기하벡터의 연산

정의 1 크기와 방향에 의해 정해지는 양을 기하벡터 또는 벡터라 하고 이것에 비해 방향을 갖지 않는 양을 스칼라라고 한다.

예를 들면, 힘, 속도, 가속도 등은 벡터이고, 길이, 시간, 질량, 일 등은 스칼라이다. 보통의 수도 스칼라이다.

벡터를 나타내는데 보통 a, v, A 등과 같이 굵은 문자로 표시한다. 벡터를 기하학적으로 표현하기 위해서 그의 길이가 벡터의 크기와 같고, 그의 방향이 벡터의 방향과 같은 유향선분(有向線分)으로 한다. 점 P에서 점 Q로 향하는 유향선분 PQ가 1개의 벡터를 나타낼 때 그림과 같이 화살표를 붙여서 표시하고 그 벡터를

\[\overrightarrow{\rm PQ}\]

로 표시한다. 이 때, P를 벡터의 시점(始点), Q를 종점(終点)이라 한다. 크기가 같고 방향이 같은 2개의 벡터 a, b는 같다고 말하고 a=b 라고 쓴다. 벡터 a의 크기를 |a|로 나타낸다. 크기가 1인 벡터를 단위벡터라 한다. 크기가 0인 벡터를 생각하여 영(零)벡터라 하고 0로 나타낸다. 영벡터의 방향은 정해져 있지 않다.

\[{\bf 0}=\overrightarrow{\rm PP}\]

로도 나타낼 수 있다.

[주의] 벡터는 크기와 방향에 의해 정해지며 그의 위치에는 관계없다. 즉, 유향선분 PQ와 P'Q'가 평향하고 같은 방향이며 크기가 같으면

\[\overrightarrow{\rm PQ}=\overrightarrow{\rm P'Q'}\]

이다.

정의 2 (벡터의 합과 차) 2개의 벡터 a, b에 대해

\[{\bf a}=\overrightarrow{\rm PQ},\,{\bf b}=\overrightarrow{\rm QR}\text{ 이라 할 때 }{\bf c}=\overrightarrow{\rm PR}\]

을 벡터 a, b의 합이라 하고, 이것을

\[{\bf a}+{\bf b}={\bf c}\]

로 나타낸다. 특히 a+0=0+a=a 이다.

다음에 a, b에 대해서

\[{\bf a}+{\bf x}={\bf b}\]

를 만족하는 벡터 x는 오직 1개 존재하고, 이것을 b-a로 나타낸다.

[주의] 벡터의 합, 차에 대해서는 다음과 같이 기억해두면 편리하다.

\[\begin{split}\overrightarrow{\rm PQ}+\overrightarrow{\rm QR}=\overrightarrow{\rm PR}\\\overrightarrow{\rm PQ}-\overrightarrow{\rm PR}=\overrightarrow{\rm RQ}\end{split}\]

정리 1 (벡터의 가법의 성질) 벡터의 가법에 대해서는 다음 관계식이 성립한다. 교환법칙 : a+b=b+a 결합법칙 : (a+b)+c=a+(b+c)

<증명> 교환법칙은 위의 그림으로부터 명백하다. 결합법칙은 아래 그림을 보고 생각해 보아라.

정의 3 (벡터의 스칼라배) 벡터 a와 스칼라 t와의 곱 ta를 크기가 |t||a|이고, 방향이 t>0 일 때는 a와 같은 방향, t<0 일 때는 a와 반대방향을 향하는 벡터로 정한다.

[주의] 정의로부터 다음 식이 성립함을 알 수 있다.

\[\begin{split}0{\bf a}={\bf 0},\quad t{\bf 0}={\bf 0}\\1{\bf a}={\bf a},\quad(-1){\bf a}=-{\bf a}\end{split}\]

정리 2 (스칼라배의 성질) t(sa)=(ts)a (t+s)a=ta+sa t(a+b)=ta+tb

<증명> 제 1 식과 제 2 식이 성립하는 것은, 양변의 벡터의 방향과 크기를 비교해 보면 알 수 있다. 제 3 식은 아래 그림을 참고로 생각해보라.

정리 3 (3점이 1직선상에 있을 조건) 3점 P, Q, R이 1 직선상에 있기 위한 필요충분조건은\[\overrightarrow{\rm PQ}=t\overrightarrow{\rm PR}\text{ 또는 }\overrightarrow{\rm PR}=t\overrightarrow{\rm PQ}\]인 정수 t가 존재하는 것이다.

<증명> P, Q, R 이 1 직선상에 있고 겹치지 않을 때, 유향선분 PQ, PR을 생각하여 PQ:PR=t(단, 유향성분 PQ와 PR이 서로 반대방향일 때는 t<0라 한다)로 두면,

\[\overrightarrow{\rm PQ}=t\overrightarrow{\rm PR}\]

이 된다.
역으로, 이 관계식에 성립하면, t의 부호에 의해 PQ와 PR은 서로 같은 방향이든지 아니면 반대방향이기 때문에 P, Q, R이 동일직선상에 있다.

정리 4 (벡터의 평행조건) 0이 아닌 벡터 a, b가 서로 평행하기 위한 필요충분조건은 b=ta 또는 a=tb 인 상수 t 가 존재하는 것이다.

<증명>

\[{\bf a}=\overrightarrow{\rm PQ},\,{\bf b}={\rm PR}\]

이라 하면, a와 b가 평행하기 위한 조건은, P, Q, R이 1 직선상에 있어야 하므로,

\[\overrightarrow{\rm PR}=t\overrightarrow{\rm PQ}\]

이다.

[주의] a와 b가 평행하다 할 때는 a≠0와 b≠0 이다. 따라서, P와 Q, P와 R은 겹치기 않기 때문에 t≠0 이다. 또, a와 b가 동일직선상에 있을 때도 평행하다고 하기로 한다.

《문      제》

1. 벡터의 가법이 항상 실행되기 위해서는 왜 영벡터가 필요할까?

<풀이> 벡터 a, b에 대해서 a+x=b를 만족하는 벡터 x는 오직 1개 존재하므로 b=a 일 때 x=0, 즉 영벡터가 아니면 안된다.

다음식을 증명하여라(2~4).
2. (a+b)+c=a+(b+c)
3. (-1)a=-a
4. t(a+b)=ta+tb

<증명>
2. 정리 1 결합법칙 참조
3. 정의 3 벡터의 스칼라배 [주의] 참조
4. 정리 2 스칼라배의 성질 참조

다음 벡터를 기하학적으로 구하라(5, 6).
5. (a+b)/2
6. (a-b)/2

<풀이>