F-분포 (F-distribution)

$X_1,X_2,\cdot \cdot \cdot ,X_{n1}$과 $Y_1,Y_2,\cdot \cdot \cdot ,Y_{n2}$가 각각 정규 모집단 $N({\mu }_1,{\sigma }_1^2),N({\mu }_2,{\sigma }_2^2)$ 으로부터 추출된 표본크기 $n_1,n_2$의 서로 독립인 확률표본일 때, 다음 확률변수 F는 자유도 $(n_1-1,n_2-1)$인 F-분포를 따른다.

$F={\displaystyle \frac{S_1^2}{{\sigma }_1^2}}/{\displaystyle \frac{S_2^2}{{\sigma }_2^2}}=\left({\displaystyle \frac{S_1^2}{S_2^2}}\right)/\left({\displaystyle \frac{{\sigma }_1^2}{{\sigma }_2^2}}\right)$

여기서

 $\begin{array}{rl}& \bar{X}=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^{n_1}{X}_i{S}_1^2=\frac{\begin{array}{r}\sum _{i=1}^{n_1}\end{array}{(X_i-\bar{X})}^2}{n_1-1}\\ & \bar{Y}=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^{n_2}{Y}_i{S}_2^2=\frac{\begin{array}{r}\sum _{i=1}^{n_2}{(Y_i-\bar{Y})}^2\end{array}}{n_2-1}\end{array}$

특징

표본분산의 비를 나타내는 분포이다. 확률변수의 분자, 분모에 포한된 자유도$(n_1-1,n_2-1)$에 따라 분포의 형태가 달라 지며 $X\sim F(n_1-1,n_2-1)$로 표시한다. 왼쪽으로 치우친 분포이지만 자유도가 증가할 수록 대칭 분포에 근접한다. 등분산 검정 / 분산분석 / 실험계획법 등에 사용한다.

F-분포, $d_1=5,d_2=10$

F-분포와 관련해 흥미로운 사실은 분산분석(ANOVA)를 설명하는 인기 통계 블로그 어디에도 F-ratio의 P-value 값이 F-분포의 확률밀도함수로 어떻게 구해지는지 나와 있지 않다는 것이다. 아마도 엑셀이나 통계 프로그램에서 자동으로 구할 수 있어서 실용적인 면에서 무의미해서 그랬을 것이다.

필자도 통계 전공이 아니고 인자의 유의성이나 중요도만 평가하면 그만이라 그 과정을 알 필요는 없다. 하지만 과거 컴퓨터가 없었던 시절에는 직접 계산을 했을 것이고 지적 호기심이 있어서 그 과정을 계산해 보았다.

먼저 F-분포의 확률 밀도함수는

$f(x;d_1,d_2)={\displaystyle \frac{\sqrt{{\displaystyle \frac{(d_{1}x{)}^{d_1}{d}_2^{d_2}}{(d_{1}x+d_2{)}^{d_1+d_2}}}}}{xB(\frac{d_1}{2},\frac{d_2}{2})}},\text{베타함수}B(\frac{d_1}{2},\frac{d_2}{2})={\int }_0^1{t}^{d_1/2-1}(1-t{)}^{d_2/2-1}dt$

이제 분산분석 글 예제의 F-비 값, 0.006621에 대한 P-값을 구해 보자. 자유도 $d_1=1,d_2=18$ 이므로 베타 함수는

$B(\frac{1}{2},\frac{18}{2})={\int }_0^1{t}^{-\frac{1}{2}}(1-t{)}^{8}dt\approx 0.59908$

확률밀도함수는

$f(x,1,18)=\frac{\sqrt{\frac{{18}^{18}x}{(x+18{)}^{19}}}}{0.59908x}$

P-값은 확률밀도함수의 x=F-비 오른쪽 면적이므로

$F(x)={\int }_x^{\mathrm{\infty }}f(x)dx,F(0.006621)={\int }_{0.006621}^{\mathrm{\infty }}\frac{\sqrt{\frac{{18}^{18}x}{(x+18{)}^{19}}}}{0.59908x}=0.936041$

계사된 P-값은 0.936041 이고 엑셀 분석도구 P-값은 0.936046이다. 엑셀을 이용할 때는 통계함수 F.DIST.RT(x,d1,d2)나 '데이터-데이터 분석-분산분석'을 쓰면 된다.