x→a 일 때 lim x²=a² ε-δ 법 증명 (Proof of lim x²=a² as x→a by ε-δ method)

[문  제] ${\displaystyle \underset{x\to a}{lim}{x}^2=a^2}$ 임을 ε-δ 법에 의하여 증명하여라.

<증  명> 임의의 ε>0가 주어지고 $|f(x)-a^2|<ϵ$ 이기 위해서는 $|x^2-a^2|=|x-a||x+a|<ϵ$.

즉, $|x-a|<\frac{ϵ}{|x+a|}$ 이면 된다.

$0<|x-a|<\delta$ 에서 δ=1 로 놓으면 $|x|-|a|\le |x-a|<1$ 이므로 $|x|<|a|+1$.

따라서 $|x+a|\le |x|+|a|<1+2|a|$ 이다.

곧, $\frac{ϵ}{1+2|a|}<\frac{ϵ}{|x+a|}$ 이다.

위의 사실로부터 $\delta =min(1,\frac{ϵ}{1+2|a|})$ 이고 $0<|x-a|<\delta$ 인 x에 대하여 $|f(x)-a^2|<ϵ$.

$$\therefore \underset{x\to a}{lim}{x}^2=a^2$$