기계공학 (Mechanical Engineering)

아래 그림과 같이 하중이 도심 축으로부터 a 만큼 편심된 경우 기둥내부의 응력 분포에 대해 알아 본다. 기둥이 긴 경우 실험치가 적용되어야 하지만 단주(短柱)에서는 역학적으로 응력을 검토하여도 거의 오차가 없다. 위의 그림 (a)는 (b)와 (c)의 중첩(superposition)으로 볼 수 있으며, 편심하중으로 인한 응력은 집중하중 P에 의한 응력과 굽힘모멘트 M에 의한 응력, 두가지로 검토될 수 있다. 단면이 대칭이 아닌 경우도 있으므로 그림과 같이 도심축으로부터 떨어진 거리를 \(e_1,\,e_2\)라 하자. 그러면 굽힘모멘트에 의한 응력은 도심축을 기준으로 인장과 압축이 교차하므로 압축하중 P에 의한 응력과 굽힘모멘트 M의 응력방향이 일치하는 곳에서 최대응력이 발생한다. 또한 인장과 압축이 중첩되는 곳에서는 보다 우세한 응력 크기가 응력분포로 나타날 것이다. 그림 (c)로부터 응력을 구하여 중첩시키면 다음과 같다. \[\sigma=\sigma_1+\sigma_2=\left({P\over A}\pm{M\over Z}\right)=\left({P\over A}\pm{Pay\over I_z}\right)\] 여기서 A는 기둥의 단면적, Z는 단면계수이며 \(I_z\)는 단면도심 z축에 관한 단면 2차모멘트 이다. 회전반경 \(k=\sqrt{I_z/A}\)를 위의 식에 대입하면 최대응력은 \[\sigma_{\rm max}=\left({P\over A}+{M\over Z}\right)={P\over A}\left(1+{ae_1\over k^2}\right)\] 최소응력은 서로 엇갈리는 경우이므로 \[\sigma_{\rm min}=\left({P\over A}-{M\over Z}\right)={P\over A}\left(1-{ae_2\over k^2}\right)\] 여기서 주시할 점은 편심거리 a가 점점 멀어질 수록 \(\sigma_{\rm min}\)은 0에 접근할 수 있다는 것이다. 즉, \(\sigma_{\rm min}\)의 인장응력으로 나타나기

문제 1. 그림과 같은 4각 단면의 기둥에 e=2mm의 편심거리에 P=10 ton의 압축하중 이 작용할 때 발생하는 최대응력은? ㉮ 1,184kg/cm²          ㉯ 1,080kg/cm²          ㉰ 980kg/cm²          ㉱760kg/cm² <풀이> 최대응력은 동일 방향 압축과 굽힘응력 의 중첩(superposition)이므로 \[\sigma_{\rm max}={P\over A}+{Pe\over Z}\] 여기서 단면계수 Z와 단면적 A는 \[\begin{align}&Z={I\over c}={bh^2\over6}={(5)2.5^2\over6}=5.2083{\rm cm}^3\\&A=(5)2.5=12.5{\rm cm}^2\end{align}\] 따라서 최대응력은 \[\sigma_{\rm max}={10,000\over12.5}+{10,000(0.2)\over5.2083}=1,184{\rm kg/cm}^2\]

후육원통은 살두께가 내경의 10% 이상인 경우를 말하며 아래 그림은 외부 압력 \(p_o\), 내부압력 \(p_i\)가 작용하는 내반경 \(r_i\), 외반경 \(r_o\)의 원통을 나타낸다. 일반적으로 얇은 원통 에서는 반경방향 후프 응력 을 무시하였지만 임의의 반경 r에서의 반경방향 후프응력을 여기서는 무시할 수 없다. 위의 그림에서와 같이 임의의 반경 r, 각도증분 dθ 및 반경증분 dr을 생각한다. 원 대칭에 의해 원주방향 응력 \(\sigma_\theta\)와 반경방향 응력 \(\sigma_r\)은 θ가 아닌 r만의 함수 이므로, 요소의 전단응력은 영이다. 단위 두께 요소의 반경방향 힘 평형 \(\sum{F_r}=0\) 으로부터 \[\sigma_rrd\theta-2\sigma_\theta\sin{\theta\over2}dr+\left(\sigma_r+\frac{d\sigma_r}{dr}dr\right)(r+dr)d\theta=0\] 이 때 θ가 미소하므로 sin(θ/2)≒θ/2 이고, 이차항을 무시하면 다음식을 얻는다. \[\frac{d\sigma_r}{dr}+\frac{\sigma_r-\sigma_\theta}{r}=0\quad\cdots(1)\] 위의 식들은 체적력(body force)은 없다고 가정된 것이다. 이제 요소의 변형률 을 생각한다. 대칭에 의해서 θ 방향 변위 v는 없다. 따라서 요소 내측면의 반경방향 변위 u만이 존재한다. 이 때 외측면의 변위는 u+du가 된다. 변형전 요소의 반경방향 길이가 dr 이므로 반경방향 변형률(radial strain)은 \[\epsilon_r=\frac{u+du-u}{dr}=\frac{du}{dr}\] 요소 내측면의 길이는 rdθ 이고, 외측면은 (r+u)dθ 이므로 접선 변형률(tangential strain)은 \[\epsilon_\theta=\frac{(r+u)d\theta-rd\theta}{rd\theta}={u\over r}\] 끝단이 열려있으므로, \(\sigma_z=\sigma_3