굽힘모멘트 적분에 의한 보의 처짐 (Deflections by Bending-Moment Integration)

굽힘모멘트 항으로 나타낸 처짐곡선(deflection curve)의 방정식은 x의 함수로 v를 구하기 위해 적분할 수 있다. 2차 미분방정식이므로 두번의 적분이 요구된다. 그 해법의 첫번째 단계는 자유물체도(free-body diagram)와 정적평형(static equilibrium)을 이용하여 굽힘모멘트의 방정식을 쓰는 것이다. 만약 보의 차중이 축을 따라 급격히 변하면, 이러한 변화가 발생하는 보의 지점들 사이의 각 구간마다 별도의 모멘트 방정식이 존재한다. 이들 각 구간에 대해서 M의 표현식을 미분방정식에 대입한다. 그 다음 이 방정식은 v'을 얻기 위해 적분할 수 있고, 이 과정에서 적분상수가 생기게 된다. 두번째 적분을 통해 처짐 v를 구할 수 있고, 또 다른 적분상수가 생긴다. 결과적으로 보의 각 구간마다 두개의 적분상수가 존재하게 된다. 이들 상수들은 보의 지지부와 적분구간이 만나는 점에서 v와 v'의 경계조건을 통하여 구할 수 있다. 이러한 각 조건들은 하나 또는 그 이상의 적분상수를 포함한 방정식을 준다. 이 조건들은 개수와 상수의 숫자들은 항상 짝을 이루기 때문에, 상수들을 구하기 위해 이 방정식들을 풀 수 있다. 이렇게 구한 상수들을 다시 v에 대한 표현식에 대입하면 최종적으로 처짐곡선의 방정식을 구하게 된다.

예제 1

균일 분포하중(uniform load of intensity) q를 지지하는 단순보(simple beam) AB의 처짐곡선의 방정식을 결정하라. 또한 보의 중단에서의 최대 처짐 δ와 지지부의 회전각 \(\theta_a\)와 \(\theta_b\)를 결정하라.

균일 분포하중을 받는 단순보의 처짐

좌단 지지부를 좌표계 원점으로 잡으면 아래 자유물체도의 모멘트 평형으로부터 굽힘모멘트의 방정식은

자유물체도

\(M=\dfrac{qLx}{2}-\dfrac{qx^2}{2}\)

따라서 2차 미분방정식은 다음과 같다.

\(EIv''=-\dfrac{qLx}{2}+\dfrac{qx^2}{2}\)

양변에 dx를 곱하고 적분하면 다음식을 얻는다.

\(EIv'=-\dfrac{qLx^2}{4}+\dfrac{qx^3}{6}+C_1\)

여기서 \(C_1\)은 적분상수이다. 이 상수를 구하기 위해 대칭성으로부터 처짐곡선 중단의 기울기 v'은 0이 된다. 그러므로 이것은 v'(L/2)=0으로 표현될 수 있다. 이 조건으로부터

\(C_1=\dfrac{qL^3}{24}\)

그리고 앞의 식은 다음과 같이 된다.

\(EIv'=-\dfrac{qLx^2}{4}+\dfrac{qx^3}{6}+\dfrac{qL^3}{24}\)

다시 이 방정식의 양변에 dx를 곱하고 적분하면

\(EIv=-\dfrac{qLx^3}{12}+\dfrac{qx^4}{24}+\dfrac{qL^3x}{24}+C_2\)

적분상수 \(C_2\)는 조건 v(0)=0로부터 구해질 수 있다. 이 조건을 위의 식에 적용하면 \(C_2=0\)이 된다. 따라서, 처짐곡선의 방정식은

\(v=\dfrac{qx}{24EI}\left(L^3-2Lx^2+x^3\right)\)

최대처짐 δ는 중단에서 발생하므로 x=L/2를 이 방정식에 대입하면 그 결과는

\(\delta=v_{max}=\dfrac{5qL^4}{384EI}\)

최대회전각은 보의 지지부에서 발생한다. 좌단 지지부 각도 \(\theta_a\)는 기울기 v'과 같다. 그러므로 앞의 기울기 식에 x=0를 대입하면

\(\theta_a=v'(0)=\dfrac{qL^3}{24EI}\)

유사한 방법으로 다른 끝단 각도 \(\theta_b\)를 얻는다.

\(\theta_b=-v'(L)=\dfrac{qL^3}{24EI}\)

예제 2

강도 q의 분포하중을 받는 외팔보(cantilever beam) AB의 처짐곡선을 결정하라(아래 그림). 또한, 자유단의 처짐 \(\delta_b\)와 회전각도 \(\theta_b\)를 결정하라.

균일하중을 받는 외팔보

이 역시 좌단 지지부를 좌표계의 원점으로 잡는다. 그러면 굽힘모멘트는 다음과 같이 표현된다.

자유물체도

\(M=-\dfrac{q(L-x)^2}{2}\)

그리고 이에 대한 미분방정식은

\(EIv''=\dfrac{q(L-x)^2}{2}\)

이 방정식의 1차 적분은 다음식을 준다.

\(EIv'=-\dfrac{q(L-x)^3}{6}+C_1\)

적분상수 \(C_1\)은 지지부의 기울기는 0이라는 조건으로부터 구할 수 있다. 즉, v'(0)=0 으로부터 \(C_1=qL^3/6\) 이므로

 \(\begin{align}v'={qx\over6EI}\left(3L^2-3Lx+x^2\right)\end{align}\)

이 방정식을 적분하면

\(v=\dfrac{qx^2}{24EI}\left(6L^2-4Lx+x^2\right)+C_2\)

지지부에서 처짐의 경계조건은 v(0)=0 이므로 \(C_2=0\) 이다. 따라서 처짐곡선의 방정식은

\(v=\dfrac{qx^2}{24EI}\left(6L^2-4Lx+x^2\right)\)

자유단에서의 회전각도 \(\theta_b\)와 처짐 \(\delta_b\)는 x=L을 위의 방정식에 대입하면 바로 구해질 수 있으며 다음과 같다.

\(\theta_b=v'(L)=\dfrac{qL^3}{6EI}\qquad\delta_b=v(L)=\dfrac{qL^4}{8EI}\)

예제 3

집중하중(concentrated load) P를 지지하는 단순보(simple beam) AB에 대한 처짐곡선의 방정식을 결정하라(아래 그림). 또한, 지지부의 회전각도 \(\theta_a\) 및 최대처짐 \(v_{\rm max}\) 그리고, 보의 중단 C의 처짐 \(\delta_c\)를 결정하라. (하중 P의 위치는 지지부 A와 B로부터 각각 a와 b의 거리 만큼 떨어져 있음에 유의한다.)

집중하중을 받는 단순보의 처짐

처짐을 얻기 위해서 아래와 같이 먼저 보의 각 구간에서 굽힘모멘트의 표현을 결정해야 한다.

보의 각 구간별 자유물체도

그러면 보의 각 구간에 대해서 미분방정식을 다음과 같이 두 번 써야만 한다.

\(\begin{align}&EIv''=-{Pbx\over L}&(0\le x\le a)\\&EIv''=-{Pbx\over L}+P(x-a)&(a\le x\le L)\end{align}\)

이 방정식들을 적분하면

\(\begin{align}&EIv'=-\frac{Pbx^2}{2L}+C_1&(0\le x\le a)\\&EIv'=-\frac{Pbx^2}{2L}+\frac{P(x-a)^2}{2}+C_2&(a\le x\le L)\end{align}\)

두 번째 적분을 수행하면 다음식들을 얻는다.

\(\begin{align}&EIv=-\frac{Pbx^3}{6L}+C_1x+C_3&(0\le x\le a)\\&EIv=-=\frac{Pbx^3}{6L}+\frac{P(x-a)^3}{6}+C_2x+C_4&(a\le x\le L)\end{align}\)

위의 방정식에서 보이는 4개의 적분상수는 다음 조건들에 의해 구해질 수 있다.

(1) x=a에서 보의 두 부분의 기울기 v'은 같다.

(2) x=a에서 보의 두 부분의 처짐 v는 같다.

(3) x=0에서 처짐은 0이다.

(4) x=L에서 처짐은 0이다.

첫번째 조건으로부터 x=a 일 때 각 구간별 기울기 방정식의 값은 같아야 하므로

\(-\dfrac{Pbx^2}{2L}+C_1=-\dfrac{Pbx^2}{2L}+C_2\)

즉, \(C_1=C_2\) 이다. 두번째 조건으로부터 x=a 일 때 처짐 방정식의 값을 같아야 한다.

\(-\dfrac{Pba^3}{6L}+C_1a+C_3=-\dfrac{Pba^3}{6L}+C_2a+C_4\)

이 식으로부터 \(C_3=C_4\) 이다. 마지막으로 조건 (3)과 (4)를 처짐 방정식에 적용하면

\(C_3=0\quad그리고\quad-\dfrac{PbL^2}{6}+\dfrac{Pb^3}{6}+C_2L=0\)

을 얻는다. 위의 결과들을 종합하면

\(C_1=C_2=\dfrac{Pb\left(L^2-b^2\right)}{6L}\qquad C_3=C_4=0\)

이 값들을 원 방정식에 대입하면 처짐곡선의 방정식을 준다.

\(\begin{align}&EIv={Pbx\over6L}\left(L^2-b^2-x^2\right)&(0\le x\le a)\\&EIv={Pbx\over6L}\left(L^2-b^2-x^2\right)+{P(x-a)^3\over6}&(a\le x\le L)\end{align}\)

보의 두 부분의 기울기는 \(C_1\)과 \(C_2\)를 첫번째 적분식에 대입하면 구할 수 있다.

\(\begin{align}&EIv'={Pb\over6L}\left(L^2-b^2-3x^2\right)&(0\le x\le a)\\&EIv'={Pb\over6L}\left(L^2-b^2-3x^2\right)+{P(x-a)^2\over2}&(a\le x\le L)\end{align}\)

보의 양 끝단의 회전각 \(\theta_a\)와 \(\theta_b\)는 이 식들에 x=0와 x=L을 대입하여 구한다.

\(\begin{align}&\theta_a=v'(0)\ \ \ =\frac{Pab(L+b)}{6LEI}\\&\theta_b=-v'(L)=\frac{Pab(L+a)}{6LEI}\end{align}\)

회전각 \(\theta_a\)는 \(b=L/\sqrt{3}\) 일 때 최대값을 갖는다.

보의 최대 처침은 처짐곡선이 수평 기울기를 갖는 D점에서 발생한다. a>b 이면 이 점은 보의 하중점 좌측에 존재한다. 이 점은 첫번째 기울기 식에서 v'=0으로 두면 구할 수 있다. 보의 끝단 A로부터 최대 처짐점의 거리를 \(x_1\)이라 하면 첫번째 v'의 식으로부터 \(x_1\)을 구한다.

\(x_1=\sqrt{\dfrac{L^2-b^2}{3}}\qquad(a\ge b)\)

이 식으로부터 하중 P가 보의 중단에서 우단으로 이동하면(즉, b가 0에 접근하면) 거리 \(x_1\)은 \(L/2\)에서 \(L/\sqrt{3}=0.577L\)로 변한다. 따라서, 최대처짐은 보의 중단에 매우 근접해서 발생하며 항상 중단과 하중점 사이에 위치한다. 이 최대처짐은 \(x_1\)을 처짐곡선에 대입하면 구해진다. 

\(v_{\rm max}=\dfrac{Pb\left(L^2-b^2\right)^{3/2}}{9\sqrt{3}LEI}\qquad(a\ge b)\)

보의 중단 처짐은 x=L/2 를 처짐곡선에 대입하여 얻어진다.

\(\delta_c=v\left(\dfrac{L}{2}\right)=\dfrac{\left(3L^2-4b^2\right)}{48EI}\qquad(a\ge b)\)