L^3-2L{x}^2+x^3)$

최대처짐 δ는 중단에서 발생하므로 x=L/2를 이 방정식에 대입하면 그 결과는

$\delta =v_{max}={\displaystyle \frac{5q{L}^4}{384EI}}$

최대회전각은 보의 지지부에서 발생한다. 좌단 지지부 각도 ${\theta }_a$는 기울기 v'과 같다. 그러므로 앞의 기울기 식에 x=0를 대입하면

${\theta }_a=v^{\prime }(0)={\displaystyle \frac{q{L}^3}{24EI}}$

유사한 방법으로 다른 끝단 각도 ${\theta }_b$를 얻는다.

${\theta }_b=-v^{\prime }(L)={\displaystyle \frac{q{L}^3}{24EI}}$

예제 2

강도 q의 분포하중을 받는 외팔보(cantilever beam) AB의 처짐곡선을 결정하라(아래 그림). 또한, 자유단의 처짐 ${\delta }_b$와 회전각도 ${\theta }_b$를 결정하라.

균일하중을 받는 외팔보

이 역시 좌단 지지부를 좌표계의 원점으로 잡는다. 그러면 굽힘모멘트는 다음과 같이 표현된다.

자유물체도

$M=-{\displaystyle \frac{q(L-x{)}^2}{2}}$

그리고 이에 대한 미분방정식은

$EI{v}^{″}={\displaystyle \frac{q(L-x{)}^2}{2}}$

이 방정식의 1차 적분은 다음식을 준다.

$EI{v}^{\prime }=-{\displaystyle \frac{q(L-x{)}^3}{6}}+C_1$

적분상수 $C_1$은 지지부의 기울기는 0이라는 조건으로부터 구할 수 있다. 즉, v'(0)=0 으로부터 $C_1=q{L}^3/6$ 이므로

 $\begin{array}{r}{v}^{\prime }=\frac{qx}{6EI}(3L^2-3Lx+x^2)\end{array}$

이 방정식을 적분하면

$v={\displaystyle \frac{q{x}^2}{24EI}}(6L^2-4Lx+x^2)+C_2$

지지부에서 처짐의 경계조건은 v(0)=0 이므로 $C_2=0$ 이다. 따라서 처짐곡선의 방정식은

$v={\displaystyle \frac{q{x}^2}{24EI}}(6L^2-4Lx+x^2)$

자유단에서의 회전각도 ${\theta }_b$와 처짐 ${\delta }_b$는 x=L을 위의 방정식에 대입하면 바로 구해질 수 있으며 다음과 같다.

${\theta }_b=v^{\prime }(L)={\displaystyle \frac{q{L}^3}{6EI}}{\delta }_b=v(L)={\displaystyle \frac{q{L}^4}{8EI}}$

예제 3

집중하중(concentrated load) P를 지지하는 단순보(simple beam) AB에 대한 처짐곡선의 방정식을 결정하라(아래 그림). 또한, 지지부의 회전각도 ${\theta }_a$ 및 최대처짐 $v_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}$ 그리고, 보의 중단 C의 처짐 ${\delta }_c$를 결정하라. (하중 P의 위치는 지지부 A와 B로부터 각각 a와 b의 거리 만큼 떨어져 있음에 유의한다.)

집중하중을 받는 단순보의 처짐

처짐을 얻기 위해서 아래와 같이 먼저 보의 각 구간에서 굽힘모멘트의 표현을 결정해야 한다.

보의 각 구간별 자유물체도

그러면 보의 각 구간에 대해서 미분방정식을 다음과 같이 두 번 써야만 한다.

$\begin{array}{rlr}& EI{v}^{″}=-\frac{Pbx}{L}& (0\le x\le a)\\ & EI{v}^{″}=-\frac{Pbx}{L}+P(x-a)& (a\le x\le L)\end{array}$

이 방정식들을 적분하면

$\begin{array}{rlr}& EI{v}^{\prime }=-\frac{Pb{x}^2}{2L}+C_1& (0\le x\le a)\\ & EI{v}^{\prime }=-\frac{Pb{x}^2}{2L}+\frac{P(x-a{)}^2}{2}+C_2& (a\le x\le L)\end{array}$

두 번째 적분을 수행하면 다음식들을 얻는다.

$\begin{array}{rlr}& EIv=-\frac{Pb{x}^3}{6L}+C_{1}x+C_3& (0\le x\le a)\\ & EIv=-=\frac{Pb{x}^3}{6L}+\frac{P(x-a{)}^3}{6}+C_{2}x+C_4& (a\le x\le L)\end{array}$

위의 방정식에서 보이는 4개의 적분상수는 다음 조건들에 의해 구해질 수 있다.

(1) x=a에서 보의 두 부분의 기울기 v'은 같다.

(2) x=a에서 보의 두 부분의 처짐 v는 같다.

(3) x=0에서 처짐은 0이다.

(4) x=L에서 처짐은 0이다.

첫번째 조건으로부터 x=a 일 때 각 구간별 기울기 방정식의 값은 같아야 하므로

$-{\displaystyle \frac{Pb{x}^2}{2L}}+C_1=-{\displaystyle \frac{Pb{x}^2}{2L}}+C_2$

즉, $C_1=C_2$ 이다. 두번째 조건으로부터 x=a 일 때 처짐 방정식의 값을 같아야 한다.

$-{\displaystyle \frac{Pb{a}^3}{6L}}+C_{1}a+C_3=-{\displaystyle \frac{Pb{a}^3}{6L}}+C_{2}a+C_4$

이 식으로부터 $C_3=C_4$ 이다. 마지막으로 조건 (3)과 (4)를 처짐 방정식에 적용하면

$C_3=0그리고-{\displaystyle \frac{Pb{L}^2}{6}}+{\displaystyle \frac{P{b}^3}{6}}+C_{2}L=0$

을 얻는다. 위의 결과들을 종합하면

$C_1=C_2={\displaystyle \frac{Pb(L^2-b^2)}{6L}}{C}_3=C_4=0$

이 값들을 원 방정식에 대입하면 처짐곡선의 방정식을 준다.

$\begin{array}{rlr}& EIv=\frac{Pbx}{6L}(L^2-b^2-x^2)& (0\le x\le a)\\ & EIv=\frac{Pbx}{6L}(L^2-b^2-x^2)+\frac{P(x-a{)}^3}{6}& (a\le x\le L)\end{array}$

보의 두 부분의 기울기는 $C_1$과 $C_2$를 첫번째 적분식에 대입하면 구할 수 있다.

$\begin{array}{rlr}& EI{v}^{\prime }=\frac{Pb}{6L}(L^2-b^2-3x^2)& (0\le x\le a)\\ & EI{v}^{\prime }=\frac{Pb}{6L}(L^2-b^2-3x^2)+\frac{P(x-a{)}^2}{2}& (a\le x\le L)\end{array}$

보의 양 끝단의 회전각 ${\theta }_a$와 ${\theta }_b$는 이 식들에 x=0와 x=L을 대입하여 구한다.

$\begin{array}{rl}& {\theta }_a=v^{\prime }(0)=\frac{Pab(L+b)}{6LEI}\\ & {\theta }_b=-v^{\prime }(L)=\frac{Pab(L+a)}{6LEI}\end{array}$

회전각 ${\theta }_a$는 $b=L/\sqrt{3}$ 일 때 최대값을 갖는다.

보의 최대 처침은 처짐곡선이 수평 기울기를 갖는 D점에서 발생한다. a>b 이면 이 점은 보의 하중점 좌측에 존재한다. 이 점은 첫번째 기울기 식에서 v'=0으로 두면 구할 수 있다. 보의 끝단 A로부터 최대 처짐점의 거리를 $x_1$이라 하면 첫번째 v'의 식으로부터 $x_1$을 구한다.

$x_1=\sqrt{{\displaystyle \frac{L^2-b^2}{3}}}(a\ge b)$

이 식으로부터 하중 P가 보의 중단에서 우단으로 이동하면(즉, b가 0에 접근하면) 거리 $x_1$은 $L/2$에서 $L/\sqrt{3}=0.577L$로 변한다. 따라서, 최대처짐은 보의 중단에 매우 근접해서 발생하며 항상 중단과 하중점 사이에 위치한다. 이 최대처짐은 $x_1$을 처짐곡선에 대입하면 구해진다. 

$v_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}={\displaystyle \frac{Pb{(L^2-b^2)}^{3/2}}{9\sqrt{3}LEI}}(a\ge b)$

보의 중단 처짐은 x=L/2 를 처짐곡선에 대입하여 얻어진다.

${\delta }_c=v\left({\displaystyle \frac{L}{2}}\right)={\displaystyle \frac{(3L^2-4b^2)}{48EI}}(a\ge b)$