응력 (Stress)

정의

응력(stress)은 단순하게는 힘/면적이며 면수직에 대한 힘 방향에 따라서 상태가 결정된다. 힘 벡터에 수직일 때 수직응력(normal stress)이라 하고 σ로 나타낸다.

힘 벡터가 면과 평행할 때 전단응력(shear stress)이라 하고 τ로 나타낸다.

\(\sigma=\dfrac{{\rm F}_n}{\rm A}\qquad\qquad\tau=\dfrac{{\rm F}_p}{\rm A}\)

성분 정의 (Component definition)

임의의 응력 상태를 표현하기 위해서는 각 방향별 성분(component)들이 필요하다. 아래와 같이 좌표축과 평행하지 않은 2차원 단순인장의 예를 생각한다. 면의 수직방향이 x축과 평행한 가상의 단면을 자른다. 그러면 힘은 면에 수직한 그리고 평행한 성분으로 나눌 수 있다.

이 때 응력은 다음과 같이 정의된다.

\(\sigma_{xx}=\dfrac{{\rm F}_x}{{\rm A}_x}\qquad\qquad\tau_{xy}=\dfrac{{\rm F}_y}{{\rm A}_x}\)

여기서 응력 성분의 첫번째 첨자(subscript)는 면의 방향, 두번째 첨자는 힘의 방향을 나타낸다.

평형 (Equilibrium)

아래 그림은 완전한 2-D 응력 상태를 나타낸다.

x-수직응력 \(\sigma_{xx}\)는 좌우 양변에 작용하여 수평방향 평형을 이루고 있다. 위의 경우 방향이 외측으로 향하고 있으므로 인장이다. 인장은 양수 값을 가지며 압축은 음수 값을 가진다.

y-수직응력 \(\sigma_{yy}\)는 수직방향 평형을 이룬다.

전단응력 \(\tau_{xy}\)는 요소를 시계 반대방향으로 회전시키며 \(\tau_{yx}\)는 시계방향으로 회전시킨다. 만약 두 전단응력 값이 다르다면 회전평형이 안되므로 두 값은 동일해야 한다. \((\tau_{xy}=\tau_{yx})\)

2-D 표기법 (Notation)

응력은 텐서의 표준 좌표변환(coordinate transformation) 법칙을 따르므로 텐서이다. 아래와 같은 여러가지 표기법이 쓰여진다.

\({\boldsymbol\sigma}=\left[\begin{matrix}\sigma_{11}&\sigma_{12}\\\sigma_{21}&\sigma_{22}\end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix}\sigma_{xx}&\tau_{xy}\\\tau_{yx}&\sigma_{yy}\end{matrix}\right]\) 여기서 \(\sigma_{12}=\sigma_{21}=\tau_{xy}=\tau_{yx}\)

3-D 표기법

2-D 표기 방식은  3-D로 확장되며 다음과 같다. 회전평형을 만족하므로 대칭텐서이다.

\({\boldsymbol\sigma}=\left[\begin{matrix}\sigma_{11}&\sigma_{12}&\sigma_{13}\\\sigma_{21}&\sigma_{22}&\sigma_{23}\\\sigma_{31}&\sigma_{32}&\sigma_{33}\end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix}\sigma_{xx}&\tau_{xy}&\tau_{xz}\\\tau_{yx}&\sigma_{yy}&\tau_{yz}\\\tau_{zx}&\tau_{zy}&\sigma_{zz}\end{matrix}\right]\)

여기서 \(\sigma_{12}=\sigma_{21}=\tau_{xy}=\tau_{yx}\), \(\sigma_{23}=\sigma_{32}=\tau_{yz}=\tau_{zy}\) 및 \(\sigma_{13}=\sigma_{31}=\tau_{xz}=\tau_{zx}\)

출처 http://www.continuummechanics.org/