텐서 표기법 (Tensor Notation) -기본

연속체역학(continuum mechanics)이나 유한요소법(finite element method)에서 많이 나오는 텐서(첨자 또는 아인슈타인) 표기법에 대해 알아본다.

총합 규약(Summation Convention)

하나의 항에 첨자가 두번 나오면 1에서 3까지 합을 나타낸다. $a_i{b}_j$는 단순히 벡터 $\mathbf{a}$의 i번째 성분과 j번째 성분의 곱이다. 하지만 $a_i{b}_i$는 완전히 다르다. i가 두번 나오므로 자동적으로 다음과 같이 확장된다.

$a_i{b}_i=a_1{b}_1+a_2{b}_2+a_3{b}_3$

이는 벡터 $\mathbf{a}\mathbf{,}\mathbf{b}$의 내적을 나타낸다.

크로넥커 델타 (Kronecker Delta)

크로넥커 델타, ${\delta }_{ij}$는 단위행렬(identity matrix), $\mathbf{I}$ 역할을 한다. 그 이유는 i=j 일 때는 ${\delta }_{ij}=1$ 이고 그 외에 i≠j 일 때는 ${\delta }_{ij}=0$ 이기 때문이다. 따라서 i, j 행열에서 대각 성분은 1 이고 비대각 성분은 0 이 된다.

순열 텐서 (Alternating Tensor)

순열 텐서 ${ϵ}_{ijk}$는 ijk가 우순열이면 +1, 기순열이면 -1, 그 외의 경우는 0 이다. 벡터의 외적 $\mathbf{c}\mathbf{=}\mathbf{a}\times \mathbf{b}$를 다음과 같이 나타낼 수 있다.

$\begin{array}{rl}{c}_i=& {ϵ}_{ijk}{a}_j{b}_k\\ =& {ϵ}_{i11}{a}_1{b}_1+{ϵ}_{i12}{a}_1{b}_2+{ϵ}_{i13}{a}_1{b}_3+\\ & {ϵ}_{i21}{a}_2{b}_1+{ϵ}_{i22}{a}_2{b}_2+{ϵ}_{i23}{a}_2{b}_3+\\ & {ϵ}_{i31}{a}_3{b}_1+{ϵ}_{i32}{a}_3{b}_2+{ϵ}_{i33}{a}_3{b}_3\end{array}$

위의 식은 아직 일반적이므로 벡터의 특정 성분을 계산하기 위해서는 i를 선택해야 한다.

외적의 z 성분을 얻기 위해 i=3 으로 하면 $\begin{array}{rl}{c}_3=& {ϵ}_{3jk}{a}_j{b}_k\\ =& {ϵ}_{311}{a}_1{b}_1+{ϵ}_{312}{a}_1{b}_2+{ϵ}_{313}{a}_1{b}_3+\\ & {ϵ}_{321}{a}_2{b}_1+{ϵ}_{322}{a}_2{b}_2+{ϵ}_{323}{a}_2{b}_3+\\ & {ϵ}_{331}{a}_3{b}_1+{ϵ}_{332}{a}_3{b}_2+{ϵ}_{333}{a}_3{b}_3\\ =& a_1{b}_2-a_2{b}_1\end{array}$ 위의 식은 행열식 결과와 동일하며 x, y 성분을 위해서는 각각 i=1, 2로 하면 된다.

벡터와 텐서의 덧셈 (Vector and Tensor Addition)

벡터와 텐서의 덧셈은 간단히 각각 다음과 같이 나타낸다.

$c_i=a_i+b_i{c}_{ij}=a_{ij}+b_{ij}$

텐서 표기법의 성질 (Property of Tensor Notation)

벡터 $\mathbf{a}\mathbf{,}\mathbf{b}$를 양변으로 하는 삼각형의 면적은

$\text{Area}=\frac{1}{2}|\mathbf{a}\times \mathbf{b}\mathbf{|}$

텐서 표기법으로는

$\text{Area}=\frac{1}{2}\sqrt{c_i{c}_i}=\frac{1}{2}\sqrt{{ϵ}_{ijk}{a}_j{b}_k{ϵ}_{imn}{a}_m{b}_n}$

위의 식에서 각 첨자는 두번만 쓰였음에 유의한다. 규약에 의해 두번을 초과해서 쓸 수 없다.

텐서 표기법은 벡터 표기법에 비해 각 변수들의 연산순서에 있어 유연함을 제공한다. 요컨데 $\mathbf{a}\times \mathbf{b}$와 $\mathbf{b}\times \mathbf{a}$는 다르다. 반면에 ${ϵ}_{ijk}{a}_j{b}_k,{ϵ}_{ijk}{b}_k{a}_j$ 및 $a_j{b}_k{ϵ}_{ijk}$는 모두 같다. 이는 연산순서가 변수의 순서가 아닌 첨자의 순서에 의해 정해지기 때문이다.

벡터의 다이애딕 곱 (Vector Diadic Product)

벡터 $\mathbf{a}\mathbf{,}\mathbf{b}$의 다이애딕 곱은 텐서를 반환하며 텐서 표기법으로 간단히 표현된다.

$c_{ij}=a_i{b}_j$

[예제] a=(3, 7, 2), b=(1, 2, 3) 이면 다이애딕 곱은

$\mathbf{a}\otimes \mathbf{b}=\left[\begin{array}{ccc}3\times 1& 3\times 2& 3\times 3\\ 7\times 1& 7\times 2& 7\times 3\\ 2\times 1& 2\times 2& 2\times 3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}3& 6& 9\\ 7& 14& 21\\ 2& 4& 6\end{array}\right]$

$c_{23}$ 항을 예로 들면 텐서 표기법에 의해

$c_{23}=a_2{b}_3=7\times 3=21$

전치 행열 (Matrix Transpose)

행열 ${\text{A}}_{ij}$의 전치 행열은 행과 열을 바꾸면 되므로 ${\text{A}}_{ji}$ 이다.

행열식 (Determinant)

행열식의 계산은 텐서 표기법으로 두개의 다른 방법으로 쓰어질 수 있다.

$\text{det}(\mathbf{A})={ϵ}_{ijk}{\text{A}}_{i1}{\text{A}}_{j2}{\text{A}}_{k3}=\frac{1}{6}{ϵ}_{ijk}{ϵ}_{rst}{\text{A}}_{ir}{\text{A}}_{js}{\text{A}}_{kt}$

역행열 (Matrix Inverse)

역행열 ${\mathbf{A}}^{\mathbf{-}\mathbf{1}}$의 각 항은 다음식으로 계산된다.

${\text{A}}_{ij}^{-1}=\frac{1}{2\text{det}(\mathbf{A}\mathbf{)}}{ϵ}_{imn}{ϵ}_{ipq}{\text{A}}_{mp}{\text{A}}_{nq}$

행열의 곱셈 (Matrix Multiplication)

행열 $\mathbf{A}$와 $\mathbf{B}$의 곱 $\mathbf{A}\mathbf{B}$의 각 항은 텐서 표기법으로

${\text{C}}_{ij}={\text{A}}_{ik}{\text{B}}_{kj}={\text{A}}_{i1}{\text{B}}_{1j}+{\text{A}}_{i2}{\text{B}}_{2j}+{\text{A}}_{i3}{\text{B}}_{3j}$

예를 들어 $\text{C}{|}_{23}$ 항을 계산하고자 하면 i=2, j=3을 대입하면 된다.

${\text{C}}_{23}={\text{A}}_{21}{\text{B}}_{13}+{\text{A}}_{22}{\text{B}}_{23}+{\text{A}}_{23}{\text{B}}_{33}$

[예제]

$\begin{array}{rl}& \mathbf{A}=\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 4& 2& 2\\ 2& 3& 4\end{array}\right],\mathbf{B}=\left[\begin{array}{ccc}1& 4& 7\\ 2& 5& 8\\ 3& 6& 9\end{array}\right]\text{이면}\\ & {\text{C}}_{23}=(4)(7)+(2)(8)+(2)(9)=62\\ & \mathbf{C}\mathbf{=}\mathbf{A}\mathbf{B}\mathbf{=}\left[\begin{array}{ccc}14& 32& 50\\ 14& 38& 62\\ 20& 47& 74\end{array}\right]\end{array}$

이중 내적 (Double Dot Product)

두 행열의 이중 내적은 스칼라 값을 반환하며 다음과 같이 표기한다.

$\begin{array}{rl}\mathbf{A}\mathbf{:}\mathbf{B}=& {\text{A}}_{ij}{\text{B}}_{ij}\\ =& {\text{A}}_{11}{\text{B}}_{11}+{\text{A}}_{12}{\text{B}}_{12}+{\text{A}}_{13}{\text{B}}_{13}+\\ & {\text{A}}_{21}{\text{B}}_{21}+{\text{A}}_{22}{\text{B}}_{22}+{\text{A}}_{23}{\text{B}}_{23}+\\ & {\text{A}}_{31}{\text{B}}_{31}+{\text{A}}_{32}{\text{B}}_{32}+{\text{A}}_{33}{\text{B}}_{33}\end{array}$

[예제] 행열 $\mathbf{A}\mathbf{,}\mathbf{B}$가 위의 예제와 같으면

$\begin{array}{rl}{\text{A}}_{ij}{\text{B}}_{ij}=& 1\times 1+2\times 4+3\times 7+\\ & 4\times 2+2\times 5+2\times 8+\\ & 2\times 3+3\times 6+4\times 9\\ =& 124\end{array}$

시간 미분 (Differentiation with respect to Time)

시간 미분은 몇 개의 형식으로 쓰여질 수 있다.

$\begin{array}{rl}\mathbf{v}=& \frac{d\mathbf{x}}{dt}=(\frac{d{x}_1}{dt},\frac{d{x}_2}{dt},\frac{d{x}_3}{dt})=\dot{\mathbf{x}}={\dot{x}}_i=x_{i,t}\\ \mathbf{a}=& \frac{d\mathbf{v}}{dt}=(\frac{d{v}_1}{dt},\frac{d{v}_2}{dt},\frac{d{v}_3}{dt})=\dot{\mathbf{v}}={\dot{v}}_i=v_{i,t}\\ =& \frac{d^2\mathbf{x}}{d{t}^2}=(\frac{d^2{x}_1}{d{t}^2},\frac{d^2{x}_2}{d{t}^2},\frac{d^2{x}_3}{d{t}^2})=\ddot{\mathbf{x}}={\ddot{x}}_i=x_{i,tt}\end{array}$

위와 같이 변수 위에 점으로 표시하는 방법 외에도 콤마로 표기하는 방법도 텐서 표기법에서 널리 쓰인다.

좌표계 미분 (Differentiation with respect to Spatial Coordinates)

스탈라 함수 f(x)의 $x_i$에 대한 미분은

$\frac{\partial f}{\partial x_i}$ 또는 $f_{,i}$

벡터 v의 미분은

$\frac{\partial \mathbf{v}}{\partial x_j}$ 또는 $(\frac{\partial v_1}{\partial x_j},\frac{\partial v_2}{\partial x_j},\frac{\partial v_3}{\partial x_j})$ 또는 $v_{i,j}$

텐서 σ의 미분은

$\frac{\partial \mathit{\sigma }}{\partial x_k}$ 또는 $\left[\begin{array}{ccc}\frac{\partial {\sigma }_{11}}{\partial x_k}& \frac{\partial {\sigma }_{12}}{\partial x_k}& \frac{\partial {\sigma }_{13}}{\partial x_k}\\ \frac{\partial {\sigma }_{21}}{\partial x_k}& \frac{\partial {\sigma }_{22}}{\partial x_k}& \frac{\partial {\sigma }_{23}}{\partial x_k}\\ \frac{\partial {\sigma }_{31}}{\partial x_k}& \frac{\partial {\sigma }_{32}}{\partial x_k}& \frac{\partial {\sigma }_{33}}{\partial x_k}\end{array}\right]$ 또는 ${\sigma }_{ij,k}$

발산 (Divergence)

벡터의 발산은 스칼라 양이다. $v_{i,i}$로 쓰며 다음과 같이 계산된다.

$v_{i,i}=\frac{\partial v_1}{\partial x_1}+\frac{\partial v_2}{\partial x_2}+\frac{\partial v_3}{\partial x_3}$

[예제] $\mathbf{v}=(3x^2-2y,z^2+x,y^3-z)$ 일 때 발산 ∇·v는

$v_{i,i}=\frac{\partial }{\partial x}(3x^2-2y)+\frac{\partial }{\partial y}(z^2+x)+\frac{\partial }{\partial z}(y^3-z)=6x-1$

컬 (Curl)

벡터의 컬은 ∇×v 이며 텐서 표기법은

$\begin{array}{rl}{ϵ}_{ijk}{v}_{k,j}=& {ϵ}_{i11}{v}_{1,1}+{ϵ}_{i12}{v}_{2,1}+{ϵ}_{i13}{v}_{3,1}+\\ & {ϵ}_{i21}{v}_{1,2}+{ϵ}_{i22}{v}_{2,2}+{ϵ}_{i23}{v}_{3,2}+\\ & {ϵ}_{i31}{v}_{1,3}+{ϵ}_{i32}{v}_{2,3}+{ϵ}_{i33}{v}_{3,3}\end{array}$

컬의 y 성분을 얻기 위해 i=2로 두면 $\begin{array}{rl}{ϵ}_{2jk}{v}_{k,j}=& {ϵ}_{211}{v}_{1,1}+{ϵ}_{212}{v}_{2,1}+{ϵ}_{213}{v}_{3,1}+\\ & {ϵ}_{221}{v}_{1,2}+{ϵ}_{222}{v}_{2,2}+{ϵ}_{223}{v}_{3,2}+\\ & {ϵ}_{231}{v}_{1,3}+{ϵ}_{232}{v}_{2,3}+{ϵ}_{233}{v}_{3,3}\\ =& v_{1,3}-v_{3,1}=\frac{\partial v_x}{\partial z}-\frac{\partial v_z}{\partial x}\end{array}$ 이것 역시 행열식 결과와 동일하며 x, z 성분도 각각 i=1, 3으로 두면 얻을 수 있다.

라플라시안 (Laplacian)

라플라시안은 함수 구배의 발산이다. 행열 표기법으로는 ${\mathrm{\nabla }}^{2}f(x)$이며 텐서 표기법으로는 다음과 같이 정의된다.

$f_{,ii}=\frac{{\partial }^{2}f(\mathbf{x})}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}f(\mathbf{x})}{\partial y^2}+\frac{{\partial }^{2}f(\mathbf{x})}{\partial z^2}$

[예제] $f(\mathbf{x})=2x^{3}y-z\sin y$의 라블라시안을 구하라.

f(x)의 구배와 구배의 발산을 차례로 구한다.

$\begin{array}{rl}& f_{,i}=(6x^{2}y,2x^3-z\cos y,-\sin y)\\ & f_{,ii}=\mathrm{\nabla }\cdot \mathrm{\nabla }f(x)=12xy+z\sin y\end{array}$

벡터적(積)의 도함수 (Derivatives of Products)

벡터적의 연산규칙이 그의 도함수에도 동일하게 적용된다.
내적의 구배는

$(a_i{b}_i{)}_{,j}=a_{i,j}{b}_i+a_i{b}_{i,j}$

외적의 구배는

$({ϵ}_{ijk}{a}_j{b}_k{)}_{,m}={ϵ}_{ijk}{a}_{j,m}{b}_k+{ϵ}_{ijk}{a}_j{b}_{k,m}$

미지막으로 다이애딕 곱의 구배는 다음과 같다.

$(a_i{b}_j{)}_{,k}=a_{i,k}{b}_j+a_i{b}_{j,k}$