편심하중을 받는 단주(短柱)

아래 그림과 같이 하중이 도심축으로부터 a 만큼 편심된 경우 기둥내부의 응력분포에 대해 알아 본다.

기둥이 긴 경우 실험치가 적용되어야 하지만 단주(短柱)에서는 역학적으로 응력을 검토하여도 거의 오차가 없다. 위의 그림 (a)는 (b)와 (c)의 중첩(superposition)으로 볼 수 있으며, 편심하중으로 인한 응력은 집중하중 P에 의한 응력과 굽힘모멘트 M에 의한 응력, 두가지로 검토될 수 있다.

단면이 대칭이 아닌 경우도 있으므로 그림과 같이 도심축으로부터 떨어진 거리를 \(e_1,\,e_2\)라 하자. 그러면 굽힘모멘트에 의한 응력은 도심축을 기준으로 인장과 압축이 교차하므로 압축하중 P에 의한 응력과 굽힘모멘트 M의 응력방향이 일치하는 곳에서 최대응력이 발생한다. 또한 인장과 압축이 중첩되는 곳에서는 보다 우세한 응력 크기가 응력분포로 나타날 것이다.

그림 (c)로부터 응력을 구하여 중첩시키면 다음과 같다.

\[\sigma=\sigma_1+\sigma_2=\left({P\over A}\pm{M\over Z}\right)=\left({P\over A}\pm{Pay\over I_z}\right)\]

여기서 A는 기둥의 단면적, Z는 단면계수이며 \(I_z\)는 단면도심 z축에 관한 단면 2차모멘트이다. 회전반경 \(k=\sqrt{I_z/A}\)를 위의 식에 대입하면 최대응력은

\[\sigma_{\rm max}=\left({P\over A}+{M\over Z}\right)={P\over A}\left(1+{ae_1\over k^2}\right)\]

최소응력은 서로 엇갈리는 경우이므로

\[\sigma_{\rm min}=\left({P\over A}-{M\over Z}\right)={P\over A}\left(1-{ae_2\over k^2}\right)\]

여기서 주시할 점은 편심거리 a가 점점 멀어질 수록 \(\sigma_{\rm min}\)은 0에 접근할 수 있다는 것이다. 즉, \(\sigma_{\rm min}\)의 인장응력으로 나타나기 시작하는 경계편심량 a를 구할 필요가 있으며 그 편심값 a를 넘으면 \(\sigma_{\rm min}\)은 인장으로 표시될 것이다.

이 때 \(\sigma_{\rm min}=0\)으로 하는 구간까지의 편심량 a를 단면에서 핵반경(core radius)라 부르며 그 단면을 핵단면(section of core)이라 한다. 여기서는 원형단면 및 사각단면에서의 핵반경을 살펴본다.

원형단면

위의 식에서 \(\sigma_{\rm min}\)으로 하면 \(1=ae^2/k^2\) 이므로 원형일 경우 \(e_1=e_2=d/2\)와 회전반경 \(k^2=I/A=d^2/16\)을 대입하면

\[a={k^2\over e_2}={d\over8}={r\over4}\]

를 얻는다(아래 그림 참조).

사각단면

아래 그림에서의 b×h 사각단면은 하중 P의 작용점이 도심에서 점점 멀어질 수록 모서리 부분에서 인장응력이 발생한다. 이 때 인장응력이 발생하지 않는 경계범위가 단면의 핵이 된다. 사각단면의 폭과 높이를 b, h라 하고 P가 작용하는 위치를 (y, z)라 하면 \(M_y=Pz,\,M_z=Py\)가 될 것이다.

하중 P가 단면상의 임의의 한 점 (y, z)에서 작용하는 경우 \((y_1,\,z_1)\) 점의 압축합성응력은

\[\sigma={P\over A}+{M_zy_1\over I_z}+{M_yz_1\over I_y}={P\over bh}\left(1+12{yy_1\over b^2}+12{zz_1\over h^2}\right)\]

\(\sigma_{\rm min}\)은 A점에서 발생할 것이며 A점의 좌표 \(y_1=b/2,\,z_1=-h/2\)를 윗식에 대입하여 다음을 얻는다.

\[\sigma_{\rm min}={P\over bh}\left(1-{6y\over b}+{6z\over h}\right)\]

결국 \(\sigma_{\rm min}=0\)으로 하는 조건은 6y/b+6z/h=0 이어야 한다. 즉, y=b/6 이면 z=0 이어야 한다. 이 경계점을 연결한 내부가 단면의 핵(core)이다.