표면장력 공식

중력이나 기타 외력들을 무시하면 기체 내의 액체 덩어리는 완전한 구형을 유지한다. 그 이유는 액체 방울 내부의 분자들은 동종의 분자들로 둘러싸여 모든 방향에서 균일한 인력(cohesive force, 응집력)을 받는 반면에, 액체 방울 표면에 위치한 분자들은 내부로부터는 동종의 분자들 사이에 작용하는 응집력을 받고 외부로부터는 이종의 분자들 사이에 작용하는 인력(adhesive force, 부착력)을 받기 때문이다. 즉, 액체 분자들 사이에 작용하는 응집력이 액체와 기체 분자 사이에 작용하는 부착력보다 크기 때문에, 표면 상의 액체 분자들은 내부로 향하는 힘을 받게 되어 완전한 구형을 이루게 된다.

 그러므로, 액체 방울 내부의 분자를 표면으로 옮기기 위해서는 일정량의 일을 해주어야 한다. 일정량의 액체가 구형을 이루고 있는 액체 방울에 첨가될 경우, 표면적의 증가로 내부 분자들의 표면 가까이 이동해야 한다. 이러한 이동을 위해서는 앞서 언듭한 바와 같이 일정량의 일이 수행되어야 하며, 이 일의 양은 표면적의 증가량에 비례한다. 따라서 표면적의 확장은 에너지를 필요로 하며, 단위 표면적당의 일의 의미를 갖는 이 에너지는 표면장력이라 불리운다. 표면장력은 σ의 기호로 표시되며, 힘/길이의 차원을 N/m, lbf/ft 등의 단위로 나타낸다.

위의 과정으로 볼 때 실제로 표면장력을 포함하는 표면은 존재하지 않으나, 계산상의 편의를 위해 액체의 표면은 접선 방향의 균일한 인장력이 작용하는 막으로 취급된다. 표면장력의 크기는 일반적으로 온도와 압력에 따라 변한다.

이러한 표면장력은 고체나 다른 유체와 접촉하는 액체 표면상에서 항상 작용한다. 많은 유체역학 문제들에서 이 힘은 다른 힘들에 비해 크기가 작아 무시되지만, 모세관 현상이나 기포의 형성, 물줄기의 분열, 액체 방울의 형성 등의 현상을 지배하는 힘이 된다.

구형 액체방울의 압력과 표면장력

표면장력이 작용하는 표면을 가로질러서는 항상 압력강하가 일어난다. 압력강하와 표면장력과의 관계를 알기 위해 위와 같은 구형 액체 방울을 생각한다. 압력차는 \(p_i-p_o\)로 주어지고, \(p_i\)는 액체 방울 내부의 압력이고 \(p_o\)는 외부의 압력이다. 일정량의 액체가 첨가되어 방울의 반경이 r에서 r+dr로 증가되었다 하자. 그러면, 에너지 증가는 표면적의 증가량에 표면장력을 곱한 양,

\(\sigma dA=\sigma d(4\pi r^2)=\sigma8\pi rdr\)

로 나타낼 수 있다. 여기서 A는 표면적 \(4\pi r^2\) 이다. 그런데 에너지 보존 법칙에 의하면, 이 에너지는 압력차로 인한 일과 같게 놓을 수 있다. 이 일은 압력차 \(p_i-p_o\)에 작용면적과 거리 dr을 곱한양 \(4\pi r^2(p_i-p_o)dr\) 이다. 이상의 두가지 표현을 같게 두면, 압력차에 관한 식을 얻는다.

\(p_i-p_o=\dfrac{2\sigma}{r}\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot(1)\)

위의 식은 표면상에 위치한 서로 수직인 두 곡선의 곡률이 동일한 구형 표면에 관한 식이므로, 일반적으로 두 곡률이 다른 표면에는 적용할 수 없다. 따라서 일반적인 곡면으로 아래와 같이 \(r_1,\,r_2\)의 두 곡률반경(radius of curvature)을 갖는 평면상의 미소요소 dxdy를 생각한다.

곡면에 작용하는 압력과 표면장력

이 경우도 압력차 \(p_i-p_o\)와 표면장력은 평형을 이루게 된다. 따라서 미소요소에 수직한 방향의 힘의 평형식 ΣF=0 을 적용하면 다음과 같다.

\((p_i-p_o)dxdy=2\sigma dy\sin\alpha+2\sigma dx\sin\beta\)

여기서 α와 β는 작은 각이므로 \(\sin\alpha=\frac{dx}{2r_1}\)과 \(\sin\beta=\frac{dy}{2r_2}\)의 관계가 성립한다(θ≒0 이면 sinθ≒θ).이 관계들을 윗 식에 대입하면, 압력차와 표면장력 사이의 일반적인 관계식이 얻어진다.

\(p_i-p_o=\sigma\left(\dfrac{1}{r_1}+\dfrac{1}{r_2}\right)\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot(2)\)

식 (2)를 구형표면에 적용하면 \(r_1=r_2=r\)이 되므로 식 (1)과 일치하며, 반경 r의 원통표면에 적용하면 \(r_1=r\) 그리고 \(r_2\rightarrow\infty\)가 되므로 다음 식을 얻는다.

\(p_i-p_o=\dfrac{\sigma}{r}\)

접촉각

위의 그림과 같이 액체가 고체면상에 놓여 있을 때, 액체와 주변 기체가 만나는 경계면이 고체면과 일정한 각을 이루게 된다. 이와 같이 서로 섞이지 않는 세가지 물질이 만나서 이루는 각을 접촉각(contact angle)이라고 한다. 이 각은 세 물질을 구성하는 분자간의 상대적인 인력의 크기에 따라 근본적으로 좌우된다. 뿐만 아니라 고체 표면의 청결도 역시 접촉각에 영향을 미치는 중요한 인자이다. 따라서 물과 공기 그리고 깨끗한 유리가 이루는 접촉각은 영이 되어 물이 유리면 위로 부드럽게 퍼져갈 수 있지만, 더러운 유리에서는 불가능하다. 물과 공기 그리고 파라핀 왁스(paraffin wax)가 이루는 접촉각은 105˚이고 수은과 공기, 유리가 이루는 각은 130˚이다.

물, 파라핀 왁스 및 수은의 접촉각

[예제]  밀도가 ρ인 액체 속에 그림과 같이 유리 대롱이 수직으로 꽂혀 있다. 유리 대롱 내 유체의 높이 h를 구하라. 주위에는 밀도 \(\rho_g\)인 기체가 있고 유리표면에서의 접촉각은 θ이다. 그리고 유리 대롱의 반격은 r 이다.

<풀이>  위의 그림에서 점선 내의 액체에 대한 힘의 평형을 생각한다. 이 부분의 액체에 작용하는 힘들은 중력 \(\pi r^2h\rho g\)와 주위의 기체에 의한 부력 \(\pi r^2\rho_gg\) 그리고 표면장력 \(2\pi r \sigma\) 이다. 수직방향의 힘의 평형식은 다음과 같다.

\(\Sigma F=\sigma2\pi r\cos\theta+\pi r^2h\rho_gg-\pi r^2h\rho g=0\)

따라서 위의 식을 h에 관하여 정리하고, 일반적으로 기체의 밀도 \(\rho_g\)는 액체의 밀도 ρ에 비해 매우 작으므로 무시하면 다음 식을 얻는다.

\(h=\dfrac{2\sigma}{(\rho-\rho_g)rg}\cos\theta=\dfrac{2\sigma}{\rho rg}\cos\theta\)

식 (2)를 이용하여 위의 식을 유도할 수도 있다. 표면장력이 작용하는 면에서의 액체의 압력은 계기압력으로 \(p_o=-\rho gh\) 이고, 기체의 압력은 \(p_i=-\rho_ggh\) 이다. 그리고, \(r_1=r/\cos\theta,\,r_2=r/\cos\theta\) 이므로 이들을 식 (2)에 대입하면 위의 식이 얻어진다.