응력 (Stress)

정의

응력(stress)은 단순하게는 힘/면적이며 면수직에 대한 힘 방향에 따라서 상태가 결정된다. 힘 벡터에 수직일 때 수직응력(normal stress)이라 하고 σ로 나타낸다.

힘 벡터가 면과 평행할 때 전단응력(shear stress)이라 하고 τ로 나타낸다.

$\sigma ={\displaystyle \frac{{\mathrm{F}}_n}{\mathrm{A}}}\tau ={\displaystyle \frac{{\mathrm{F}}_p}{\mathrm{A}}}$

성분 정의 (Component definition)

임의의 응력 상태를 표현하기 위해서는 각 방향별 성분(component)들이 필요하다. 아래와 같이 좌표축과 평행하지 않은 2차원 단순인장의 예를 생각한다. 면의 수직방향이 x축과 평행한 가상의 단면을 자른다. 그러면 힘은 면에 수직한 그리고 평행한 성분으로 나눌 수 있다.

이 때 응력은 다음과 같이 정의된다.

${\sigma }_{xx}={\displaystyle \frac{{\mathrm{F}}_x}{{\mathrm{A}}_x}}{\tau }_{xy}={\displaystyle \frac{{\mathrm{F}}_y}{{\mathrm{A}}_x}}$

여기서 응력 성분의 첫번째 첨자(subscript)는 면의 방향, 두번째 첨자는 힘의 방향을 나타낸다.

평형 (Equilibrium)

아래 그림은 완전한 2-D 응력 상태를 나타낸다.

x-수직응력 ${\sigma }_{xx}$는 좌우 양변에 작용하여 수평방향 평형을 이루고 있다. 위의 경우 방향이 외측으로 향하고 있으므로 인장이다. 인장은 양수 값을 가지며 압축은 음수 값을 가진다.

y-수직응력 ${\sigma }_{yy}$는 수직방향 평형을 이룬다.

전단응력 ${\tau }_{xy}$는 요소를 시계 반대방향으로 회전시키며 ${\tau }_{yx}$는 시계방향으로 회전시킨다. 만약 두 전단응력 값이 다르다면 회전평형이 안되므로 두 값은 동일해야 한다. $({\tau }_{xy}={\tau }_{yx})$

2-D 표기법 (Notation)

응력은 텐서의 표준 좌표변환(coordinate transformation) 법칙을 따르므로 텐서이다. 아래와 같은 여러가지 표기법이 쓰여진다.

$\mathit{\sigma }=\left[\begin{array}{cc}{\sigma }_{11}& {\sigma }_{12}\\ {\sigma }_{21}& {\sigma }_{22}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}{\sigma }_{xx}& {\tau }_{xy}\\ {\tau }_{yx}& {\sigma }_{yy}\end{array}\right]$ 여기서 ${\sigma }_{12}={\sigma }_{21}={\tau }_{xy}={\tau }_{yx}$

3-D 표기법

2-D 표기 방식은  3-D로 확장되며 다음과 같다. 회전평형을 만족하므로 대칭텐서이다.

$\mathit{\sigma }=\left[\begin{array}{ccc}{\sigma }_{11}& {\sigma }_{12}& {\sigma }_{13}\\ {\sigma }_{21}& {\sigma }_{22}& {\sigma }_{23}\\ {\sigma }_{31}& {\sigma }_{32}& {\sigma }_{33}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}{\sigma }_{xx}& {\tau }_{xy}& {\tau }_{xz}\\ {\tau }_{yx}& {\sigma }_{yy}& {\tau }_{yz}\\ {\tau }_{zx}& {\tau }_{zy}& {\sigma }_{zz}\end{array}\right]$

여기서 ${\sigma }_{12}={\sigma }_{21}={\tau }_{xy}={\tau }_{yx}$, ${\sigma }_{23}={\sigma }_{32}={\tau }_{yz}={\tau }_{zy}$ 및 ${\sigma }_{13}={\sigma }_{31}={\tau }_{xz}={\tau }_{zx}$

출처 http://www.continuummechanics.org/