기계공학 (Mechanical Engineering)

필자는 기계 전공이지만 가끔 실무에 통계분석을 하는 경우가 있다. 그 과정에서 표본의 개수가 n개 일 때 '왜 분산의 자유도는 n-1 인가?' 에 대한 의문을 가진 적이 있다. 인터넷 Q & A 나 블로그들을 보면 복잡한 설명과 함께 틀린 내용이 대부분인데 그 중 통계 지식이 있으신 분들의 간단 명료하게 이해되는 답변들이 있다. 본 글에서의 자유도는 확률 통계 항목에 있으므로 통계학에서의 자유도이다. 다음과 같이 자유도의 개념을 정리해 보았다. - 정의 : 통계량(평균, 분산 등)을 정의하기 위해 필요한 개별 값의 수 - 표본의 개수가 n개 일 때 평균의 자유도는 n 이다. (개별 값을 더해서 그 개수로 나눈 것이므로 아무런 제약이 없다.) \(x_1,\,x_2,\,\cdot\cdot\cdot,\,x_n\) → n 개 → 평균 : \(\begin{align}\overline x={1\over n}\sum_{i=1}^nx_i\end{align}\) - 표본 분산의 자유도는 n-1 이다. (분산은 개별 편차의 제곱에 합하여 그 개수 n으로 나눈 것인데 모든 편차의 합은 '0'이 된다는 제약이 있어 자유도 하나를 빼준다.) \((x_1-\overline x)^2,\,(x_2-\overline x)^2,\,\cdot\cdot\cdot,\,(x_n-\overline x)^2\) → n개 \((x_1-\overline x)+(x_2-\overline x)+\cdot\cdot\cdot+(x_n-\overline x)=(x_1+x_2+\cdot\cdot\cdot+x_n)-n\overline x=0\) → -1개 분산 : \(\begin{align}s^2=\frac{\begin{align}\sum_{i=1}^n(x_i-\overline x)^2\end{align}}{n-1}\end{align}\)

통계학에서 결정 계수 \(\rm R^2\)는 통계모델을 설명하는 데이터 집합의 변동성에 비례한다. 데이터 집합 \(y_i\)가 예측치 \(\hat y_i\)로 근사될 때 변동성은 제곱합의 차이로 측정된다. \(\begin{align}{\rm SS}_{tot}=\sum_{i=1}^{nexp}\left(y_i-\bar y\right)^2\end{align}\) : 전체 제곱합 ⇒ 데이터 전체의 편차 \(\begin{align}{\rm SS}_{reg}=\sum_{i=1}^{nexp}\left(\hat y_i-\bar y\right)^2\end{align}\) : 회귀 제곱합 ⇒ 평균 주위 회귀값의 편차 \(\begin{align}{\rm SS}_{err}=\sum_{i=1}^{nexp}\left(y_i-\hat y_i\right)^2\end{align}\) : 잔차 제곱합 ⇒  회귀선 주위의 편차 여기서 \(\begin{align}\bar y=\frac{1}{nexp}\sum_{i=1}^{nexp}y_i\end{align}\) 위의 결과 \(\rm R^2\)는 다음과 같다. \({\rm R}^2=1-\dfrac{{\rm SS}_{err}}{{\rm SS}_{tot}}=\dfrac{{\rm SS}_{reg}}{{\rm SS}_{tot}},\ {\rm SS}_{tot}={\rm SS}_{reg}+{\rm SS}_{err}\) 실험점수(nexp)가 증가하면 근사모델의 정확도와 무관하게 \(\rm R^2\) 값이 증가하므로 이를 보완하고자 실험점수로 정규화한 \({\rm R}^2_{adj.}\)를 사용한다. \({\rm R}^2_{adj.}=1-\left(1-{\rm R}^2\right)\dfrac{nexp-1}{nexp-(nsat-1)-1}\) nsat : 포화점수

극좌표계 성형한계도(Polar-coordinated Effective Plastic Strain Forming Limit Diagram)는 EPS, \(\overline{\epsilon_p}\)를 도입하여, 직교좌표계 X-Y 평면에 극좌표계를 이용하여 성형한계를 표시한다. (x, y) 좌표는 \((\overline{\epsilon_p}\sin\theta,\,\overline{\epsilon_p}\cos\theta)\)로 구해지며 이 때의 x, y의 값은 물리적 의미를 갖지 않고, 단지 극좌표계 상의 값을 직교좌표계에 옮기기 위한 값으로 간주된다. 이 때의 \(\overline{\epsilon_p}\)와 θ는 다음과 같이 결정된다. \(\overline{\epsilon_p}=\frac{1+\overline r}{\sqrt{1+2\overline r}}\int_0^t\sqrt{\dot\epsilon_1^2(t)+\dot\epsilon_2^2(t)+\frac{2\overline r}{1+\overline r}\dot\epsilon_1(t)\dot\epsilon_2(t)}dt\) \(\theta={\rm Tan}^{-1}\dot\gamma={\rm Tan}^{-1}\frac{\dot\epsilon_2}{\dot\epsilon_1}\)   \(\overline r=\frac{r_0+2r_{45}+r_{90}}{4}\) 극좌표계 성형한계도 상에서 변형경로를 표현하는 방법은 기존 성형한계도와는 조금 다른데, 이를 아래 그림들에 표현하였다. 예를 들어 다음과 같이 양축인장(biaxial tension)에서 출발하여 유효소성변형률(EPS) 0.3 점에서 다시 단축인장(unaxial tension)으로 변형이 되어 성형한계에 도달했다고 하자. 이 경우는 비례부하(proportional loading)가 아니므로 파단변형률은 초기 선도(청색) 대비 다른 형태(적색)을 띠게 된다. 응력삼축성 vs 파단변형률 기존 성형한계도 상에서 변형 경로 진행은 아래 그림과 같이, 원점에

복소함수 (Complex Functions) 실제적인 많은 문제들에 있어서 두 변수의 복소함수(complex function)를 응력함수(stress function)로 사용하는 것이 편리하다. 복소함수는 지배 방정식을 자동으로 만족시키는 능력이 있으며, 단지 경계조건을 만족하기 위한 조정이 필요하다. 이러한 이유로 복소변수법(complex-variable methods은 이론적인 응력해석에 있어서 중요한 역할을 하므로, 본 글과 같은 입문서에서도 그 방법론을 기술한다. 몇가지 필요한 관계들을 도입하기 위해 복소평면 x와 y, 또는 오일러 공식에 의한 극좌표계 상의 복소수(complex number) z를 생각한다. \(z=x+iy=re^{i\theta}\) 여기서 \(i=\sqrt{-1}\) 이다. 임의의 해석함수(analytic function) f(z)는 그의 미분이 z에만 의존하고, 다음과 같은 형태를 취한다. \(f(z)=\alpha+i\beta\) 여기서 α와 β는 x와 y의 실함수이다. α와 β는 코시-리만 방정식을 만족함을 쉽게 보일 수 있다: \(\dfrac{\partial\alpha}{\partial x}=\dfrac{\partial\beta}{\partial y}\qquad\dfrac{\partial\alpha}{\partial y}=\dfrac{\partial\beta}{\partial x}\) 위의 첫번째 식을 x에 대하여 그리고 두번째 식을 y에 대하여 미분하면 다음과 같은 결과를 얻는다. \(\dfrac{\partial^2\alpha}{\partial x^2}+\dfrac{\partial^2\alpha}{\partial y^2}\equiv\nabla^2\alpha=0\) 이 식은 라플라스 방정식(Laplace's equation) 이라 하고, 이 방정식을 만족하는 함수를 조화(harmonic) 함수라 칭한다. 동일하게 α 대신에 β를 쓰면 \(\nabla^2\beta=0\)를 얻으므로, 복소함수의 실수부와 허수부, 둘

정의 응력(stress)은 단순하게는 힘/면적이며 면수직에 대한 힘 방향에 따라서 상태가 결정된다. 힘 벡터 에 수직일 때 수직응력(normal stress)이라 하고 σ로 나타낸다. 힘 벡터가 면과 평행할 때 전단응력(shear stress)이라 하고 τ로 나타낸다. \(\sigma=\dfrac{{\rm F}_n}{\rm A}\qquad\qquad\tau=\dfrac{{\rm F}_p}{\rm A}\) 성분 정의 (Component definition) 임의의 응력 상태를 표현하기 위해서는 각 방향별 성분(component)들이 필요하다. 아래와 같이 좌표축과 평행하지 않은 2차원 단순인장의 예를 생각한다. 면의 수직방향이 x축과 평행한 가상의 단면을 자른다. 그러면 힘은 면에 수직한 그리고 평행한 성분으로 나눌 수 있다. 이 때 응력은 다음과 같이 정의된다. \(\sigma_{xx}=\dfrac{{\rm F}_x}{{\rm A}_x}\qquad\qquad\tau_{xy}=\dfrac{{\rm F}_y}{{\rm A}_x}\) 여기서 응력 성분의 첫번째 첨자(subscript)는 면의 방향, 두번째 첨자는 힘의 방향을 나타낸다. 평형 (Equilibrium) 아래 그림은 완전한 2-D 응력 상태를 나타낸다. x-수직응력 \(\sigma_{xx}\)는 좌우 양변에 작용하여 수평방향 평형을 이루고 있다. 위의 경우 방향이 외측으로 향하고 있으므로 인장이다. 인장은 양수 값을 가지며 압축은 음수 값을 가진다. y-수직응력 \(\sigma_{yy}\)는 수직방향 평형을 이룬다. 전단응력 \(\tau_{xy}\)는 요소를 시계 반대방향으로 회전시키며 \(\tau_{yx}\)는 시계방향으로 회전시킨다. 만약 두 전단응력 값이 다르다면 회전평형이 안되므로 두 값은 동일해야 한다. \((\tau_{xy}=\tau_{yx})\) 2-D 표기법 (Notation) 응력은 텐서의 표준 좌표변환 (coordinate transformation) 법칙을 따르므로 텐서이다.