순수전단 (Pure Shear)

순수전단이란 물체가 3차원적으로 균일하게 납작해지는 변형을 말한다. 이것은 아래 그림과 같이 물체가 한 방향으로 늘어나는 동시에 수직방향은 줄어드는 비회전 변형률의 예이다. 고무와 같은 연성 재질의 순수전단은 종종 초탄성(hyperelastic) 및 파괴역학(fracture mechanical) 거동을 특성화하기 위해 사용된다. 순수전단은 강체회전(rigid body rotation)을 수반하지 않는다는 점에서 단순전단(simple shear)과는 다르다.

순수전단

위의 그림과 같은 순수전단의 변형 후 위치벡터 p(x, y) 각 성분은 다음과 같이 정의된다.

$\begin{array}{r}x=X+\gamma Y\\ y=\gamma X+Y\end{array}$

따라서 변형구배(deformation gradient)는 다음과 같이 대칭행렬이며 이것은 강체회전이 없다는 것을 의미한다.

$\mathbf{F}=\left[\begin{array}{cc}\frac{\partial x}{\partial X}& \frac{\partial x}{\partial Y}\\ \frac{\partial y}{\partial X}& \frac{\partial y}{\partial Y}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}1& \gamma \\ \gamma & 1\end{array}\right]$

위의 결과로부터 그린변형률(Green strain)을 정의에 따라 구할 수 있다.

$\begin{array}{rl}\mathbf{E}& =\frac{1}{2}({\mathbf{F}}^T\cdot \mathbf{F}-\mathbf{I})\\ & =\frac{1}{2}\{\left[\begin{array}{cc}1& \gamma \\ \gamma & 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}1& \gamma \\ \gamma & 1\end{array}\right]-\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right]\}\\ & =\frac{1}{2}\{\left[\begin{array}{cc}1+{\gamma }^2& \gamma \\ \gamma & 1+{\gamma }^2\end{array}\right]-\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right]\}\\ & =\frac{1}{2}\left[\begin{array}{cc}{\gamma }^2& 2\gamma \\ 2\gamma & {\gamma }^2\end{array}\right]\end{array}$

이것 역시 회전이 발생하지 않았으므로 변형률 텐서의 비대각 성분(off-diagonal)이 같음을 알 수 있다. 변형이 작을 경우 ${\gamma }^2\approx 0$ 이므로 위의 그린변형률의 선형 근사(linear approximation)는 미소변형률 텐서(small strain tensor)가 된다.

$\mathit{ϵ}=\left[\begin{array}{cc}\frac{\partial u}{\partial x}& \frac{\partial u}{\partial y}\\ \frac{\partial v}{\partial x}& \frac{\partial v}{\partial y}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}0& \gamma \\ \gamma & 0\end{array}\right]$

여기서는 단지 전단성분(shearing components)만이 존재한다.