정수압과 편향응력 (Hydrostatic & Deviatoric Stress)

응력텐서는 정수압(hydrostatic) 그리고 편향(deviatoric) 응력으로 분해될 수 있다. 정수압 응력은 체적변화와 관련이 있으며 편향 응력은 형상 변화와 관련이 있다.

정수압 응력(Hydrostatic Stress)

정수압 응력은 응력텐서 수직성분의 평균이다.

\(\sigma_\text{H}=\dfrac{\sigma_{11}+\sigma_{22}+\sigma_{33}}{3}=\dfrac{\text{tr}(\boldsymbol\sigma)}{3}=\dfrac{\text{I}_1}{3}=\dfrac{\sigma_{kk}}{3}\)

텐서 형태로 쓰이기도 하나 스칼라양이다.

\(\boldsymbol\sigma_\text{H}=\begin{bmatrix}\sigma_\text{H}&0&0\\0&\sigma_\text{H}&0\\0&0&\sigma_\text{H}\end{bmatrix}\)

[예제 1] 다음 응력텐서의 정수압 응력을 구하여라. \(\boldsymbol\sigma=\begin{bmatrix}50&30&20\\30&-20&-10\\20&-10&10\end{bmatrix}\) 정수압 응력은 \(\sigma_\text{H}=\dfrac{50-20+10}{3}=13.3\) 텐서 형태로 쓰면 \(\boldsymbol\sigma_\text{H}=\begin{bmatrix}13.3&0&0\\0&13.3&0\\0&0&13.3\end{bmatrix}\)

정수압 응력과 좌표변환(Hydrostatic Stress and Coordinate Transformation)

정수압 응력은 좌표변환으로 변하지 않는다. 이는 정수압 응력이 불변치 \(\text I_1\)의 함수임을 봐도 알 수 있다. 또한 좌표변환으로 변하지 않으면 전단응력이 없다는 것을 의미한다. 모든 방향이 정수압 응력의 주방향이 된다.

정수압 응력과 압력(Hydrostatic Stress and Pressure)

압력은 정수압 응력과 부호가 반대이다. 압력은 압축이므로 음의 부호를 갖는다. 압력을 p로 나타내면

\(p=-\sigma_\text{H}=-\dfrac{\sigma_{11}+\sigma_{22}+\sigma_{33}}{3}\)

압력 p를 포함한 응력텐서는

\(\boldsymbol\sigma_\text{H}=\begin{bmatrix}-p&0&0\\0&-p&0\\0&0&-p\end{bmatrix}\)

비압축성 재료의 정수압 응력(Hydrostatic Stress in Incompressible Materials)

비압축성 재료에서는 정수압 응력의 영향이 없다. 이는 변형률(strain)과 변형구배(deformation gradient)를 기준으로 정수압 응력을 계산하지 않는다는 것을 의미한다. 또한 유한요소(finite element) 프로그램에서 비압축성 재료에 미소한 압축성을 부여하는 이유이다.

편향응력(Deviatoric Stress)

편향 응력은 정수압 응력을 뺀 나머지 성분이다. 평향 응력을 σ'로 나타내면

\(\boldsymbol\sigma'=\boldsymbol\sigma-\boldsymbol\sigma_\text{H}\)

텐서 표기법으로 쓰면

\(\sigma'_{ij}=\sigma_{ij}-\dfrac{1}{3}\delta_{ij}\sigma_{kk}=\sigma_{ij}+p\delta_{ij}\)

[예제 2] 다음 응력 텐서에서 \(\boldsymbol\sigma=\begin{bmatrix}50&30&20\\30&-20&-10\\20&-10&10\end{bmatrix}\) 정수압 응력은 위에서 구한 것과 같이 \(\boldsymbol\sigma_\text{H}=\begin{bmatrix}13.3&0&0\\0&13.3&0\\0&0&13.3\end{bmatrix}\) 편향 응력은 전체 응력에서 정수압 응력을 빼면된다. \(\boldsymbol\sigma'=\boldsymbol\sigma-\boldsymbol\sigma_\text{H}=\begin{bmatrix}50&30&20\\30&-20&-10\\20&-10&10\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}13.3&0&0\\0&13.3&0\\0&0&13.3\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}36.7&30.0&20.0\\30.0&-33.3&-10.0\\20.0&-10.0&-3.3\end{bmatrix}\) 위의 결과의 대각합은 '0'(traceless)이라는 사실에 유의한다. 다시 말하면 편향 응력의 정수압 응력은 '0'이다.

대각합이 '0'이라는 것은 대각성분이 '0'인, 즉, 전단응력만으로 구성된 텐서를 나타낼 수 있는 좌표변환(coordinate transformation)이 있다는 것을 의미한다. 아래의 좌표변환은 위의 예제의 편향 응력을 전단성분만으로 나타낸 것이다.

\(\begin{split}\boldsymbol\sigma'&={\bf Q\sigma Q}^T\\&=\begin{bmatrix}0.946&-0.304&-0.279\\0.356&0.756&0.605\\0.004&-0.080&0.283\end{bmatrix}\begin{bmatrix}36.7&30.0&20.0\\30.0&-33.3&-10.0\\20.0&-10.0&-3.3\end{bmatrix}\begin{bmatrix}0.946&0.356&0.004\\-0.304&0.756&-0.080\\-0.279&0.605&0.283\end{bmatrix}\\&=\begin{bmatrix}0.0&52.2&3.2\\52.2&0.0&1.1\\3.2&1.1&0.0\end{bmatrix}\end{split}\)

출처 http://www.continuummechanics.org/