x→a 일 때 lim x²=a² ε-δ 법 증명 (Proof of lim x²=a² as x→a by ε-δ method)

[문  제] \(\displaystyle\lim_{x\to a}x^2=a^2\) 임을 ε-δ 법에 의하여 증명하여라.

<증  명> 임의의 ε>0가 주어지고 \(\lvert f(x)-a^2\rvert<\epsilon\) 이기 위해서는 \(\lvert x^2-a^2\rvert=\lvert x-a\rvert\lvert x+a\rvert<\epsilon\).

즉, \(\lvert x-a\rvert<\frac{\epsilon}{\lvert x+a\rvert}\) 이면 된다.

\(0<\lvert x-a\rvert<\delta\) 에서 δ=1 로 놓으면 \(\lvert x\rvert-\lvert a\rvert\le\lvert x-a\rvert<1\) 이므로 \(\lvert x\rvert<\lvert a\rvert+1\).

따라서 \(\lvert x+a\rvert\le\lvert x\rvert+\lvert a\rvert<1+2\lvert a\rvert\) 이다.

곧, \(\frac{\epsilon}{1+2\lvert a\rvert}<\frac{\epsilon}{\lvert x+a\rvert}\) 이다.

위의 사실로부터 \(\delta=\min\left(1,\frac{\epsilon}{1+2\lvert a\rvert}\right)\) 이고 \(0<\lvert x-a\rvert<\delta\) 인 x에 대하여 \(\lvert f(x)-a^2\rvert<\epsilon\).

\[\therefore\lim_{x\to a}x^2=a^2\]