타원공 주의의 응력 (Stess around Elliptical Hole)
복소함수 (Complex Functions)
실제적인 많은 문제들에 있어서 두 변수의 복소함수(complex function)를 응력함수(stress function)로 사용하는 것이 편리하다. 복소함수는 지배 방정식을 자동으로 만족시키는 능력이 있으며, 단지 경계조건을 만족하기 위한 조정이 필요하다. 이러한 이유로 복소변수법(complex-variable methods은 이론적인 응력해석에 있어서 중요한 역할을 하므로, 본 글과 같은 입문서에서도 그 방법론을 기술한다. 몇가지 필요한 관계들을 도입하기 위해 복소평면 x와 y, 또는 오일러 공식에 의한 극좌표계 상의 복소수(complex number) z를 생각한다.
여기서
여기서 α와 β는 x와 y의 실함수이다. α와 β는 코시-리만 방정식을 만족함을 쉽게 보일 수 있다:
위의 첫번째 식을 x에 대하여 그리고 두번째 식을 y에 대하여 미분하면 다음과 같은 결과를 얻는다.
이 식은 라플라스 방정식(Laplace's equation)이라 하고, 이 방정식을 만족하는 함수를 조화(harmonic) 함수라 칭한다. 동일하게 α 대신에 β를 쓰면
즉, ψ가 조화함수인, xψ 형태의 어떠한 함수도 호환 방정식(compatibility equation)을 만족하므로 응력함수로 사용할 수 있다. 유사하게 yψ와
여기서 "Re"와 "Im"은 각각 이 복소 표현식의 실수부와 허수부를 의미한다. 이 함수 Φ를 응력함수에 대입하고 코시-리만 방정식을 활용하면 이에 해당하는 응력들을 아래와 같이 얻게 된다.
또한 이들 사이의 다음 관계식을 얻는다.
여기서 따옴표(primes)는 z에 관한 미분을 나타내고, 윗줄(overbar)은 i를 -i로 치환한 켤레 함수(conjugate function)를 나타낸; 따라서
위의 (x, y) 직교좌표계의 응력 성분들은 아래식을 통하여 (α, β) 직교곡선좌표계(orthogonal curvillinear coordinates)로 변환될 수 있다.
여기서
타원공 주위의 응력 (Stresses around an Elliptical Hole)
파과이론에 있어서 매우 중요한 발전으로, 잉글리스(Inglis)는 커쉬의 해법을 확장하여 원형공(circular hole)이 아닌 타원공(elliptical hole)을 포함한 평판의 응력장을 다루기 위해 복소 포텐셜 함수(complex potential function)를 사용하였다. 이것은 타원의 단축을 작게 함으로서 균열(crack)과 유사한 형상을 취급할 수 있다. 이 경우 아래와 같이 정의되는 α, β 타원좌표계를 사용하는 것이 편리하다.
여기서 c는 상수이다. β를 소거하면 결과적으로 다음과 같이 등가로 나타낼 수 있다.
타원의 경계에서는
로 쓸 수 있다. 여기서 a와 b는 상수이다. 그러면 경계에서는
직교좌표계에서 주반경과 부반경이 a와 b인 타원의 방정식임을 알 수 있다. 이 타원좌표계는 복소변수(complex variable)의 항으로 다음과 같이 쓸 수 있다.
타원의 경계를 가로질러,
이들 경계조건은 아래 형태의 포텐셜 함수로 만족될 수 있다.
여기서 A, B, C, D, E는 경계조건으로 결정되는 상수들이다. 이제 이 상수들을 구하기 위해 위의 복소함수들의 도함수를 합성함수의 미분법으로 아래와 같이 구한다.
또한 이들을 앞의 응력 관계식에 대입하기 위해 다음식을 구한다.
이제 이 식들을 응력식에 대입하여 정리하면 다음과 같다.
먼저 위의 식을 원거리 경계조건을 적용하고
앞의 식에서 보듯이 A의 허수부 Im A는 응력의 기여가 없고 강체운동을 유발하는 정도이다. 따라서 Im A=0으로 놓고 다음과 같이 취한다.
여기서
두번째로 응력성분들은 타원좌표계로 표현하면
이므로 직교좌표계의 응력식으로부터 다음과 같이 된다.
위의 첫번째식에서 두번째식을 차감하면
윗식에 포텐셜 함수식을 대입하고, 타원공 경계(
그리고
이다. 그러면 앞의 식은 다음과 같이 정리된다.
여기서 ζ는
앞의 상수들을 실수부와 허수부로 분해한 식들을 대입하고 양변의 계수들을 비교하면 다음식들을 얻는다.
앞의 식 (1)과 위의 (2)식으로부터 9개의 미지수
위에서 결정된 모든 상수들을 대입하면 복소 포텐셜은 다음과 같이 주어진다.
이 식들을 이용하여 앞의 응력함수와 응력성분의 관계식을 이용하면
y방향 단축응력을 받는 타원공 부근의 응력장 (a) |
위의 그림은 잉글리스 방정식의 응력 분포를 보여준다. 예상대로 구멍 주변에
타원공 경계면에서는 수직응력
응력의 최대치는 장축의 끝단에서 발생(cos 2β=1) 하고
또한 이 식은 장축 끝단의 곡률반경
이 결과는 자체로 유용하다: 큰 균열이 작은 것보다 분명히 불리(국부응력은 균열크기 a에 따라 증가)하고 날카로운(ρ 감소) 기공(void) 또한 둥근 것보다 좋지 않다는 것은 명백하다. 더우기 균열이 날카로워 지면(ρ→0) 응력
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