행열의 대각합 (Trace)

행열의 대각합은 정방행열의 대각성분들의 합이다.

n차(n × n) 정방행열 A의 대각합(trace)는 아래와 같이 정의한다.

\(\begin{align}{\rm tr}({\bf A})=\sum_{i=1}^n{\rm A}_{ii}={\rm A}_{kk}={\rm A_{11}+A_{22}+\cdot\cdot\cdot+A}_{nn}\end{align}\)

대각합은 다음과 같은 성질을 갖는다.

\({\rm tr({\bf A+B})=A_{11}+B_{11}+A_{22}+B_{22}+\cdot\cdot\cdot+A}_{nn}+{\rm B}_{nn}={\rm A}_{jj}+{\rm B}_{kk}=\rm tr({\bf A})+tr({\bf B})\)

\(\begin{align}{\rm tr}(c{\bf A})=\sum_{i=1}^{n}c{\rm A}_{ii}=c\sum_{i=1}^{n}{\rm A}_{ii}=c\cdot{\rm tr}({\bf A})\end{align}\)

\({\rm tr}({\bf A})={\rm tr}({\bf A}^T)\)

\(\begin{align}{\rm tr}({\bf A})=\sum_{i=1}^{n}\lambda_i\end{align}\)   여기서 λ는 행열 A의 고유치

행열 A : m × n, 행열 B : n × m 이라고 하면

\(\begin{align}{\rm tr}({\bf AB})=\sum_{i=1}^m({\rm AB})_{ii}=\sum_{i=1}^m\sum_{j=1}^n{\rm A}_{ij}{\rm B}_{ji}=\sum_{j=1}^n\sum_{i=1}^m{\rm B}_{ji}{\rm A}_{ij}=\sum_{j=1}^n({\rm BA})_{jj}={\rm tr}({\bf BA})\end{align}\)