행열의 대각합 (Trace)

행열의 대각합은 정방행열의 대각성분들의 합이다.

n차(n × n) 정방행열 A의 대각합(trace)는 아래와 같이 정의한다.

$\begin{array}{r}\mathrm{t}\mathrm{r}(\mathbf{A})=\sum _{i=1}^n{\mathrm{A}}_{ii}={\mathrm{A}}_{kk}={{\mathrm{A}}_{11}+{\mathrm{A}}_{22}+\cdot \cdot \cdot +\mathrm{A}}_{nn}\end{array}$

대각합은 다음과 같은 성질을 갖는다.

${\mathrm{t}\mathrm{r}(\mathbf{A}\mathbf{+}\mathbf{B})={\mathrm{A}}_{11}+{\mathrm{B}}_{11}+{\mathrm{A}}_{22}+{\mathrm{B}}_{22}+\cdot \cdot \cdot +\mathrm{A}}_{nn}+{\mathrm{B}}_{nn}={\mathrm{A}}_{jj}+{\mathrm{B}}_{kk}=\mathrm{t}\mathrm{r}(\mathbf{A})+\mathrm{t}\mathrm{r}(\mathbf{B})$

$\begin{array}{r}\mathrm{t}\mathrm{r}(c\mathbf{A})=\sum _{i=1}^{n}c{\mathrm{A}}_{ii}=c\sum _{i=1}^n{\mathrm{A}}_{ii}=c\cdot \mathrm{t}\mathrm{r}(\mathbf{A})\end{array}$

$\mathrm{t}\mathrm{r}(\mathbf{A})=\mathrm{t}\mathrm{r}({\mathbf{A}}^T)$

$\begin{array}{r}\mathrm{t}\mathrm{r}(\mathbf{A})=\sum _{i=1}^n{\lambda }_i\end{array}$   여기서 λ는 행열 A의 고유치

행열 A : m × n, 행열 B : n × m 이라고 하면

$\begin{array}{r}\mathrm{t}\mathrm{r}(\mathbf{A}\mathbf{B})=\sum _{i=1}^m(\mathrm{A}\mathrm{B}{)}_{ii}=\sum _{i=1}^m\sum _{j=1}^n{\mathrm{A}}_{ij}{\mathrm{B}}_{ji}=\sum _{j=1}^n\sum _{i=1}^m{\mathrm{B}}_{ji}{\mathrm{A}}_{ij}=\sum _{j=1}^n(\mathrm{B}\mathrm{A}{)}_{jj}=\mathrm{t}\mathrm{r}(\mathbf{B}\mathbf{A})\end{array}$